基于PARAFAC模型的新型DS-CDMA盲接收機

梁 月，劉敬浩，白 靈

（天津大學 電子信息工程學院，天津 300072）

在信號處理和通信領域，盲信號處理已經逐漸成為研究熱點。盲信號處理算法能夠在未知信道狀態和系統參數的情況下實現對信號的檢測和參數的辨識。PARAFAC（parallel factor，平行因子）方法最早是用于心理計量學和應用化學領域的一種三維數據分析方法。21世紀初，Nicholas D.Sidiropoulos將其應用到盲信號處理領域[1]。PARAFAC方法能夠充分利用信號的代數性質和分集特性對接收的信號進行處理，通過三維數據的擬合得到信號處理中需要的各種參數。因其良好的性能，近幾年來相繼被應用到信號處理的各種領域，如陣列信號處理[2]、正交頻分復用（orthogonal frequency division multiplexng，OFDM）系統[3]、多輸入多輸出（multi-input multioutput，MIMO）系統[4-5]。

文獻[1]中提出一種性能收斂于非盲MMSE的基于PARAFAC模型的盲接收機。這種盲接收機綜合利用了不同用戶信號在時間、空間、擴頻碼方面的分集特性，在不需要已知擴頻碼、多徑傳輸、DOA校準信息的情況下將用戶有用信息重建出來。本文將對這種基于TALS算法的盲PARAFAC接收機進行改進，將 TALS算法與 DTLD（direct trilinear decomposition）[6]算法結合起來，提出一種新的DTALS算法，改進了TALS算法中用隨機矩陣進行初始估計引起的不穩定性和收斂速度差的問題。仿真結果表明，使用DTALS算法具有更好的擬合精度和收斂速度，在一定程度上降低了算法的復雜度，提高了算法性能。

文中用到的符號與算子說明如下：diag（.）是對角化算子，表示括號中向量為對角元素形成的對角陣；?為Kronecker積；⊙為Khatri-Rao積，它是Kronecker積的列形式；A⊙B=[a1?b1，…，aRbR]；‖·‖F為矩陣的 Frobenius范數，簡稱 F 范數；（·）+表示矩陣 Moore-Penrose 逆矩陣；（·）T表示矩陣的轉置。

1 數據模型

Nicholas D.Sidiropoulos將PARAFAC模型應用到DSCDMA系統中[1]，將接收信號構造成一個在時間、擴頻、天線3個方向分集的三線性立體模型，如圖1所示。

圖1 DS-CDMA信號的立體方模型Fig.1 Cube model of DS-CDMA signal

假設發送端有F個用戶發送數據，系統采用基帶信號進行直接傳輸，信號經過一個加性高斯白信道進入接收端，接收端基站（BS）有I個接收天線，用碼片速率對基帶天線輸出進行采樣，總共收集到J個符號周期的數據。此時，接收端接收到的信號為：

式中，aif為用戶f到天線i之間的復衰減/增益，bjf為用戶f發送的第j個符號，ckf為用戶f的第k個擴頻碼片，eijk為高斯白噪聲，記 A∈CI×F為信道衰落系數矩陣，B∈CJ×F為信號矩陣，C∈CK×F為擴頻矩陣，其元素分別為 aif，bjf，ckf，R∈CI×J×K為三維信號矩陣，其元素為rijk。由式（1）可知，接收信號R符合平行因子（PARAFAC）模型；矩陣A，B，C分別對應PARAFAC模型的3個模式矩陣。

在對PARAFAC模型的分析過程中，需要對三維數據R按照3個分集方向進行切片處理。R沿天線分集方向切面形式為：

其中Xi..和Ei..分別表示在天線方向上的三維數據X和E的第i層矩陣，A（i）表示信道衰落矩陣的第i行。將Xi..按行排列，可以得到緊湊的數據形式

EX為天線切面噪聲，按照式（2）和（3）的方法，將三維數據R沿其時間分集和擴頻分集方向進行切面操作，得到切面形式 Y 和 Z 如式（4）和（5）所示：

根據文獻[1]可知，在一定條件下，PARAFAC模型能夠唯一分解。

2 DTALS-PARAFAC接收機

文獻[1]中提出的TALS-PARAFAC盲接收機性能上接近于最小均方誤差接收機。TALS-PARAFAC算法中使用隨機矩陣來初始化矩陣 A、B，基于式子（3）、（4）、（5），根據最小二乘原理迭代實現PARAFAC模型的三線性分解。然而當初始矩陣A、B估計不當時，迭代過程容易陷入局部最優的計算“沼澤”，收斂相當緩慢，并可能產生錯誤的解。

DTLD（direct trilinear decomposition）是一種直接三線性分解方法，也是一種基于PARAFAC模型的三維分解方法，它是非迭代的，具有直接快速的優點[7]。但是沒有明確的最優化界限，在信噪比不高的情況下，若三維數據不嚴格服從三線性模型或隨機誤差較大，有可能出現無意義的虛數解，可靠性差。

在應用化學領域，已有學者提出并驗證，在基于PARAFAC模型的分析化學算法中，使用適當的初始值對矩陣進行初始估計（如奇異值分解矩陣、特征分析）可以有效地提高算法的收斂速度和擬合精度[8]。因此，在基于PARAFAC模型的TALS算法中融入DTLD算法，能夠解決TALS算法中初始值選取不當導致的收斂緩慢并且可能出現錯誤的解的問題。仿真結果表明，使用DTLD對TALS算法進行初始化，不僅能夠提高原本算法的收斂速度，而且能夠在一定程度上提高算法的精度，使分解出的數據更加接近于真實數據。

3 基于DTLD的交替最小二乘算法

步驟 1 根據式（3）、（4）、（5）3 個切面方程進行奇異值分解，其中U、V取前F個左奇異值矢量，W取前兩個左奇異值矢量。

步驟 2 根據式（9）、（10）構造偽樣本矩陣 G1、G2，其中wk1、wk2代表矩陣W的第一列和第二列。

步驟3 使用QZ分解G1、G2組成的特征方程，L、M分別為方程的特征向量，可證明 A、B 矩陣由式（11）、（12）得到[7]。

步驟4 根據式 （4），利用最小二乘準則得到C的估計值，如式（13）所示。

步驟5 根據式（3）和步驟4求得的C的估計值利用最小二乘準則得到A的估計值，如式（14）。

步驟6 根據式（5）和步驟4、5求得的A、C的估計值利用最小二乘準則得到B的估計值，如式（15）。步驟7 重復步驟4～6，直至算法收斂即：

其中ε為一個很小的值（通常取1e-6）。

算法收斂后，得到估計矩陣A、B、C。DTALS算法利用步驟1、2、3得到的矩陣進行迭代初始化，使初始值更加精確，能夠減少迭代的次數，降低運算的復雜度。仿真結果表明，DTALS算法在擬合精度上比原有的TALS算法有所提高，并且具有更快的收斂速度。

4 仿真結果與分析

通過仿真，分析DTALS-PARAFAC接收機的誤碼率（bit error rate，BER）性能和收斂性能[9]，將仿真精度與仿真速度等因素綜合考慮，假設M=4個用戶的DS-CDMA系統，一次處理的用戶信息樣本長度為I=50，擴頻碼采用Hadamard碼，長度為K=7，天線數J=4，噪聲為加性高斯白噪聲，用戶與天線的衰落因子服從高斯隨機分布。Monte Carlo仿真1 000次取其平均誤碼率。

4.1DTALS-PARAFAC、TALS-PARAFAC、MMSE 接 收機的BER性能比較

將DTALS-PARAFAC盲接收機與文獻 [1]中TALSPARAFAC接收機的誤比特率性能比較。同時對非盲的線性MMSE接收機進行仿真以作參考。MMSE接收機需要已知信道衰落矩陣A和擴頻碼矩陣C。仿真結果如圖2所示。

圖2 3種接收機的BER性能比較Fig.2 BER curves comparison of three receivers

由圖2可以看出，在未知信道衰落矩陣A和擴頻碼矩陣C的基礎上，DTALS-PARAFAC接收機的性能要優于TALSPARAFAC接收機，且與非盲MMSE接收機性能相近。說明基于PARAFAC的盲接收機性能優越，兩種算法的誤碼性能反映了其迭代算法的擬合精度，即接收機的誤碼率越低，擬合精度越高，反之亦然。因此，在多用戶DS-CDMA系統中，DTALS算法擬合精度更高[10]。

4.2DTALS-PARAFAC接收機和TALS-PARAFAC接收機的收斂速度比較

圖3給出了在不同信噪比條件下，兩種接收機的平均迭代次數?？梢钥闯?種接收機的迭代次數均隨著信噪比的增加而下降.在相同信噪比的情況下，DTALS-PARAFAC的迭代次數遠小于TALS-PARAFAC接收機。因此，在保證誤碼率的前提下，DTALS算法具有更優越的收斂速度，性能更加穩定。

圖3 2種接收機收斂性能比較Fig.3 Convergence performance comparison of two receivers

5 結 論

文中將PARAFAC模型與多用戶多天線DS-CDMA系統相結合，在原有的TALS算法的基礎上結合一種DTLD算法，提出了一種新的DTALS-PARAFAC盲接收機，通過DTLD算法將更加符合模型分解的初始值引入到TALS迭代過程中，優化了算法的性能。結果表明，DTALS-PARAFAC接收機在處理DS-CDMA信號的過程中具有更好的擬合精度和收斂速度，更適用于DS-CDMA系統。

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