基于Bayes BootStrap的特種設備可靠性模型參數確定方法

江賽

（海軍工程大學 科研部，湖北 武漢 430033）

航海特種設備直接影響到航行安全，確保其可靠性十分重要。預先維修一般是指在設備發生故障之前提前采取適當的處理措施，達到增強設備技術完好性，提高設備可靠性的目的。將預先維修理論在航海特種設備的維修保障十分必要。然而，運用預先維修理論進行推斷時需要利用驗前信息，獲取的驗前信息是否準確將對最終得到的預測結果產生極大的影響。一般地，獲取先驗分布函數一般可以采用3種方法[1]：1）利用歷史資料，特別是以前做過的試驗數據資料，獲取分布函數；2）通過理論分析或者仿真獲取分布函數；3）憑藉經驗的“主觀概率”法，例如“專家打分法”獲取分布函數。對此 Jeffreys[2]，Jaynes[3]，Stein，Villegas[4]等人作了專門研究，得出“同等無知原則”、“位置參數（Location Parameter）的驗前分布”、“尺度參數 （Scale Parameter） 的驗前分布”、“Jeffreys 規則”[5]等方法和結論。Bayes Bootstrap方法（也稱隨機加權法[6]）也是一種關于估計誤差的統計處理方法，它的基本思想是用估計誤差的隨機加權統計量去逼近估計誤差的分布。Bayes Bootstrap方法沒有用到大樣本，因此在小子樣情況下，隨機加權法具有較好的應用效果。考慮到航海特種設備小子樣特點，文中將Bayes Bootstrap方法應用于航海特種設備維修時間模型參數的確定。

1 Bayes BootStrap方法的基本原理

設隨機子樣 X=（x1，x2，…，xn）來自未知的總體分布 F，θ=θ（F）是總體分布F的某個參數（如均值、方差等），Fn是由子樣X=（x1，x2，…，xn）得到的抽樣分布函數（通常取 X 的經驗分布），?（Fn）為 θ的估計。 記

式中：Tn——表示估計誤差。

記

式中：Vi——表示具有Dirichlet分布的隨機變量，i=1，2，…，n；

Dn——表示Tn的隨機加權統計量。

隨機加權法就是以Dn的分布去模擬估計誤差Tn的分布。

考慮到海航特種設備維修性數據少的現狀，文中采用Bayes BootStrap方法確定其維修時間分布模型參數，采用Monte-Carlo方法進行模擬計算，計算步驟[7]如下：

1）在區間[0，1]上產生n-1 個隨機數vi，i=1，2，…，n-1，并且使vi在區間[0，1]上具有獨立性和均勻性。

2）對生成的vi按從小到大的次序進行排序，得vi，…，vn-1的次序統計量為v（1），…，v（n-1），并令v（0）=1，v（n）=1。

則Vi=v（i）-v（i-1），（i=1，…，n）的聯合分布為 Dn（1，1，…，1），（V1，…，Vn）就是我們需要的隨機向量。

3）重復抽樣N次，由公式（4.2.17）計算相應的Dn（i），i=1，2，…，N。

4）用Dn（i），i=1，2，…N作為Tn的估計，由公式（4.2.16）得

由此得到θ的值。

2 利用Bayes Bootstrap方法確定可靠性分布模型的參數

一般地，航海特種設備維修時間服從對數正態分布，記維修時間的概率密度函數[8]為：

修復率函數為：

平均修復時間為：

最大修復時間為：

式中，ZP是給定概率為P的分位數，文中取0.95，Z0.95≈1.65。

下面用Bayes BootStrap方法對某型航海特種設備估計誤差進行推斷，從而得到準確的參數值。計算步驟如下：

1）在區間[0，1]上產生 19 個隨機數vi，i=1，2，…，19 并且vi在區間[0，1]上具有獨立性和均勻性。

2）對生成的vi按從小到大的次序進行排序，得vi，…，v19的次序統計量為v（1），…，v（19），并令v（0）=0，v（20）=1。

則Vi=v（i）-v（i=1），（i=1，…，20）的聯合分布為D20（1，1，…，1），（V1，…，V20）就是我們需要的隨機向量。

由式

計算相應的 Dμ、D2。 并重復抽樣N次， 得到Dμ（i），D2（i），（i=1，…，N）。

4）用Dμ（i）、Dσ2（i），i=1，…，N作為估計誤差的Tn逼近，由公式（3）有

根據實測試驗數據得到μ和σ2的一組估計，再對所得的估計值做點估計得μ=3.470 5，σ2=0.405 3。

由此得這種某航海特種設備的維修時間服從參數為（3.470 5，0.405 3）的對數正態分布，即 lnt～N（3.470 5，0.405 3）。

3 可靠性指標的計算

由上節的計算結果得給定小樣本數據的維修時間概率密度函數為：

修復率函數為：

維修時間分布的概率密度函數和修復率函數分別如圖1、2 所示。

圖1 維修時間分布概率密度函數Fig.1 Probability density function

4 結 論

運用預先維修理論進行推斷時需要利用驗前信息，即確定預先維修的數學模型。本文將Bayes BootStrap方法應用于航海特種設備維修模型參數的確定，結合實際小字樣試驗數據，計算結果表明，修復時間的平均值為39 min；所有維修措施的50%在32 min內將能完成；所有維修措施的95%在92 min內都能完成。針對某型航海特種設備的技術指標都規定基層級的平均修復時間Mct≤30 min，而文中計算得出的分鐘，可知該型航海特種設備使用中的維修性有所下降，需查找具體原因減少維修時間。

圖2 修復率函數Fig.2 Repair rate function

[1]唐雪梅，張金槐，邵鳳昌，等.武器裝備小子樣試驗分析與評估[M].北京：國防工業出版社，2001.

[2]Jeffreys H.Theory of Reliability[M].London：Clarendon Press，1961.

[3]Jaynes E T.Prior probability[J].IEEE Trans.on Systems Science and Cybernetics，1968（4）：227-241.

[4]Villegas C.On the representation of ignorance[J].Jour.Amer.Statist.Assoc，1977（72）：651-654.

[5]張金槐.Bayes試驗分析中驗前分布的表示[J].國防科技大學學報，1999，21（6）：109-113，118.

ZHANG Jin-huai.Bayes test analysis for the prior distribution of representation[J].Journal of National University of Defense Technology，1999，21（6）：109-113，118.

[6]Walter G G ，Hamedani G G.Bayes empirical bayes estimaion for discrete exponential families[J].The Annals of Statistics，1989（41）：101-119.

[7]段曉君，王正明.小子樣下的Bootstrap方法[J].彈道學報，2003，15（3）：1-5.

DUAN Xiao-jun，Wang Zheng-ming.Under small sample Bootstrap method[J].Journal of Ballistics，2003，15（3）：1-5.

[8]金星，洪延姬，沈懷榮，等.工程系統可靠性數值分析方法[M].北京：國防工業出版社，2002：216-227.