一個Hardy－Hilbert型不等式的推廣與加強

隆建軍

（攀枝花市大河中學，四川攀枝花617061）

設｛an｝，｛bn｝為實數列，使得則有

得到一個Hilbert型不等式

2007年，王衛宏，方波漪建立如下權系數不等式［6]：

得到一個Hilbert型不等式及其等價形式：

本文的目的是利用改進的Euler－Maclaurin公式，對權系數不等式（2）進行加強推廣，得到一個聯系二重級數形式

的Hardy－Hilbert型不等式，且本文結論是式（3）、式（4）的推廣和加強．

1 幾個引理

引理1［7]若f（2r）（x）＞0（x）＜0，x∈

＜∞，則有

引理2 下列權系數不等式成立：

證明 設

則

又由

W只與選取測試參量有關,當這些參量取通常值時:B=1 Hz,θ=0.9,ppd=1 mW,計算出陀螺靈敏度與腔體直徑D和品質因數Q值的關系(圖1)。所以,制備一種大直徑、高Q值的諧振腔,通過提高DQ乘積的形式,可以有效的提高陀螺的靈敏度。

則

對n≥1，n∈N結合Bernoulli不等式，得

由以上計算可得

引理3 下列權系數不等式成立：

證明 由

把式（11）代入式（9），即得

綜上可知引理3的式（10）成立．

2 主要結論及其應用

定理1 如果r，s∈R，｛an｝，｛bn｝為實數列，使

證明 由帶權的Holder不等式，有

再由引理3，可得式（12）．證畢．

定理2 如果r∈R，｛an｝為實數列，使得0＜

證明 由ω（n）＜π和帶權的Holder不等式，有

所以有

再由引理3的式（10），可知式（13）成立．證畢．

由于定理1中的式（12）和定理2中的式（13）帶有參數r，s，所以具有一般性．在式（12）和式（13）中對r，s適當取值，我們還可得到：

推論1 當r＝s＝0時，有

推論3 當r＝0時，有

顯然，本文定理1和定理2都是全新的，同時推論1～推論4也是全新的結果．

［1] 匡繼昌．常用不等式［M] ．濟南：山東科學技術出版社，2004．

［2] Yang B．On a strengthened version of the more accurate Hardy－Hilbert＇s inequality［J] ．Acta Math．Sinica（N．S．），1999，42：1 103－1 110．

［3] Yang B C．A strengthened Hardy－Hilbert＇s inequality［J] ．Proceedings of the Jangjeon Mathematical Society，2003（2），119－124．

［4] 席高文，柴新寬．一個推廣的Hardy－Hibert不等式及應用［J] ．河南師范大學學報：自然科學版，2006，34（3）：161－163．

［5] Yang B C．A new inequality similar to Hilbert＇s inequality［J] ．J Math Anal Appl，1998，226：166－179．

［6] 王衛宏，方波漪．一個Hilbert型不等式的推廣與加強［J] ．五邑大學學報：自然科學版，2007，20（4）：19－23．

［7] 徐利治，王興華．數學分析的方法及例題選講［M] ．北京：高等教育出版社，1985：81－98．