基于Contourlet域HMT模型的CycleSpinning去噪方法

李 康，陳雪軍，劉 冰，胡湘江，石 湘

（中國(guó)衛(wèi)星海上測(cè)控部 江蘇 江陰 214431）

Contourlet變換[1]作為解決張量積小波變換角分辨有限問(wèn)題而產(chǎn)生的一種二維信號(hào)多尺度幾何分析新工具，同時(shí)具備高度的方向性和極低的冗余度兩種特征，可以良好地刻畫(huà)二維信號(hào)中曲線(xiàn)奇異性，從而為圖像處理提供了新的有力工具。筆者對(duì)Contourlet域隱馬爾可夫模型（HMT）圖像去噪方法[2]進(jìn)行了深入的研究，并將Cycle Spinning[3]引入到去噪得過(guò)程當(dāng)中，提出了基于Contourlet域HMT模型的Cycle Spinning去噪方法，并通過(guò)測(cè)試圖像驗(yàn)證了其優(yōu)越性。

1 Contourlet域HMT模型

小波域隱馬爾科夫樹(shù)（HMT）模型[4]采用混合高斯模型刻畫(huà)各子帶系數(shù)的概率分布，并通過(guò)小波系數(shù)隱狀態(tài)在多個(gè)尺度之間的Markov依賴(lài)性來(lái)刻畫(huà)小波系數(shù)隨尺度的持續(xù)性（Persistence）和尺度內(nèi)位置上的聚集性（Clustering），從而可以有效地捕捉小波系數(shù)之間的關(guān)系，但是由一維小波通過(guò)張量積而形成的二維可分離小波變換只具有有限個(gè)方向，不能有效表達(dá)含線(xiàn)奇異的二維信號(hào)。Do和Vetterli提出的Contourlet變換[1]能夠很好地表征二維信號(hào)的各向異性特征，更好地捕捉二維信號(hào)的方向信息，在Contourlet域建立HMT模型可以有效地描述各方向信息之間的關(guān)系。在Contourlet域HMT模型[2]中，采用Contourlet系數(shù)對(duì)應(yīng)的隱狀態(tài)變量來(lái)體現(xiàn)系數(shù)之間的Markov相關(guān)性，系數(shù)之間的依賴(lài)關(guān)系由父子狀態(tài)變量之間的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率體現(xiàn)。在Contourlet域HMT模型中，某個(gè)方向子帶中的父節(jié)點(diǎn)可以和多個(gè)方向子帶中的子節(jié)點(diǎn)相連，如圖1所示，圖中黑色方框表示父節(jié)點(diǎn)系數(shù)，白色方框表示其子節(jié)點(diǎn)系數(shù)；所以，和二維張量積小波域HMT模型相比，Contourlet域HMT模型不僅可以很好地描述各系數(shù)在位置上的聚類(lèi)性和尺度間的持續(xù)性，而且還可以有效表達(dá)不同方向上的系數(shù)之間的依賴(lài)性。

圖1 張量積小波域和Contourlet域HMT模型的父子關(guān)系對(duì)比Fig.1 Compare separate wavelet transform HMT model with Contourlet domain HMT model

若用（j，k，i）表示j尺度下，第k個(gè)方向的第i個(gè)系數(shù)所對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)，j=1代表最粗尺度，m，n表示狀態(tài)，用M狀態(tài)零均值高斯混合模型來(lái)刻畫(huà)各子帶系數(shù)的非高斯性，則Contourlet 域 HMT 模 型 可 由參數(shù) θ=[p（1，k，i），m，p（j，k，i），（m，n），σ2（j，k，i），m]描述，其中：

1）：p（1，k，i），m（k=1，…K1；m=1，…，M）：根節(jié)點(diǎn)（1，k，i）處于狀態(tài)m的概率，K1為最粗尺度下的方向數(shù)目。

2）p（j，k，i），（m，n）（ j=2，…，J；k=1，…Kj；m，n=1，…，M）：在 節(jié) 點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)處于狀態(tài)n的條件下，節(jié)點(diǎn)（j，k，i）處于狀態(tài)m的條件概率，即狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，J為L(zhǎng)P變換的尺度數(shù)，Kj為j尺度下的方向子帶數(shù)。

3）σ2（j，k，i），m（j=1，…，J；k=1，…，Kj；m=1，…，M）：節(jié)點(diǎn)（j，k，i）處于狀態(tài)m時(shí)所對(duì)應(yīng)的方差。

EM算法[4]是訓(xùn)練HMT模型的有效方法，任務(wù)是估計(jì)HMT模型參數(shù)θ，對(duì)于Contourlet域HMT模型，EM算法收斂于Contourlet系數(shù)集W的似然函數(shù)f（W）的局部最大值，其迭代步驟如下：

1）初始條件：選擇一個(gè)初始模型估計(jì)θ0；設(shè)置迭代數(shù)l=0。

2）E步：用上行-下行算法[4]計(jì)算下列條件似然函數(shù)β和關(guān)聯(lián)概率函數(shù)α：

其中，ρ（j，k，i）表示節(jié)點(diǎn)（ j，k，i）的父節(jié)點(diǎn)，T（j，k，i）是以節(jié)點(diǎn)（j，k，i）為根節(jié)點(diǎn)的子樹(shù)，S（j，k，i）表示節(jié)點(diǎn)（j，k，i）的狀態(tài)變量 ，m 是 狀 態(tài) ，T1（j，k，i）是 從 節(jié) 點(diǎn) （j，k，i） 所 在 的 樹(shù) 中 去 除 T（j，k，i）的 剩 余 部 分 ，Tρ（j，k，i）（j，k，i）是 從 子 樹(shù) Tρ（j，k，i）中 去 除 T（j，k，i）的 剩 余部分。

根據(jù)這些概率函數(shù)，可以采用下式計(jì)算隱狀態(tài)概率：

其中，W（j，k，i）表示節(jié)點(diǎn)（j，k，i）所在樹(shù)的 Contourlet系數(shù)集。

3）M步用來(lái)更新各HMT參數(shù)，將各子帶內(nèi)的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行捆綁，則M步為：

其中，Z（j，k）表示 j尺度、k 方向子帶內(nèi) Contourlet系數(shù)的個(gè)數(shù)，w（j，k，i）是節(jié)點(diǎn)（j，k，i）處的 Contourlet系數(shù)。

4）若收斂，則完成HMT參數(shù)的訓(xùn)練，否則令l=l+1，回到步驟 2）。

2 基于Contourlet域HMT模型的去噪法

含有零均值高斯白噪聲的二維信號(hào)在Contourlet域可表示為：

其中 u（j，k，i）、v（j，k，i）和 e（j，k，i）分別表示無(wú)噪信號(hào)系數(shù)、含噪信號(hào)系數(shù)和噪聲系數(shù)。 去除噪聲的主要任務(wù)是用 v（j，k，i）來(lái)估計(jì)u（j，k，i），基于 Contourlet域 HMT 模型的去噪方法如下：

式中，x≥0 時(shí)，（x）+=x；x<0 時(shí)，（x）+=0。 θu的其他參數(shù)和 θv的相同。

4）用式（12）得到 u（j，k，i）的估計(jì)值：

3 本文去噪方法

Cycle Spinning是克服變換缺乏平移不變性有效的方法，一般用在變換的閾值去噪過(guò)程中以減少失真和假象[3]。在此處我們將它引入到Contourlet域HMT模型的去噪過(guò)程當(dāng)中，給出了一種基于Contourlet域HMT模型的Cycle Spinning去噪方法，該方法可表示如下：

式中： 其中，X 為原始含噪二維信號(hào)，Sx，y和 S-x，-y為二維平移和逆向平移算子，（K1，K2）是信號(hào)在兩個(gè)方向上的最大平移量，CHMD表示基于Contourlet域HMT模型的去噪方法，y?是去噪后的信號(hào)。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

選擇 512×512大小的標(biāo)準(zhǔn)圖像 Lena、Zelda、Barbara疊加均值為零的高斯白噪聲進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，噪聲標(biāo)準(zhǔn)差取σ=30，40，50，狀態(tài)數(shù) M 取 2，在 Contourlet變換中，采用 4 尺度LP變換，從最細(xì)尺度到最粗尺度，每個(gè)尺度下的方向數(shù)目依次取 8、8、4、4。 LP 變換采用“9-7”雙正交濾波器，方向?yàn)V波器組（DFB）采用由 Phoong等[5]設(shè)計(jì)的“23-45”雙正交梅花濾波器組。實(shí)驗(yàn)對(duì)比了4種去噪方法：小波萎縮閾值去噪法（VisuShrink）[6]、小波域 HMT 模型去噪方法（WHMTD）、Contourlet域HMT模型的去噪方法（CHMTD）和基于Contourlet域HMT模型的Cycle Spinning去噪方法（CHMTD-CS）。

表1給出了使用不同方法降噪后圖像的PSNR值。可以看到，CHMTD-CS的去噪效果最佳，而WHMTD和CHMTD具有相近的PSNR值，這些基于HMT的去噪方法都比VisuShrink好。

表1 不同去噪方法的PSNR值（單位：dB）比較Tab.1 Compare of PSNR values with different denoising methods

將σ=30時(shí)去噪后的Lena局部圖像顯示在圖2和圖3中，圖3顯示的是圖 的一個(gè)放大的細(xì)節(jié)，以利于讀者更好地觀察不同方法的差異。可以看到，VisuShrink產(chǎn)生了過(guò)多的假象和失真，造成嚴(yán)重的細(xì)節(jié)模糊；和WHMTD相比，CHMTD和CHMTD-CS可以更有效地保持含噪圖像中的可視細(xì)節(jié)（包括帽子、頭發(fā)和眼睛上的紋理和邊緣）；此外，CHMTD中的細(xì)小失真在CHMTD-CS中得到明顯的削弱，使得消噪后的圖像和原始圖像更一致。綜上分析，不管是從PSNR值還是從視覺(jué)效果來(lái)衡量，CHMTD-CS都具有最優(yōu)的去噪效果[7]。

圖2 不同去噪方法對(duì)Lena圖像的（σ=30）的去噪結(jié)果Fig.2 Denoising results of the Lena image corrupted with a Gaussian noise of σ=30

圖3 圖2的放大細(xì)節(jié)Fig.3 amplified details of Fig.2

5 結(jié) 論

本文介紹了基于Contourlet域HMT模型的隨機(jī)噪聲衰減方法，用Cycle Spinning克服Contourlet缺乏平移不變性的缺陷，改進(jìn)了該算法，用測(cè)試圖像算例驗(yàn)證了改進(jìn)后算法的合理性和有效性。

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