關于MADM中屬性值規范化方法的探討

王桂芳，王應明

（福州大學 公共管理學院，福州 350108）

0 引言

在多屬性決策問題中，多個屬性之間往往存在矛盾性和不可公度性。我們通常通過給不同的屬性賦予權重來解決屬性間的矛盾性；對于不可公度性，則需要對決策矩陣中的初始屬性值進行規范化。屬性值的規范化的作用主要有三：一是單調化，使決策矩陣中各個性能越優的方案變換后屬性值越大；二是非量綱化，排除量綱選用對決策或評價結果的影響，僅用數值的大小來反映屬性值的優劣；三是歸一化，即把決策矩陣中的數據變換到[0,1]區間上[1]。

多屬性決策的求解主要涉及屬性值的規范化、屬性權重的確定，方案的綜合評價三個方面。本文主要探討的是屬性的規范化。在以往的研究中，相對于屬性權重的確定，規范化過程對多屬性決策結果的影響往往被低估了。本文將從四個方面探討規范化過程對決策結果的影響以及進一步研究需要解決的問題，并將給出一種基于對數函數的規范化方法。

1 MADM的求解模型

設MADM問題的方案集為A={A1，A2，A3…An}，屬性集為 G={G1,G2,G3,..Gm}，W={w1,w2,w3…wm}為屬性的權重向量，其中方案Ai對應屬性Gj的屬性值為Xij（i=1,2,…n;j=1,2,…m），屬性矩陣為X=(Xij)n×m。屬性矩陣經過規范化后得到規范化矩陣R=(rij)m×n,進而通過一定的集結方法對規范化矩陣處理后，可以得到方案Ai的綜合屬性值Zi。綜合屬性值Zi越大，則對應的方案Ai越優。本文意在探討規范化方法對決策結果的影響，故為了簡化計算，所有算例中對方案綜合評價的方法選用簡單且常用的WAA算子，即同時不考慮權重對決策結果的影響，故使各屬性的權重相等，所以方案Ai的綜合屬性值等價為

2 常用的屬性值規范化方法

文獻[2]總結了目前已有的規范化方法，其中被普遍接受和最常用的為三種，分別為極差變換法、線性變換法和向量變換法。

（1）極差變換法

經極差變換法變換后各屬性具有相同的度量區間，即[0,1]，且最優的屬性值均為1，最劣的屬性值均為0。

（2）線性變換法

線性變換法可使變換前后的屬性值成比例。為保證各屬性有相同的基點，必須①、③式同用，②、④式同用，則變換后的最優值為1，最劣質為0不能同時滿足。

（3）向量變換法

向量變換法使變換前后的屬性值成比例，但不能產生相同的度量尺度，變換后各屬性最大值一般不為1且不等，最小值一般不為0且不等。

3 規范化方法對決策結果的影響

3.1 不同規范化方法使同一種綜合評價方法的決策結果不同

同一種綜合評價方法，運用不同的規范化方法得到的結果可能不同。我們認為不同的綜合評價方法得到不同的決策結果是可以理解的，但同一種綜合評價方法得到不同的結果是不合理的。表1和表2給出了SWW算子下，運用不同的規范化方法得到不同決策結果的例子[3]，其中四個屬性均為效益型。

表1 初始矩陣和極差變換法決策過程

表2 線性變換法和向量變換法決策過程

顯然，極差變換法得到的方案排序為 A1、A3、A2、A4、A5，而線性變換法為A1、A2、A3、A4、A5，向量變換法為A5、A3、A2、A1、A4。

3.2 規范化過程使運用不同李克特量表的MADM問題得到的結果不同

對于定性屬性，取用不同的李克特量表（Likert scale）規范化后，決策結果可能不同。表3和表4可以說明這一影響，其中G1、G2為用李克特量表表示的定性屬性，且三個屬性均為效益型。

表3 李克特量表取值1-5的線性變換法決策過程

表4 李克特量表取值1-9的線性變換法決策過程

顯然，運用取值為1-5的李克特量表時，方案的排列順序為A3（A4）、A2、A1，而運用取值為1～9的李克特量表時，方案排序為A2、A3（A4）、A1。

3.3 規范化使屬性從不同角度描述后得到的決策結果不同

對于同一屬性，從不同角度（效益或成本）描述時，規范化后得到的決策結果有時卻是不同的。如對機器的性能進行描述時，我們可以說它生產產品的合格率越高越好，也可以說不合格率越低越好，如表5、表6所示。

表5 G2用合格率描述時，線性變換法和向量變換法的決策過程

表6 G2用不合格率描述時，線性變換法和向量變換法的決策過程

可見G2從合格率的角度進行描述時，線性變換法和向量變換法得到的方案排序結果都是A2、A1、A3。當G2從合格率的角度進行描述時，排序結果卻是A3、A2、A1。

3.4 規范化使增加或刪除方案后原方案的相對次序改變

當增加或刪除某些方案后，規范化和綜合評價方法不變，得到的結果卻使原方案的相對排列次序發生變化。下面的表7是將表1中的方案集中刪除A4、A5后得到的決策結果。

表7 刪除表1中A4、A5后線性變換法的決策過程

在表1 中，A1、A2、A3線性變換法的相對排列順序為A1、A2、A3，而刪除 A4、A5后的排列順序為 A3、A2、A1。可以驗證極差變換法和向量變換法存在同樣的問題。

4 對規范化方法的相關探討

三種常用規范化方法都帶有直線型變化規律的假設，其實質是假定被評價對象的屬性值在不同水平變化時對綜合水平的影響是一樣的。事實上，被評價對象會有各種各樣的屬性，這些屬性從不同側面反映被評價對象的不同特征，而這些特征往往具有非線性變化規律。文獻[8]提出一種基于獎優罰劣原則的規范化方法，這種方法使屬性值越接近平均值時規范化后的值變化速率越快，但它沒有指出這種方法適用的屬性種類。文獻[9]認為當屬性值越接近理想值時規范化后的值變化速率應該越快，提出一種基于指數函數的規范化方法。文獻[10]基于與文獻[9]同樣的觀點提出一種基于k階拋物線的規范化方法。

本文從規范化的本意出發，認為規范化方法對決策結果產生不合理影響的根本原因是，屬性值規范化后不能真實反映其對方案綜合評價目標的相對影響。目前規范化方法的研究還存在不足，這也是以后的研究中要解決的問題，主要表現在以下兩個方面：

一是對規范化值的變化規律的探索是不全面的。當對方案的綜合評價為定性評價，而屬性值為定量數值時，根據微觀經濟學中的邊際效用遞減規律，屬性值經規范化后的值越大其變化速率應該越小。例如，隨著工資水平的不斷提高，相同幅度的工資增長給職工帶來的滿意效用是遞減的。目前的研究還沒有涉及這方面。

二是以往的研究都假定在同一個問題中，所有屬性對應規范化后的值的變化規律是一樣的。規范化的實質是用同一標準去衡量所有屬性值對評價目標的相對影響。規范化后的值應盡量反應客觀真實，而不是純粹數據處理以得到便于比較的數據形式。以往的研究要么把所有的規范化方法看成是等效的，要么以綜合評價方法為標準，對同一問題中所有的屬性采取統一的規范化方法。顯然這是不合理的，因為一種規范化方法只能反應一種屬性規范化值的變化規律，而多種屬性的規范化值的變化規律往往是不同的。本文認為規范化方法的選取不應以綜合評價方法為標準，而應以屬性為標準，為每個屬性確定特定的規范化方法。

5 一種新的基于對數函數的規范化方法

基于上述規范化方法研究尚且存在的不足，本文嘗試給出一種能體現邊際效用遞減規律的規范化方法，即規范化后的值越大，其變化速率越小。這種方法是基于對數函數的，我們稱其為對數變換法。

對數變換法是在類似線性變換法的基礎上進行的，通過兩步對初始屬性矩陣X=(Xij)n×m完成規范化。第一步是先對初始屬性矩陣進行線性化變換得到過渡矩陣B=（bij）n×m,其中bij≥1；第二步則是以為底，對取對數，得到最終的規范化矩陣R=(rij)m×n，其中rij=logcj（bij），rij∈[0，1]。

下面分別給出對數變換法中效益型屬性和成本型屬性的變換公式：

對數變換法可以保證屬性值規范化后的值在0到1之間，且最大值都為1，最小值都為0。這種方法使各屬性的度量區間均為[0,1]，且能體現規范化值越大，變化速率越小的規律，適用于存在邊際效用遞減、邊際收益遞減或邊際報酬遞減等規律的屬性。

下面用實例來表述根據不同屬性的特性，使用不同的規范化方法對MADM問題求解的過程。如表5所示,被評價對象為A、B、C、D，經分析，屬性G1的規范化適用本文提出的對數變換法，而G2、G3均適用文獻[10]中提出的方法（k取2），G4適用線性變換法。

表5 不同屬性使用不同的規范化方法的實例

6 總結

本文從四個方面探討了規范化方法對多屬性決策結果的影響，并指出目前研究存在的不足。顯然屬性規范化涉及的問題還很多，需要進一步的研究來解釋和優化，這需要結合與問題相關的多個學科領域對特定屬性的分析研究。本文提出的對數變換法豐富了多屬性決策中屬性值規范化的理論與方法。同時，希望本文能夠進一步加深學術界對規范化方法研究的重視。

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