一種彈簧擺運動規律的研究

姜付錦

（武漢市黃陂區第一中學，湖北 武漢 430030）

題目.如圖1所示，A、B兩球質量相等，A球用不能伸長的輕繩系于O點，B球用輕彈簧系于O′點，O與O′點在同一水平面上，分別將A、B球拉到與懸點等高處，使繩與輕彈簧均處于水平，彈簧處于自然狀態.將兩球分別由靜止開始釋放，當兩球達到各自懸點的正下方時，兩球仍處在同一水平面上，則（A）兩球到達各自懸點的正下方時，兩球動能相等.（B）兩球到達各自懸點的正下方時，A球動能較大.（C）兩球到達各自懸點的正下方時，B球動能較大.（D）兩球到達各自懸點的正下方時，A球受到向上的拉力較大.

解析：根據機械能守恒定律，A球在下降的過程中，重力勢能全部轉化為小球的動能；B球在下降的過程中，重力勢能轉化為小球的動能和彈簧的彈性勢能，所以A球的動能較大，故（B）選項對；但對于（D）選項的分析不能簡單地認為此時的彈簧的長度就是小球曲線運動的曲率半徑.參考文獻［1］一文中分析結果是：由功能關系計算B球在最低點的速度大小，但速度的方向以及曲率半徑的確定仍難度很大，要涉及B球運動過程的細節，需通過微分方程才能求解.筆者通過MathCAD對這個問題進行了分析并得到原題中的正確答案，以下是分析過程，文中若有不當之處請各位物理同仁批評指正.

圖1

1 建立模型

圖2

以振子的懸點為坐標原點建立如圖2所示的坐標系xOy，開始時彈簧振子處于水平放置，彈簧處于原長L0狀態，設彈簧的勁度系數為k，振子的質量為m，把彈簧振子由靜止釋放，在某一時刻，彈簧振子的坐標為P（x，y）.

1.1 微分動力學方程

由受力分析可以得彈簧擺在水平與豎直兩個方向上的合外力.在水平方向上有

在豎直方向上有

整理后得，在水平方向上有

在豎直方向上有

1.2 用 MathCAD制圖

為了研究方便，設L0＝20m，g＝10m／s2，k＝1N／m，m＝1kg，用MathCAD制圖如圖3所示.

圖3

1.3 圖形分析

（1）軌跡圖.

圖3（a）是彈簧擺的運動軌跡，由圖可知其軌跡不是一個圓周，彈簧的長度先變長后變短.在最低點小球的速度方向是水平的，此時小球到懸點的距離為47.7m.

（2）彈簧長度圖.

彈簧的長度隨時間是周期性變化，周期為8.325s，由圖3（b）可知在一個周期內先變大后變小且在最低點時長度約為47.7m（最長），由胡克定律可求得在最低點時彈簧的彈力為27.7N＜30N.

（3）小球水平速度隨時間變化圖.

如圖3（c）所示，小球的水平速度隨時間是周期性變化的，周期為16.875s，最大水平速度為13.298m／s.

（4）小球豎直速度隨時間變化圖.

如圖3（d）所示，小球的豎直速度隨時間是周期性變化的，周期為8.325s，在一個周期內先正向變大再減小，然后反向變大最后減小，最大豎直速度為19.186m／s.

（5）小球合速度隨時間變化圖.

圖4

如圖4所示，小球的合速度大小隨時間變化的周期為8.325s，在一個周期內先變大再減小，然后變大最后減小，且在最低點的速度約為13.41m／s，最大速度為19.88m／s.

（6）軌跡曲率半徑隨時間變化圖.

圖5

小球運動軌跡的曲率半徑隨時間是周期性變化，周期為8.325s.由圖5可知在一個周期內曲率半徑先變大再減小，然后變大最后減小，在最低點時的曲率半徑約為10.06m，比彈簧的原長小，既不是彈簧的原長也不是彈簧此時的實際長度.

（7）小球的能量隨時間變化圖.

圖6

圖6中 Eki、Ep1i、Ep2i、Ei分別為小球在下落過程中，動能、重力勢能（設原點的重力勢能為0）、彈性勢能和機械能.由圖可知它們變化的周期為8.325s，小球在下落的過程中機械能是守恒的（總能量為0）.

1.4 與單擺運動規律的比較

若題中A球的輕繩長為47.7m，由機械能守恒定律可求得單擺在最低點時的速度是，取L＝47.7m，得v＝30.89m／s；繩子的拉力為，得F＝30N，都比彈簧擺在最低時的大，所以原題中（B）、（D）為正確答案.

2 結語

文中的彈簧擺在最低點時速度方向是水平的，是由彈簧擺的初始值所決定的，即開始時彈簧處于原長且振子沒有初速度.若彈簧不是原長或振子有初速度，則彈簧擺的軌跡和運動規律將很復雜的［2］［3］，這里暫不討論.以上的分析只是彈簧擺運動規律的一種特殊情況，這是符合原題目中情景的，故答案為（B）、（D）.

1 黃雄.例說力學的瞬時規律和過程規律.物理通報，2011（5）：38－40

2 楊正波，夏清華，劉思平.不同控制參數上的彈簧擺.大學物理，2011，5（30）：23－26