基于優勢關系粗糙集的模糊綜合評價的權重確定

呂躍進，張旭娜,韋碧鵬

（廣西大學a.數學與信息科學學院；b.電氣工程學院，南寧 530004）

0 引言

模糊綜合評價[1]的基本思想是在確定評價因素、因子的評價等級標準和權值的基礎上，運用模糊集合變換原理，以隸屬度描述各因素及因子的模糊界線，構造模糊評判矩陣，通過多層復合運算，最終確定評價對象所屬等級。近年來，模糊綜合評價在水環境評價、財務預警、電力等方面被廣泛應用[2～7]。

模糊綜合評價的關鍵一步是權重的確定，目前權重大多由專家憑經驗給出，人為干擾較為嚴重，可能導致評判結果不可靠。因此，很多文獻采用一些客觀賦權法對模糊綜合評價進行改進。如文獻[2]采用熵值法確定權重，文獻[3]采用主成分分析法確定權重，文獻[4]采用層次分析法確定權重是一種主客觀結合的方法，文獻[5]提出了直接根據單指標相對隸屬度的模糊評價矩陣，構造層次分析法中的判斷矩陣，用以確定各評價指標權重。而隨著粗糙集理論[8]的廣泛應用，許多文獻應用粗糙集理論在模糊綜合評判中確定權重，如文獻[6]成功將粗糙集理論應用于確定地質因素的權重系數。但經典粗糙集面對的對象是無序的，不能很好地表達原有的偏好信息，而實際問題中的大部分指標都是有序的，例如企業發展能力綜合評價中的指標凈資產增長率、銷售增長率等越大，企業發展能力越好。如果忽略指標的有序性就可能出現評價結果不合理。而優勢關系粗糙集很好地解決了這個問題，彌補了經典粗糙集的缺陷。本文應用優勢關系粗糙集提出一種度量有序決策表屬性重要性的新方法，同時解決客觀性和指標有序性問題。最后以企業發展能力模糊綜合評價的權重確定為例，說明應用優勢關系粗糙集確定權重方法是可行的。

1 優勢關系粗糙集確定權重

經典粗糙集模型面對的對象是無序的，現實生活中存在的大量數據是有序的。為處理這類有序數據，Greco等人[9,10]提出了基于優勢關系的粗糙集方法。本文引入對象優于程度的計量和綜合優勢度的概念，提出一種度量有序決策表屬性重要性的新方法，然后將各屬性重要性歸一化處理后的結果作為每個屬性的權重。

1.1 優勢關系粗糙集基本概念

定義1[11]序信息系統。序信息系統是一個四元集合，I=(U,A,V,f)，其中U是論域，若U中有n個對象，則U可以表示為A是有限非空條件屬性的集合，若有m個條件屬性，A可以表示為V是屬性的值域集，f是信息函數稱≥a為相對于屬性a具有優勢，x≥ay表示x在a上的值大于或等于y。x≥Ay??a∈A,x≥ay。信息系統中對象的屬性的值具有優勢關系時，稱信息系統為序信息系統。

定義2[11]優勢關系。對于給定的一個序信息系統，如果B?A,x≥By，那么x在B上對y具有優勢，記為xR≥By。

設B=B1?B2，其中B1是上向的屬性集，B2是下向的屬性集。定義對象x在屬性集B上的優勢集合：

定義3[11]I=(U,A,V,f)為序信息系統且B,C?A。若對于任意的x∈U有，則稱若 對 于 任 意 的x∈U有，則稱

性質2當B?C時，有

定 義4[12]設I=(U,A,V,f)為序信息系統，a∈B∈A。若稱a在B中是不必要的；否則稱a在B中是必要的。

1.2 有序決策表的屬性重要性度量及權重確定

定義5[13]對xi,xj∈U，利用粗糙集方法計算對象xi在屬性集B下優于對象xj的程度為：

其中 ||?表示集合的元素個數。顯然0≤RB(xi,xi)≤1且RB(xi,xi)=1。

對象xi在屬性集B下的綜合優勢度為[13]

RB(xi)具有以下性質[13]：

性質40≤RB(xi)≤1；

性質5若xi＞Bxj，則RB(xi)＞RB(xj)。

RB(xi)的值越大，對象xi在屬性集B下越具有優勢。按照RB(xi)由大到小排序可以得到對象在屬性集B下的優劣次序，記為在屬性集B條件下排序得到的一組秩。利用綜合優勢度對對象排序直接從信息表出發，不需要其它先驗信息，排序比較客觀。

定義6在有序信息表I=(U,A,V,f)中，B?A，a∈B在B中的重要性為：

定義6表明屬性a∈B在屬性集B中的重要性由B中刪除a后引起的秩的改變大小來衡量。

證明：

又有

證畢。

定理1設I=(U,A,V,f)為序信息系統，a∈B∈A，0≤SigB(a)，且屬性a∈B在屬性集B中必要的充要條件是0＜SigB(a)。

證明：0≤SigB(a)是顯然的。

充分性：設屬性a∈B在屬性集B中不必要的，則，根據性質4，SigB(a)=0。

則命題的逆否命題：若SigB(a)≠0即0＜SigB(a)，則屬性a∈B在屬性集B中是必要的成立。

必要性：由于屬性a∈B在屬性集B中是必要的，因此由定義 4 可以知道又根據性質 2，

則至少存在一個xi∈U，使得即

可得xj≥B-{a}xi，RB-{a}(xj)≥RB-{a}(xi)。

由RB(xi)＞RB(xj)和RB-{a}(xj)≥RB-{a}(xi)可知，xi、xj排序發生變化，則根據屬性重要性的定義可得0＜SigB(a)。

證畢。

最后將得到的各屬性重要性按下式進行歸一化處理，處理后的結果就作為每個屬性的權重：

2 優勢關系粗糙集確定模糊綜合評價權重應用舉例

在企業發展能力綜合評價中，確定指標權重實際上就是確定各個反映發展能力因素的重要程度。根據得到的重要度進行歸一化處理來確定權值。

以企業發展能力綜合評價為例來說明如何利用優勢關系粗糙集確定各個指標的權重。參與評價的企業構成評價對象集，選取的評價指標構成屬性集。對象集、屬性集和屬性取值構成一個信息表。本文選取的反映企業發展能力的因素有銷售增長率、內含增長率、可持續增長率、凈資產增長率。

表1 企業發展能力B信息表

可以看出指標都是有序的，都是上向指標，即指標取值越大，表明企業的發展那能力越好。將上述信息數據離散化，分別用3、2、1表示。企業發展能力數據構成的信息表如表1所示。

其中，rij=RB(xi,xj)。

(2)同理計算出

可以看出屬性a2被刪除后各對象的優勢集合均未發生變化，序關系也不會發生變化。因此得出SigB(a2)=0。

(3)根據各屬性重要性進行歸一化處理，處理后的結果就作為每個屬性的權重：

P1=0.2,P2=0,P3=0.3,P4=0.5

3 總結

模糊綜合評判時若權重系數基于專家經驗給出，則因其主觀性過強可能給出錯誤的結果。本文提出的基于優勢關系粗糙集確定權重方法完全是由原始數據決定的，是一種完全客觀的賦權方法，且可以解決指標的有序性問題。在實際應用這種方法時要考慮數據的代表性和離散化方法等問題。

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