單側－理想

趙士銀

（宿遷學院教師教育系，江蘇宿遷223800）

1 預備知識

定義1［1]設H＝（｛Hα，Δα，εα｝α∈π，m，u）為π－代數，給定一簇K－線性映射S＝｛Sα：Hα→，稱H為Hopfπ－代數，若H滿足以下三個條件：（1）對任意的α∈π，（Hα，Δα，εα）是余代數；（2）對任意的α，β∈：Hα?Hβ→Hαβ和u：K→P1都為余代數同態；（3）對任意的α∈π都有

對任意的α，β，γ∈π．

定義2［1]設P＝（｛Pα，mα，Δ，ε）為－余代數，給定一簇K－線性映射S＝｛Sα：Pα→．稱P為Hopf－余代數，若P滿足以下三個條件：（1）對任意的α∈，（Pα，mα，uα）是代數；（2）對任意的α，β∈，Δα，β→Pα?Pβ和ε：P1→K都為代數同態；（3）對任意的α∈π都有

設f：V→W是線性映射，則有線性映射f＊：W＊→V＊為〈f＊（w＊），v〉＝〈w＊，f（v）〉，其中w＊∈W＊，v∈V．設A＝，m，u）為－代數，A0是A的對偶空間，由映射mα，β：Aα?Aβ→Aαβ，u：K→A1得到映射→（Aα?和u＊→K＊．定義ΔA0＝→?｝是如下合成（Aα?→?，定義：→K是如下合成：K＊→K．

2 主要結論

本節我們首先給出局部有限維Hopfπ－代數H的對偶H0的代數結構．

證明 對于任意的α，β，γ∈π，任取x∈Aα，y∈Aβ，z∈Aγ，f∈一方面有：

另一方面：

引理2 設H＝（｛Hα，Δα，m，u）是局部有限維的Hopfπ－代數，則H的對偶空間H0＝（｛，｝）可成為一個Hopf－余代數，其中

證明 首先，由于H＝（｛Hα，m，u）是局部有限維Hopfπ－代數，由Hopfπ－代數的定義，H同時也是有限維的π－代數，從而由引理1可知，H的對偶空間H0＝（）是一個π－余代數．

其次，對于任意α∈π，由于（Hα，Δα，εα）是余代數，故由文獻［4] 得，（）都是代數．

即可，其中S＊＝：＝→Hα｝α∈π．

同理可證得

故對于任意的α∈π，

綜上所述，由Hopfπ－余代數的定義，H0＝（｛，是一個Hopfπ－余代數．

同理有：若J＝｛Jα｜Jα?是H0的一個子空間簇，則定義J⊥＝，其中＝｛hα∈Hα｜〈hα，jα〉＝0，?jα∈Jα｝，則是J⊥＝是H的一個子空間簇．

定義3［1]設A＝，m，u）為一個－代數，W＝｛Wα｜Wα?是A＝，m，u）的一簇子空間，若對于任意的α，β∈π都滿足：

（2）mα，β（Aα?Wβ）?Wαβ，則稱W＝｛Wα｜Wα為A＝，m，u）的一個右－理想．

定義4［1]設C＝，Δ，ε）為－余代數，I＝｛Iα｜Iα?是C＝，Δ，ε）的一簇子空間，若對于任意的α，β∈都滿足：

（1）Δα，β（Iαβ）?Iα?Cβ，則稱I＝｛Iα｜Iα?為C＝，Δ，ε）的一個左π－余理想；

證明 僅證明J＝｛Jα｜Jα?為H的左－理想的情形，對于J＝｛Jα｜Jα?為H的右－理想的情形，類似可證得．

首先由于H為局部有限維的Hopfπ－余代數，故由引理2，H的對偶H0是局部有限維的Hopf－余代數．又由于J＝｛Jα｜Jα?為局部有限維的Hopfπ－代數H的左π－理想，故mαβ（Jα?Hβ）?Jαβ．最后由Hopf－余代數H0的結構映射構造過程可知：由于對于任意的α，β∈＝．故

所以

證明 類似定理1可證得．

證明 由定理1和定理2可直接推得．

［1] Virelizier A．Hopf group－coalgebras［J] ．Journal of Pure and Applied Algebra，2002（171）：75－122．

［2] 顏美玲，李金其．Hopf－代數［J] ．龍巖學院學報，2005，23（6）：1－3．

［4] Sweedler M E．Hopf algebra［M] ．New York：Benjiamin，1969．