子空間重構的一類自適應波束形成算法

楊志偉 賀 順 廖桂生 劉 楠

①(西安電子科技大學雷達信號處理重點實驗室 西安 710071)

②(西安科技大學通信學院 西安 710054)

1 引言

自適應波束形成[1-10](或自適應空域濾波)是陣列信號處理在雷達、聲吶、通信等領域應用的熱點問題，目的是在增強特定方向信號功率(稱為目標信號或感興趣信號)的同時抑制其它方向的來波信號(稱為干擾)。與普通波束形成(或空域匹配濾波)不同，自適應波束形成是將維納濾波理論應用到空域濾波中，它的加權矢量依賴于信號環境，在干擾或色噪聲背景下能獲得更大的輸出信干噪比。但是，自適應波束形成算法在本質上屬于統計信號處理范疇，如何在有限觀察數據基礎上高效快速地計算自適應加權矢量成為工程應用的關鍵。針對這一問題，國內外研究者提出了多種自適應權矢量的計算方法，包括采用迭代最小二乘算法(RLS)[11]提高最小均方誤差算法(LMS)的收斂速度；采用降秩處理[12]方法改善小樣本條件下采樣協方差矩陣求逆算法(SMI)的處理損失；采用子空間跟蹤方法[13,14]降低子空間投影類自適應波束形成算法的運算量。遺憾的是，上述方法均未考慮多維域陣列數據的結構特性。此外，在文獻[15,16]中提出將高維權矢量分解為多個低維權矢量的自適應波束形成方法，降低了估計相關矩陣的采樣數據和運算量。但是，該方法需要采用雙迭代算法進行低維權矢量尋優，迭代次數難以確定。

事實上，多維陣列的全維數據能由分維數據表示。例如空時兩維陣列數據能夠表示成空域數據與時域數據的張量積形式，空-極化兩維陣列數據能夠表示成空域數據與極化數據的張量積形式，空-時-極化3維陣列數據矢量能夠表示成空域數據、時域數據和極化數據的張量積形式。雖然對多維陣列的全維數據采用分維級聯處理的方式能夠在一定程度上降低全維處理的運算復雜度和放松對獨立同分布樣本數的要求，但是損失了輸出信干噪比。

針對上述問題，本文在子空間投影類波束形成算法基礎上，提出由分維信號子空間重構全維真實信號子空間的自適應波束形成算法。該方法首先在訓練樣本集上計算分維陣列數據的主特征矢量并構成相應的分維信號子空間；然后通過張量積操作和自適應交叉項剔除重構真實的全維信號子空間；最后根據子空間投影算法計算波束形成權矢量。仿真結果表明本文方法具有較低的運算復雜度和要求更小的獨立同分布訓練樣本集規模，能獲得與最優處理相近的輸出信干噪比。

2 信號模型

不失一般性，在窄帶遠場平面波假設下，k時刻的多維陣列數據X(k)可表示為

其中H0假設表示接收數據僅由干擾和噪聲組成，H1假設表示接收數據包含目標信號；a0和s0(k)分別表示目標信號的陣列導向矢量(或稱為陣列流形)和復包絡；AJ=[a1…aP]和sJ(k) = [s1(k)…sP(k) ]T分別表示P個干擾信號的陣列流形和復包絡；N(k)表示零均值的加性高斯白噪聲。

一般地，多維陣列數據的陣列導向矢量可表示成a=b?c的形式(符號?表示向量的張量積，矢量a,b,c的長度分別為L,M,N)。例如，就空時均勻采樣陣列而言，假設沿陣面線性排列M個空域接收通道和相干積累N個時域脈沖，采用自發自收工作模式，理想情況下的陣列導向矢量可表示為

其中fs和fd分別表示空間角頻率和歸一化多普勒頻率。

在目標信號、干擾、噪聲不相關假設下，陣列數據的協方差矩陣可表示為

眾所周知，基于線性約束最小方差準則(LCMV)的加權矢量可根據式(4)計算。

顯然，考慮干擾的信號子空間對應特征值通常遠大于噪聲子空間對應特征值，自適應加權矢量主要位于噪聲子空間內。因此，在忽略非零常數后，根據式(6)計算的基于子空間投影的波束形成權矢量wSP與wLCMV近似相等。

3 改進算法

有效降低運算量和提高加權矢量在小樣本條件下的收斂速度是自適應波束形成算法獲得工程應用的關鍵，本文結合多維陣列數據的結構特性，提出利用分維信號子空間重構真實的全維信號子空間的方法來提高權矢量的收斂速度和降低運算量。下面給出本文所提方法的詳細描述。

3.1子空間重構

在H0假設下，根據多維陣列數據可分維重構的特點，分維的陣列數據可表示為

相應地，基于最大似然準則的分維陣列數據協方差矩陣采用式(8)進行估計。

顯然，Tb?Tc為滿秩矩陣，UrS和BJ?CJ張成的列空間相同，即

3.2 交叉項剔除

一方面考慮同時多個信號源條件下UrS的列向量與陣列導向矢量缺乏一一對應關系，直接判斷交叉項存在困難；另一方面鑒于交叉項AR僅由矩陣張量積操作引入，實際的多維陣列數據中并不存在任何與交叉項相對應的來波信號。因此，本文在重構干擾流形基礎上通過最小冗余的最優陣列數據擬合來自適應剔除交叉項。

不失一般性，記重構的干擾流形為ArS=[a1…aQ]。相應地，在H0假設下，多維陣列數據X(k)在ArS上的最優擬合系數可根據式(12)計算

進而可求解得到

事實上，我們無法預知干擾源數目，只能通過對數據矢量y進行分析來估計干擾源數目。盡管有信息論準則(AIC)或最短描述長度準則(MDL)[17]等方法可供采用，但在低信噪比或快拍數較少情況下y中的小值元素可能存在擴散問題，影響干擾源數目的正確判斷。為此，本文采用順序法對干擾子空間進行最小冗余估計。具體步驟如下：

步驟 1 初始化干擾的陣列流形ArJ為空矩陣，交叉項的陣列流形ArR=ArS和數據矢量Z(k) =X(k)；

步驟 6 估計出重構的真實干擾流形ArJ。

一旦計算出真實的干擾流形ArJ，相應的加權矢量按式(14)計算：

3.3 運算復雜度分析

眾所周知，對全維處理情況，采樣協方差矩陣求逆算法的運算復雜度為O((M×N)3)。本文方法采用分維重構的方式估計真實的全維干擾流形，在估計分維數據的干擾流形過程中需要首先獲得干擾的波達參數，以求根 MUSIC算法為例，考慮特征分解和求根操作后的總運算復雜度近似為O(M3+(2(M- 1))3+N3+(2(M- 1))3) ≈O(9(M3+N3))；采用矩陣張量積重構全維干擾流形的運算復雜度為O(M×N×Q)(其中Q表示重構干擾流形的列數)；剔除交叉項的運算復雜度近似為O((Q-P)(Q3+M×N×Q2+ (M×N)2×Q))(其中P表示重構真實干擾流形的列數)。在全維處理器維數M×N較大條件下，本文方法與采樣協方差矩陣求逆算法的運算復雜度之比約為[(Q-P)×Q]/(M×N)。考慮干擾源數目通常較少，因此本文方法具有較低的運算復雜度。

4 仿真實驗

本節通過計算機仿真實驗檢驗所提方法的有效性。做為對比，記本文方法為 SRC-BF，記基于特征分解的波束形成方法為EVD-BF，記基于采樣協方差矩陣求逆的波束形成方法為SMI-BF。

實驗1空時均勻采樣陣列工作在遠場窄帶模式，具有6個空域接收通道和相干處理16個時域脈沖，同時接收3個等功率的干擾信號(干噪比JNR=20 dB)。實驗中滿足獨立同分布條件的訓練樣本數為256, 3個干擾的歸一化空間角頻率和歸一化多普勒頻率滿足彼此間的最小間隔0.15且在±0.8內均勻分布。圖1～圖3給出了無誤差條件下經1000次蒙特卡羅實驗獲得的陣列數據空時譜。可以發現：與重構的全維信號子空間UrS對應的空時譜在干擾位置之外還存在多個譜峰(與交叉項對應)，導致直接根據UrS計算的加權矢量可用自由度減少，潛在地會導致輸出信干噪比下降；與重構的真實干擾流形ArJ對應的空時譜僅在干擾位置存在譜峰，說明本文方法能有效剔除交叉項，且有望獲得與US相近的輸出信干噪比。

實驗2空時均勻采樣陣列工作在遠場窄帶模式，具有6個空域接收通道和相干處理8個時域脈沖，同時接收3個非等功率的干擾信號和1個目標信號，干噪比依次是10 dB, 20 dB和30 dB，信噪比5 dB。實驗中3個干擾的歸一化空間角頻率和歸一化多普勒頻率滿足彼此間的最小間隔0.15且在±0.8內均勻分布，目標與干擾的歸一化空間角頻率和歸一化多普勒頻率滿足彼此間的最小間隔為 0.1且在±0.5內均勻分布。圖 4給出了無誤差條件下經1000次蒙特卡羅實驗獲得的輸出信干噪比隨同分布訓練樣本數的變化關系?？梢园l現：在小樣本條件下，例如訓練樣本數小于 2倍信號子空間維數，SRC-BF算法能獲得更大的輸出信干噪比，表明本文方法相比全維數據特征分解而言能獲得更為精確的子空間估計結果，這非常有利于工程應用；隨著樣本數的增加，SRC-BF算法相比SMI-BF算法而言能獲得與 EVD-BF算法更為接近的輸出信干噪比，表明本文方法能有效提高自適應波束形成算法的干擾抑制能力和收斂速度。

圖1 根據US計算的空時譜

圖2 根據UrS計算的空時譜

圖3 根據ArJ計算的空時譜

圖4 輸出信干噪比隨訓練樣本數的變化關系

5 結論

全維自適應波束形成算法運算量巨大和要求滿足獨立同分布條件的訓練樣本集規模龐大是制約工程應用的主要因素。針對這一問題，本文基于多維陣列數據可分維重構這一特點，從子空間投影類波束形成算法出發，提出結合子空間重構和交叉項剔除的權矢量計算方法。該方法具有較低的運算復雜度和能有效提高子空間估計精度，可提高自適應波束形成算法在小樣本條件下的輸出信干噪比。

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