控制系統中基于映射云的不確定性表示

楊志曉 范艷峰

(河南工業大學信息科學與工程學院，河南 鄭州 450001)

0 引言

控制系統存在著大量的不確定性，模糊性和隨機性是其中最重要的兩種［1］。不確定性主要來源于各種傳感器、儀器儀表和執行機構的輸出，也來自于輸入量的細微波動以及溫度、震動等各種環境因素。當輸入量發生改變時，輸出結果的不確定性特征可能發生改變。當前，控制系統一般將儀器儀表、執行機構的輸出作為精確值處理［2－8］。不能闡述實際輸出結果的不確定性及其可代表期望輸出的確定程度，將給控制效果帶來不可預知的風險。

云模型能夠將定性概念的模糊性和隨機性進行統一量化描述［9］。不過，云模型面向單個定性概念，它不能闡述儀器儀表和執行機構的輸出不確定性在整個測度空間的變化情況。針對上述問題，本文提出云映射和映射隸屬云的不確定性表示方法。其基本思想是分析關鍵輸入量值輸出的不確定特征，分別設計隨機變量，實現輸入到輸出的非精確變換。同時，將不確定變換拓展至整個測度空間，定量表示輸出不確定性及其在整個測度空間的變化情況。

1 云模型介紹

在自然界和人類認知過程的各種不確定性中，模糊性和隨機性是最重要的兩種不確定性。云模型能夠將這兩種不確定性進行統一量化描述。云模型由大量云滴構成。云滴可定義描述為［9］:假設U是用數值表示的定量論域，C是U上的定性概念，?x∈U是定性概念C的一次隨機實現;x對C的確定度用μ(x)表示(μ(x)是有穩定傾向的隨機數，且滿足 μ(x)∈［0，1］);x在論域U上的分布稱為云，記為C(x)，每一個x稱為一個云滴。

在云模型的定義中，隨機變量x不再是簡單概率意義下的隨機變量，而是對它的任何一個實現(即云滴x)都存在一個確定度μ(x)。μ(x)是云滴x能夠代表定性概念C的程度，且確定度μ(x)也是一個有穩定傾向的隨機數。確定度μ(x)的作用相當于模糊集理論中的隸屬度，但它與隸屬度最大的不同是它在給定隨機變量取值下是一個隨機數，而不是唯一確定值，從而將定性概念的模糊性和隨機性統一起來。定性概念C的特征通過云的整體來體現，云滴的數量越多，云的整體特征越明顯。

云模型用期望值Ex、熵值En和超熵值He這三個數字特征來表示，記為C(Ex，En，He)。期望值Ex是在論域U中最能代表定性概念C的點。熵值En既是定性概念隨機性的度量，用來闡述云滴在論域空間的離散程度;又是定性概念模糊性的度量，能反映云滴在論域空間的集中程度。熵值越大，云滴越分散，集中度越低，概念更宏觀;熵值越小，云滴越集中，概念的粒度更小、更清晰。超熵值He是熵的熵，He是熵值En的穩定性度量。超熵值越大，熵的穩定性越差。

自然界中的許多隨機現象都符合正態分布，因此，云模型采用正態分布描述隨機性，稱為正態云［10］。即x～N(Ex，En'2)，En'～N(En，He2)。x的確定度計算公式如下:

式中:μ為無量綱物理量確定度;x為實現的云滴;Ex為云的期望;En'為以熵值En為期望、以超熵值He為標準差實現的一個正態分布隨機數。

根據已知樣本(云滴)的統計特征，歸納云的數字特征值C(Ex，En，He)，稱為逆向生成云;若已知云的數字特征值，生成云滴，稱為正向生成云。

2 云映射和映射隸屬云

將儀器儀表、執行機構的工作過程看成是從輸入到輸出的一個映射變換，不失一般性，給出以下定義。

對非空集合A和B，若按照對應關系F，?x∈A，存在隨機變量Yx，在集合B上的值域為Ux?B，稱F為A到B的一個云映射，記為，或 Yx=F(x)。

根據上述定義，集合A中的每一個元素?x∈A，都通過一個隨機變量Yx變換到一個可能的取值空間Ux?B。Yx的每一個取值在實現前都不能確定。對集合A中的全體元素，F定義了一個隨機變量簇Y={Yx|x∈A}。各個隨機變量的分布可能相同，也可能不同，其分布特征通過樣本的統計特征進行估計。隨機變量簇將集合A中的元素變換到一個云狀不確定空間。F的特征通過全體隨機變量簇Y來體現，因此，稱F為云映射。

若A和B為定量值集合，對A中的若干關鍵元素，采用隸屬云思想構造輸出結果在這些給定輸入值下的隸屬云片。在集合A上對這些隸屬云片的數字特征期望值、熵值和超熵值進行擬合，估計集合A到B映射F的期望函數、熵函數和超熵函數，從而構造F的隸屬云。隸屬云能夠對整個有效輸入范圍內的輸出及其不確定性進行定量表示，相關定義如下。

設Yx=F(x)為非空定量值集合A到B的一個云映射，?x∈A，隨機變量Yx在集合B上取得定量值域Ux?B。若Cx是定量論域Ux上的定性概念，?y∈Ux是定性概念Cx在Ux上的一次隨機實現，y對Cx的確定度μ(y)∈［0，1］是有穩定傾向的隨機數，則 y在論域 Ux上的分布稱為F在x處的一個隸屬云片，記為C(Yx)。每一個y稱為一個云滴。全體云片組成F的隸屬云簇，稱為云映射F的隸屬云，簡稱映射云，記為C［F(x)］。

與單個定性概念的隸屬云模型相比，上述定義將其拓展至云映射F的整個自變量空間A。集合A中的每一個元素x都對應一個定性概念Cx。其全體元素對應一個定性概念簇CA={Cx|x∈A}。它們可能是具有實際意義的概念，也可能是沒有現實意義的抽象概念。?Cx∈CA，定量論域Ux?B內最能代表Cx的點是隨機變量Yx的期望值的點，記為f(x)。f(x)在集合A上即構成了云映射F的期望，即精確函數y=f(x)。Cx的每個隨機實現即為云滴。Cx在定量論域Ux?B內的模糊性和隨機性用熵度量，記為e(x)。云滴y能夠代表定性概念Cx的確定度μ(y)是一個具有穩定傾向的隨機數。其隨機特征用超熵度量，記為h(x)。定性概念Cx的特征通過在x處的大量云滴構成的隸屬云片的整體來體現。全體隸屬云片能夠反映概念簇CA隨集合A中元素的變化情況。

在整個集合A上，f(x)、e(x)和h(x)分別稱為云映射F的期望函數、映射隸屬云C［F(x)］的熵函數和超熵函數。當?x∈A時，定性概念C(x)的云數字特征為C［f(x)，e(x)，h(x)］。F的隸屬云也可稱為精確函數y=f(x)的云。它在本質上反映了以函數y=f(x)為期望的不確定性映射關系在值域空間和確定度空間的分布。對儀器儀表、執行機構的輸入輸出關系而言，其映射云反映了在給定輸入下，輸出的可能取值及實現的取值可代表期望輸出的確定程度。

本文沿用文獻［10］的正態云，即?x∈X，y～N［f(x)，En'2］，En'～N［e(x)，h2(x)］，y的確定度可按照下式計算:

3 映射云算法

3.1 逆向映射云算法

在儀器儀表、執行結構的有效輸入范圍內選取關鍵點，分別重復設定輸入量、測量輸出值，以獲取各輸入量值下的多個輸出樣本，從而估計出在各關鍵點輸出的期望值、熵值和超熵值。分別對它們在各個關鍵點的取值進行擬合，估計出期望函數f(x)、熵函數e(x)和超熵函數h(x)的過程，稱為逆向生成映射云。該算法具體描述如下。

①在有效輸入范圍內隨機產生M個均勻分布的值 X={xi|i=1，2，…，M};

②?xi∈X，對輸入、輸出進行N次設定和測量，獲得輸出樣本 Yi={yij|j=1，2，…，N};

③估計輸出在xi處的期望值:

估計輸出在xi處的熵值為:

估計輸出在xi處的超熵值為:

其中，

④ 分別對 M 對數據{(xi，Exi)|i=1，2，…，M}、{(xi，Eni)|i=1，2，…，M}和{(xi，Hei)|i=1，2，…，M}進行擬合，獲得對期望函數f(x)、熵函數e(x)和超熵函數h(x)的估計。

3.2 正向映射云算法

根據輸入-輸出逆向映射云生成算法獲得的映射隸屬云C［f(x)，e(x)，h(x)］，產生在給定輸入值下的一個輸出實現的過程，稱為正向生成映射云。該算法具體描述如下。

① 輸入x0∈A，分別由f(x)、e(x)、h(x)計算 F(x0)的期望值f(x0)、熵值En0=e(x0)、超熵值He0=h(x0);

② 由 En0'～N［e(x0)，h2(x0)］產生 En0';

③ 由y～N［f(x0)，En0'2］產生y;

④由下式計算確定度:

4 D/A卡的映射云

某D/A卡為12位，輸出量程為電壓0～5 V，則其輸入量的數字量范圍為000H～FFFH，對應的十進制數范圍為0～4 095。輸入與輸出在理想狀態下的關系可以表示為:

式中:x為介于0～4 095的無量綱數;y為輸出的電壓值，V。

在000H～FFFH之間等間隔地選取11個數字量作為輸入量，分100次重復寫入D/A卡，測量輸出電壓值。按照輸入輸出逆向映射云生成算法獲得的期望函數同式(8)。

熵函數的估計為:

超熵函數的估計為:

式(9)和式(10)表示各輸出在整個測度空間的熵和超熵值基本相同，也就是說在各輸入量下，D/A轉換得到的電壓值的分布規律基本相同［11］。

根據逆向映射云算法獲得的特征函數，運用正向映射云生成算法獲得的映射隸屬云如圖1所示。

圖1 輸入-輸出映射云Fig.1 Input-output mapping cloud

由圖1可以看出，映射云模型不僅能夠闡述D/A卡在給定輸入值下其輸出的模糊性和隨機性特征，并通過確定度描述變換結果可代表期望輸出的確定程度;而且還能夠描述這種不確定性在整個測度空間的變化情況。

5 結束語

本文提出了云映射和映射隸屬云的概念，對控制系統各種儀器儀表、執行機構的輸出不確定性進行定量表示。云映射通過隨機變量簇將精確值集合變換到各自可能的取值空間。在給定輸入量值之后，采用隸屬云模型建立輸出的隸屬云片。在有效工作范圍內選取關鍵輸入值，分別建立輸出的隸屬云片。根據各隸屬云片的期望值、熵值和超熵值，估計輸入輸出映射關系在整個有效工作范圍內的期望函數、熵函數和超熵函數，從而構造輸入輸出在整個有效工作范圍內的映射隸屬云，用來定量表示儀器儀表、執行機構輸出結果的模糊性和隨機性。以某D/A卡為例，說明了逆向隸屬云的生成過程和采用正向隸屬云表示輸出不確定性及確定程度的有效性。

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