行波超聲波電動(dòng)機(jī)混沌建模與分析

李文娟，史敬灼

(河南科技大學(xué)，河南洛陽(yáng)471003)

0 引 言

混沌是一類典型的非線性運(yùn)行狀態(tài)，普遍存在于鼠籠式異步電動(dòng)機(jī)、同步磁阻電動(dòng)機(jī)、無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)等電磁電機(jī)驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)中。對(duì)電機(jī)系統(tǒng)的混沌運(yùn)行進(jìn)行研究，從一個(gè)新的角度認(rèn)識(shí)這一非線性現(xiàn)象，有助于維持電機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行，亦可為混沌運(yùn)動(dòng)控制提供必要基礎(chǔ)。

作為一種基于逆壓電效應(yīng)實(shí)現(xiàn)機(jī)電能量轉(zhuǎn)換的特種電機(jī)，超聲波電動(dòng)機(jī)的運(yùn)行機(jī)理完全不同于傳統(tǒng)的電磁電機(jī)，并具有一些獨(dú)特的性能特點(diǎn)，這使它不僅已經(jīng)應(yīng)用于家用電子、微型機(jī)器人、航天等領(lǐng)域，而且在其它眾多運(yùn)動(dòng)控制領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景。由于包含壓電能量轉(zhuǎn)換、摩擦能量傳遞等非線性過(guò)程，超聲波電動(dòng)機(jī)表現(xiàn)出強(qiáng)非線性和強(qiáng)耦合性。文獻(xiàn)［1］的研究已驗(yàn)證了超聲波電動(dòng)機(jī)中存在混沌行為。為了分析超聲波電動(dòng)機(jī)本身的混沌特性，確定其混沌區(qū)域，從而抑制電機(jī)的混沌行為，還需要建立一個(gè)能夠用來(lái)對(duì)超聲波電動(dòng)機(jī)混沌運(yùn)行狀態(tài)進(jìn)行分析的電機(jī)模型。

本文針對(duì)Shinsei USR60型行波超聲波電動(dòng)機(jī)，采用自制的驅(qū)動(dòng)控制電路，分析了超聲波電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的混沌運(yùn)行狀態(tài)。為了分析超聲波電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)是否存在混沌特性，本文根據(jù)理論分析建立了超聲波電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)的混沌分析模型，調(diào)節(jié)電壓幅值－轉(zhuǎn)速控制器參數(shù)來(lái)研究超聲波電動(dòng)機(jī)的運(yùn)行特性。通過(guò)仿真，獲得了電機(jī)轉(zhuǎn)速相對(duì)于控制參數(shù)的Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖及電壓相對(duì)于轉(zhuǎn)速的軌跡圖，結(jié)果表明行波超聲波電動(dòng)機(jī)在一定工作情況下將呈現(xiàn)出混沌運(yùn)動(dòng)，并給出了混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)域?qū)?yīng)的控制參數(shù)取值范圍。

1 行波超聲波電動(dòng)機(jī)的混沌分析模型

超聲波電動(dòng)機(jī)的運(yùn)行涉及兩部分相互聯(lián)系的能量轉(zhuǎn)換過(guò)程。一是在電機(jī)定子內(nèi)部，由壓電陶瓷利用逆壓電效應(yīng)將外加電能激勵(lì)轉(zhuǎn)換為定子的微幅機(jī)械振動(dòng);二是在定子和轉(zhuǎn)子的接觸面上，利用摩擦作用將定子表面質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的機(jī)械能轉(zhuǎn)換為轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。因此，相互作用的定子振動(dòng)模型和定、轉(zhuǎn)子接觸模型是超聲波電動(dòng)機(jī)非線性模型的兩個(gè)主要環(huán)節(jié)。

超聲波電動(dòng)機(jī)的基本動(dòng)力學(xué)模型［2］:

式中:M為定子模態(tài)質(zhì)量矩陣;D為定子振動(dòng)阻尼矩陣;C為模態(tài)剛度矩陣;q為定子模態(tài)坐標(biāo)矩陣;mr為轉(zhuǎn)子質(zhì)量;w為定子表面到中性層的距離;Fz為定子對(duì)轉(zhuǎn)子的軸向壓力;FN為預(yù)壓力，dz為電機(jī)軸向阻尼系數(shù);ω為轉(zhuǎn)子角速度;TR為輸出轉(zhuǎn)矩;TL為負(fù)載力矩;J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。Fd為轉(zhuǎn)子對(duì)定子的模態(tài)力矩陣:

式中:Fdn為轉(zhuǎn)子對(duì)定子的法向模態(tài)力;Fdt為轉(zhuǎn)子對(duì)定子的切向模態(tài)力。

由于超聲波電動(dòng)機(jī)具有強(qiáng)耦合性，定子對(duì)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生作用力的同時(shí)，轉(zhuǎn)子也會(huì)產(chǎn)生對(duì)定子的作用力，下面來(lái)計(jì)算轉(zhuǎn)子對(duì)定子的模態(tài)力矩陣Fd。令:

則轉(zhuǎn)子對(duì)定子的法向模態(tài)壓力:

轉(zhuǎn)子對(duì)定子的切向模態(tài)壓力:

令:

式中

將式(6)、式(7)、式(8)代入式(5)，得:

由式(2)、式(4)、式(5)，得:

至此，建立起了超聲波電動(dòng)機(jī)的混沌分析模型，編寫程序就可實(shí)現(xiàn)仿真計(jì)算。由于超聲波電動(dòng)機(jī)工作頻率高，計(jì)算中取步長(zhǎng)為1×10－6s。

2 行波超聲波電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)混沌分析

本文對(duì)圖1的轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)進(jìn)行混沌分析。超聲波電動(dòng)機(jī)有驅(qū)動(dòng)電壓幅值、頻率、相位差等三個(gè)可控變量。考慮到改變頻率可得到較寬的調(diào)速范圍，而改變電壓幅值能得到較高的調(diào)速精度，但調(diào)速范圍有限，該系統(tǒng)采用頻率和電壓幅值兩個(gè)控制變量對(duì)轉(zhuǎn)速進(jìn)行控制，設(shè)計(jì)了兩個(gè)可互相切換的轉(zhuǎn)速控制器。電壓－轉(zhuǎn)速控制器通過(guò)調(diào)節(jié)電壓幅值來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)轉(zhuǎn)速的控制，用于轉(zhuǎn)速誤差較小情況下的精細(xì)調(diào)速，輸出控制量為電壓幅值的給定值;頻率－轉(zhuǎn)速控制器則以電機(jī)驅(qū)動(dòng)頻率為控制量，用來(lái)對(duì)轉(zhuǎn)速進(jìn)行大范圍調(diào)節(jié)。為實(shí)現(xiàn)對(duì)電機(jī)兩相驅(qū)動(dòng)電壓幅值的有效控制，圖1系統(tǒng)還包含電壓幅值閉環(huán)控制器，作為電壓－轉(zhuǎn)速控制的內(nèi)環(huán)控制器。

圖1 超聲波電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)框圖

由于超聲波電動(dòng)機(jī)運(yùn)行特性的限制，驅(qū)動(dòng)電壓幅值的調(diào)節(jié)存在上、下限值。超過(guò)上限值，電機(jī)定子壓電陶瓷片可能損壞;低于下限值，電機(jī)會(huì)突然停轉(zhuǎn)。圖1中的“限幅”環(huán)節(jié)用來(lái)限制電壓幅值的給定值在合理范圍內(nèi)。系統(tǒng)中，電壓－轉(zhuǎn)速控制器和頻率－轉(zhuǎn)速控制器均采用PI(比例積分)控制，電壓幅值控制器為P(比例)控制［3］。電壓幅值控制器輸出為PWM占空比，通過(guò)PWM信號(hào)發(fā)生器給出PWM控制信號(hào)作用于H橋驅(qū)動(dòng)電路，驅(qū)動(dòng)電路實(shí)現(xiàn)逆變電壓放大功能，輸出高頻高幅的驅(qū)動(dòng)電壓給超聲波電動(dòng)機(jī)。在仿真分析中，為了突出超聲波電動(dòng)機(jī)的運(yùn)行特點(diǎn)，將PWM信號(hào)發(fā)生器和驅(qū)動(dòng)電路等效為一個(gè)比例環(huán)節(jié)KD，與電壓幅值控制器的比例環(huán)節(jié)KV一同并入轉(zhuǎn)速PI控制器中的比例環(huán)節(jié)，于是得到系統(tǒng)仿真框圖如圖2所示。

圖2中，頻率－轉(zhuǎn)速控制器與圖1完全相同，輸出為電機(jī)驅(qū)動(dòng)頻率值。仿真過(guò)程中，保持頻率－轉(zhuǎn)速控制器參數(shù)和電壓－轉(zhuǎn)速控制器的比例系數(shù)不變，調(diào)節(jié)電壓－轉(zhuǎn)速控制器積分系數(shù)KI進(jìn)行轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)仿真，得到不同KI時(shí)的電機(jī)驅(qū)動(dòng)電壓和轉(zhuǎn)速變化波形。隨后，采用互信息量法和Cao法計(jì)算延遲時(shí)間τ和最小嵌入維數(shù)m，進(jìn)而用最小數(shù)據(jù)量法計(jì)算轉(zhuǎn)速變化波形的最大Lyapunov指數(shù)［4］，得到轉(zhuǎn)速相對(duì)KI的分岔圖，并對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行分析以確定其混沌區(qū)域。

圖2 超聲波電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)仿真框圖

在［1，20］范圍內(nèi)調(diào)節(jié)KI，仿真得到Lyapunov指數(shù)譜圖和分岔圖，如圖3所示。由于在轉(zhuǎn)速周期1行為過(guò)程中，一個(gè)周期內(nèi)有兩個(gè)極大值，所以在分岔圖中表現(xiàn)出兩個(gè)分支。表1給出了系統(tǒng)狀態(tài)與KI取值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。圖3中當(dāng) KI≤14.22時(shí)，Lyapunov指數(shù)均為負(fù)值，并且在分岔圖中可以看出，該區(qū)域中轉(zhuǎn)速表現(xiàn)為固定點(diǎn)和周期1運(yùn)動(dòng)。當(dāng)KI＞18.2時(shí)，Lyapunov指數(shù)均為正數(shù)，系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌行為，且轉(zhuǎn)速波動(dòng)幅度較大。而在14.22＜KI≤18.2區(qū)域中，Lyapunov指數(shù)主要為正數(shù)，但是存在Lyapunov指數(shù)為負(fù)數(shù)的小區(qū)域，如表1所示。

圖3 轉(zhuǎn)速相對(duì)于KI的分岔圖及Lyapunov指數(shù)

表1 超聲波電動(dòng)機(jī)周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)域

這種現(xiàn)象反映出超聲波電動(dòng)機(jī)運(yùn)動(dòng)特性的復(fù)雜性。由于該區(qū)域中系統(tǒng)表現(xiàn)出周期行為的小區(qū)域比較分散且范圍窄，所以在分岔圖中該區(qū)域的周期行為不明顯。

由表1 可知，在區(qū)域17.72 ＜KI≤18.2 內(nèi)，超聲波電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速表現(xiàn)為周期3運(yùn)動(dòng)。李天巖和Yorke J指出，只要3周期點(diǎn)存在，就有一切周期點(diǎn)存在，即周期3意味著混沌［5］。此觀點(diǎn)進(jìn)一步證明了超聲波電動(dòng)機(jī)運(yùn)行過(guò)程中會(huì)表現(xiàn)出混沌特性。當(dāng)KI=17.82時(shí)，輸出電壓峰峰值時(shí)域波形及相電壓對(duì)于轉(zhuǎn)速的軌跡如圖4和圖5所示。

圖4 KI=17.82 時(shí)，輸出電壓峰－峰值

圖5 KI=17.82 時(shí)，電壓相對(duì)于轉(zhuǎn)速的軌跡

圖6和圖7為KI=15.02時(shí)的仿真波形。很明顯，轉(zhuǎn)速、電壓和轉(zhuǎn)矩均出現(xiàn)了貌似隨機(jī)而有界的不規(guī)則行為，電壓相對(duì)轉(zhuǎn)速的軌跡、正的Lyapunov指數(shù)和系統(tǒng)的分岔圖均表明控制系統(tǒng)表現(xiàn)出了混沌行為。電機(jī)處于混沌狀態(tài)時(shí)，轉(zhuǎn)速限定在有限范圍［49.92 r/min，50.07 r/min］之內(nèi)，電壓限定在［200 V，345 V］之內(nèi)。

圖6 KI=15.02 時(shí)，輸出電壓峰峰值

圖7 KI=15.02 時(shí)，電壓相對(duì)于轉(zhuǎn)速的軌跡

3 結(jié) 語(yǔ)

本文根據(jù)超聲波電動(dòng)機(jī)的運(yùn)行機(jī)理，通過(guò)理論分析，建立了超聲波電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)的混沌分析模型。采用該模型對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行不同控制參數(shù)情況下的動(dòng)態(tài)運(yùn)行過(guò)程分析，表明了兩相行波超聲波電動(dòng)機(jī)混沌運(yùn)行的復(fù)雜性，這主要源于超聲波電動(dòng)機(jī)運(yùn)行機(jī)理的復(fù)雜性。同時(shí)，給出了控制參數(shù)取值范圍與混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)域之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為進(jìn)一步的混沌控制研究提供了必要基礎(chǔ)。

［1］ 史敬灼，李文娟.基于相空間重構(gòu)的兩相行波超聲波電機(jī)混沌運(yùn)行分析［J］.微特電機(jī)，2011，39(3):14－16.

［2］ Mass J，Ide P，F(xiàn)rhleke N，et al.Simulation model for ultrasonic motors powered by resonant converters［C］//Conference Record of the 1995 IEEE Industry Applications Society 30th Annual Meeting.Orlando，USA，1995，3:111 －120.

［3］ 王海彥，史敬灼.基于CPLD的超聲波電機(jī)H橋相移PWM控制［J］.電氣自動(dòng)化.2009，31(2):48－50.

［4］ 呂金虎，陸君安，陳士華.混沌時(shí)間序列分析及其應(yīng)用［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2002.

［5］ Li T Y，Yorke J A.Period three implies chaos［J］.The American Mathematical Monthly，1975，82(10):985－992.