基于MATLAB的直流調(diào)速數(shù)字控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)

劉家鑫

（大連交通大學(xué)電氣信息學(xué)院，遼寧 大連116028）

0 引 言

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，直流調(diào)速系統(tǒng)的數(shù)字化控制已得到廣泛應(yīng)用。較之傳統(tǒng)用模擬電路實(shí)現(xiàn)直流調(diào)速系統(tǒng)的觸發(fā)和調(diào)節(jié)，數(shù)字調(diào)節(jié)器有著明顯的優(yōu)勢。即用微機(jī)執(zhí)行數(shù)字PID運(yùn)算程序代替模擬轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器和電流調(diào)節(jié)器，而轉(zhuǎn)速給定、轉(zhuǎn)速反饋和電流反饋經(jīng)A/D轉(zhuǎn)換器變成數(shù)字量送入微機(jī)（或單片機(jī)），微機(jī)的運(yùn)算結(jié)果通過D/A轉(zhuǎn)換器變成模擬量作為可控整流裝置的觸發(fā)控制電壓。這種方式不但克服了電網(wǎng)電壓波動(dòng)對觸發(fā)精度的影響，而且在一定程度上也減小了因器件老化、溫度變化引起的運(yùn)算誤差。由于計(jì)算機(jī)具有高精度、高速度和編程靈活等優(yōu)點(diǎn)，可以在系統(tǒng)中靈活的使用各種算法實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制；并且對控制結(jié)果的觀察更加明確，對控制結(jié)果的分析也可以在顯示器上繪制曲線來表示［1］。

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的經(jīng)典設(shè)計(jì)方法一般分為兩種。一種是將連續(xù)域設(shè)計(jì)好的控制律D（s）利用不同的離散化方法變換為離散控制律D（z），這種方法稱為“連續(xù)域—離散化設(shè)計(jì)”方法，其允許利用熟悉的各種連續(xù)域設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)出令人滿意的連續(xù)域控制器，然后將控制器離散化，離散化過程較為簡單。另一種方法是在離散域先建立被控對象的離散模型G（z），然后直接在離散域進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。

1 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

直流電動(dòng)機(jī)在額定勵(lì)磁下的等效電路如圖2所示，其中電樞回路總電阻R和電感L，包含電力電子變換內(nèi)阻、電樞電阻和電感。

圖2 直流電動(dòng)機(jī)等效圖

假設(shè)主電路電流連續(xù)，則電壓方程為

忽略粘性摩擦及彈性轉(zhuǎn)矩，電動(dòng)機(jī)軸上的動(dòng)力學(xué)方程為

額定勵(lì)磁下的感應(yīng)電動(dòng)勢和電磁轉(zhuǎn)矩分別為

式中，TL為包括電動(dòng)機(jī)空載轉(zhuǎn)矩在內(nèi)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩（N·m）；GD2為電力拖動(dòng)系統(tǒng)折算到電動(dòng)機(jī)軸上的飛輪慣量（N·m2）；Cm為額定勵(lì)磁下電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩系數(shù)（N·m/A），Cm＝Ce。

再定義下列時(shí)間常數(shù)：

Tl為電樞回路電磁時(shí)間常數(shù)（s），Tl＝；T為m電力拖動(dòng)系統(tǒng)極點(diǎn)時(shí)間常數(shù)（s），Tm＝。

將上述參數(shù)代入式（1）和式（2），并結(jié)合式（3）和式（4）整理，并取拉普拉斯變換得到直流電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)為

整流裝置采用IGBT三相橋式整流電路，用PWM來控制。PWM控制的整流裝置和晶閘管觸發(fā)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型基本一致，是一個(gè)滯后環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)可以寫成

由于時(shí)間常數(shù)Ts非常小，所以對式（6）進(jìn)行泰勒展開，近似等效成一個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)，即

將轉(zhuǎn)速反饋系數(shù)α折算到前向通道，給定值為原來的1/α倍，則直流調(diào)速系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

直流調(diào)速系統(tǒng)的實(shí)際參數(shù)具體如下：

轉(zhuǎn)速反饋系數(shù)α＝0.0158，機(jī)電時(shí)間常數(shù)Tm＝0.075 s，電磁時(shí)間常數(shù)Tl＝0.017 s，IGBT 開關(guān)頻率為10 Hz，則Ts＝0.1 ms。

將上述參數(shù)代入式（8）得

由于IGBT整流裝置的時(shí)間常數(shù)Ts很小，可以忽略，則式（9）可以近似為

2 控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和仿真

2.1 采樣周期的選擇

在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)里，采樣周期T是系統(tǒng)的一個(gè)重要參數(shù)，對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能有很大的影響。一般地，采樣周期越小，穩(wěn)定性越好，但采樣周期太小時(shí)，由于計(jì)算機(jī)運(yùn)算部件、A/D和D/A變換器的字長有限，計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)并不趨于連續(xù)系統(tǒng)，且由于字長有限所產(chǎn)生的量化誤差會(huì)增大。同時(shí)，采樣周期過小時(shí)，將會(huì)增大控制算法對參數(shù)變化的靈敏度，使控制算法參數(shù)不能準(zhǔn)確表示，從而使控制算法的特性變化較大。所以要考慮不同的因素，選取一個(gè)合適的采樣周期。

為了減少頻率混疊現(xiàn)象，選擇采樣頻率時(shí)，常常要求采樣頻率滿足

式中，ωRmax是被控對象全部特征根中的最高頻率。本設(shè)計(jì)ωRmax＝241.66（rad/s），所以Ts≤0.0026 s，取采樣周期Ts＝0.001 s。

2.2 數(shù)字PI控制器的設(shè)計(jì)

本文采用擴(kuò)充臨界比例度法來對PI控制器的參數(shù)進(jìn)行整定。考慮零階保持器的影響將被控對象離散化，再將數(shù)字控制器的積分與微分控制取消，逐步減小比例度σ（1/Kp），直到系統(tǒng)發(fā)生等幅振蕩，得到臨界比例度σk（1/Kk）和臨界振蕩周期Tk，然后查表得出各參數(shù)［2］。

對于臨界比例度σk（1/Kk）和臨界振蕩周期Tk的獲得，在此設(shè)計(jì)中采用根軌跡的分析方法，比直接測量階躍響應(yīng)更加方便和精確。

設(shè)計(jì)程序如下：

圖3 只考慮比例環(huán)節(jié)的系統(tǒng)根軌跡

只考慮比例環(huán)節(jié)的系統(tǒng)根軌跡圖如圖3。運(yùn)行結(jié)果為：用鼠標(biāo)選取根軌跡與單位圓的交點(diǎn)即臨界振蕩點(diǎn)之后，得到 Kk＝8.954，Wk＝136.1434。則 Kk＝8.954，Tk＝0.1709 s。

控制度選1.05，通過查表1得Tl＝0.0837 s，TD＝0.0558 s，則 Kl＝Kp/Tl＝5.114，KD＝KpTD＝0.0239。

PID控制器D（s）＝Kp＋Kl經(jīng)過雙線性變換以后

表1 擴(kuò)充臨界比例度法選PID控制器參數(shù)

圖4 數(shù)字PI控制系統(tǒng)的simulink仿真圖

數(shù)字PI控制系統(tǒng)的simulink仿真如圖4。從仿真結(jié)果看，系統(tǒng)無超調(diào)，穩(wěn)態(tài)誤差為零，效果較為理想。

然后求閉環(huán)極點(diǎn)，繪制波特圖如圖5對系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，程序如下：

圖5 系統(tǒng)開環(huán)傳函波特圖

仿真結(jié)果為:

從圖5看出，系統(tǒng)穩(wěn)定，相角欲度Pm＝105°，增益欲度Gm＝43 dB。

2.3 Z平面根軌跡法

根軌跡法實(shí)質(zhì)上是一種閉環(huán)極點(diǎn)的配置技術(shù)，通過反復(fù)的試湊，設(shè)計(jì)控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，使整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)配置在期望的位置上。在本設(shè)計(jì)中采用零極點(diǎn)對消法，即用控制器的零點(diǎn)對消被控對象的極點(diǎn)，使整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)具有滿意的品質(zhì)［4］。

設(shè)計(jì)指標(biāo)為：超調(diào)量σ%≤20%；上升時(shí)間tr≤0.5 s；調(diào)節(jié)時(shí)間ts≤1 s；

（1）設(shè)計(jì)指標(biāo)及期望極點(diǎn)的位置

典型二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的動(dòng)態(tài)指標(biāo)為：

根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)得出閉環(huán)阻尼比ζ≥0.456，z域同心圓半徑r≤0.966，z域射線θ≥2.5°。

（2）數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)

將被控對象考慮零階保持器離散后，變成零極點(diǎn)形式，設(shè)計(jì)程序如下：

得到的零極點(diǎn)模型為：

則開環(huán)傳遞函數(shù)為：

結(jié)合動(dòng)態(tài)指標(biāo)，繪制系統(tǒng)的根軌跡程序如下：

系統(tǒng)的根軌跡如圖6所示。

圖6 考慮動(dòng)態(tài)指標(biāo)的系統(tǒng)根軌跡

在期望極點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)選取一對極點(diǎn)之后，運(yùn)行結(jié)果為：

則K＝0.3269，k＝K/0.001＝326.9

控制系統(tǒng)的Simulink模型圖如圖7所示，得到的階躍響應(yīng)曲線如圖8所示［3］。

圖6 控制系統(tǒng)SIMULINK的仿真圖

圖7 控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

對系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析，程序如下：

運(yùn)行結(jié)果如圖8所示。從圖中可以看到閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)σ%＝15%，上升時(shí)間tr＝0.00171 s，調(diào)節(jié)時(shí)間ts＝0.00728 s，均滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)。

求閉環(huán)極點(diǎn)，繪制波特圖，進(jìn)行穩(wěn)定性分析，程序如下：

圖8 顯示動(dòng)態(tài)指標(biāo)的系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

運(yùn)行程序得到系統(tǒng)波特圖如圖9所示，閉環(huán)極點(diǎn)p＝0.3264±0.4626 i。

圖9 控制系統(tǒng)開環(huán)傳函波特圖

從系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)和開環(huán)傳函的波特圖中都可以看出，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定并且有足夠的穩(wěn)定欲度。

3 結(jié) 論

本文用了兩種方法對直流調(diào)速系統(tǒng)的數(shù)字控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)。首先設(shè)計(jì)了數(shù)字PI控制器并采用擴(kuò)充臨界比例度法來對其參數(shù)進(jìn)行整定。其中，利用臨界振蕩時(shí)根軌跡與單位圓相交的特性，更加精確地得出了振蕩周期。另一種方法是Z域根軌跡法，對系統(tǒng)進(jìn)行零極點(diǎn)的抵消和重新配置，設(shè)計(jì)出了滿足性能指標(biāo)的控制器。從這兩種方法中均可以看出利用根軌跡來分析和設(shè)計(jì)一個(gè)控制系統(tǒng)的重要性。從根軌跡中不但可以直觀地看到開環(huán)增益K對系統(tǒng)性能的影響，還能增加開環(huán)零極點(diǎn)來重新配置閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，從而改變閉環(huán)系統(tǒng)的性能［5］。另外，從仿真分析中可以看出，MATLAB在對自動(dòng)控制系統(tǒng)連續(xù)傳遞函數(shù)的離散化、系統(tǒng)的根軌跡、穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程的分析中起著非常方便和有效的作用。結(jié)合SIMULINK來建模分析，使得參數(shù)整定和系統(tǒng)調(diào)試更加方便和直觀。

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