基于不同安全間距的元胞自動機交通流模型的研究

梁文家， 關 可 ， 吳潛蛟， 盛 春

（1.長安大學 電子與控制工程學院，陜西 西安 710064；2.長安大學 信息工程學院，陜西 西安 710064）

隨著社會經濟的發展，交通問題越來越成為被關注和研究的焦點，對交通流的模擬和交通流特性的理解是解決交通問題的前提和基礎。傳統的交通流模型有流體力學模型、氣體動力學模型、跟馳模型等[1-2]，這些模型在理論研究和實際應用中都已經發揮了重要作用。然而由于交通流在時間、空間上具有高度的隨機性、動態性和復雜性，交通系統表現出豐富的非線性特征。另一方面，真實交通系統的一般路網規模巨大，道路使用者眾多，傳統的微觀仿真方法面臨著計算資源的約束，因此要求有結構簡單、計算迅速的交通流模型。

目前基于元胞自動機（Cellular Automata，CA）的交通流模型研究取得了很大進展。Cremer和Ludwig[3]于1986年最早將元胞自動機理論應用于車輛交通系統的研究，為研究交通流系統開辟了新的途徑；Wolfram[4-5]同時期提出了184號CA模型用于交通流的模擬。以Wolfram命名的184號CA模型為基礎，Nagel和Schreckenberg于1992年提出了用于研究高速公路交通的NaSch模型[6]，同一年，Biham等人提出了用于研究城市網絡交通的BML模型[7]。

因為涉及到車輛、司機、行人、道路條件等因素以及它們之間的相互作用的影響，交通系統通常被看作是一個由多粒子構成的復雜的巨大系統。CA模型在保留了交通流系統的非線性特征和其他物理特征的同時，CA模型的時間、空間、狀態變量均為離散量，元胞的狀態并行更新，適合在計算機上實現，能夠實現大規模路網的快速計算。由于大量車輛組成的交通流從本質上說是離散量，而元胞自動機又是一個完全離散化的模型，所以用元胞自動機原理來研究交通流的問題就具有獨特的優越性，可以用元胞自動機來研究各種具體的交通現象。由于CA模型的這些特性，其非常適合用于交通流的仿真模擬，而且，如果演化規則設計合理，并考慮到真實的交通條件，交通流的很多特性可以通過仿真模擬出來，從而可以解釋很多的交通現象。

元胞自動機模型在交通流仿真中的各種優點，已經引起很多學者的重視和研究。研究方向有：改進CA模型相關的規則，考慮各種真實的交通條件，對仿真結果的時空圖和基本圖進行分析；CA模型中隨機參數的標定的研究；基于CA模型的交通流的在線模擬等。

1 NaSch模型

作為184號模型的推廣，1992年Nagel和Schreckenberg提出了著名的用于描述高速公路交通流的NaSch模型[6]。在模型中，時間、空間以及速度都被整數離散化，道路被劃分為離散的格子（即元胞），每個元胞或者是空的，或者被一輛車占據，每輛車的速度可以取 0，1，2，…，vmax，其中vmax為最大車速。所有車輛由左至右編號，其中第n輛車的位置記為xn，而它的速度vn∈{0，1，2，…，vmax}，其中n∈1，2，…，N，且假定所有車輛具有相同的最大速度vmax（≥1）。車輛n+1在車輛n前方，兩車間距dn=xn+1-xn-1表示第n輛車和其前面的近鄰車輛第n+1輛車之間的空元胞數。單元格長7.5 m，時間步長1 s。

在t→t+1的過程中，Nasch模型按照如下的規則同步并行更新：

1） 加速過程，vn→min（vn+1，vmax）；司機希望以最大的車速行駛。

2） 減速過程，vn→min（vn，dn）；司機為了避免和前面的車發生碰撞而采取的減速措施。

3） 隨機慢化，以概率p，vn→max（vn-1，0）；因為各種不確定因素（如前面路況不好、司機的不同心態等等）造成的車輛隨機減速。

4）車輛向前運動，xn→xn+vn；車輛按照調整后的速度向前行駛。

這4步是能夠反映真實交通現象的最小化規則集，缺少任何一條規則或者改變執行的順序都不能產生真實的交通行為。

NaSch模型雖然具有十分簡單的形式，但是卻可以描述一些實際的交通現象，比如NaSch模型能夠再現阻塞的自發形成和自發消失，擁擠交通情況下時走時停的現象等等。NaSch模型的基本圖如圖1所示，包括自由流和擁擠流兩個分支。該模型考慮到了車輛的加速、減速和隨機慢化的影響，在時空圖上能顯示出車輛從自由運動相到局部阻塞相的相變，從而引起了廣泛的注意和研究。

圖1 NS模型的基本圖Fig.1 Basic diagrams of NS model

在上面的基本圖中，vmax=4，即對應實際的車速為108 km/h，系統有300個元胞，即車道由300個離散格點，記錄在[101～300]時間范圍內的200個時間步長。圖中流量達到最大值時對應的密度值稱為臨界密度，記為ρc。注意到當p=0時，臨界密度 ρc=1/（Vmax+1），這與確定性 NS 模型（p=0）是一致的。 當p>0時，臨界密度ρc要比p=0時的臨界密度要小。

對于不同的減速概率來說，當密度小于ρc時，車輛的行駛為自由流狀態，相互之間不受影響，以最大速度行駛。當密度大于ρc時，系統出現自發的局部堵塞，且堵塞隨時間的推移向上游傳播，堵塞流和自由流在系統中共存。但值得注意的是，慢化概率p對NaSch模型的模擬結果有很大的影響，慢化概率p是引起車輛自發堵塞的原因。

董力耘等人[8]提出一種改進的CA跟車模型，除考慮前后車的相對速度外，通過引入定值的安全間距dsafe來描述車輛的減速行為。

Li X B等人[9]提出了一個能近似考慮前車速度效應的CA擴展模型，建模時考慮了前車速度可能的影響，對減速條件進行了改進，然后再計算本車的車速，并且保持了更新規則的同步并行性。

在VDR模型中，隨機慢化概率不再是固定不變的，而是車輛速度的函數，采用下式來計算隨機慢化概率：

并且取p0>p，這是考慮到在上一時刻靜止的車輛在新時刻的隨機慢化概率要大于上一時刻運動的車輛。確定隨機慢化概率要放在加速步的前面來運行，也就是說，隨機慢化步的慢化概率是由上一時刻更新結束后的車輛的速度決定的。

在VDR模型中，隨機慢化步的規則為：如果vn=0，那么以概率p0，vn→max（vn-1，0）；如果vn>0，那么以概率p，vn→max（vn-1，0）。

2 改進的元胞自動機交通流模型

考慮車輛間距的跟馳行為，在一隊汽車中，后車駕駛員總不愿意落后很多，而是緊隨前車前進，這就是“緊隨要求”。從安全角度考慮，跟馳車輛要滿足2個條件：1）后車的車速不能長時間地大于前車車速，只能在前車速度附近擺動，否則會發生碰撞，這是“車速條件”；2）前后車之間必須保持一個安全距離，即在前車剎車時，有足夠的時間供后車駕駛員做出反應，采取制動措施，這是“間距條件”。顯然，當車速高時，制動距離大，跟車距離也應加大。緊隨要求、車速條件和間距條件構成了車隊跟馳行駛的制約性，即前車車速制約著后車車速和兩車間距。駕駛員對前車運行狀態的改變要有一個反應過程，這個過程需要一定的時間，即反應時間。一般來講，人腦對一個輸入的信息作出判斷大約需要1 s左右。

文中在NaSch模型的基礎上提出一個改進的元胞自動機模型來模擬周期性邊界條件下高速公路上的車流運動。考慮到車輛速度的差異，對速度不同的車輛設置不同的安全車間距，根據車輛與前方緊鄰車輛之間的間距和車輛的速度來確定該車的運動，這樣就可以間接地反映出前方緊鄰車輛對當前車輛的影響。通過引入不同的安全間距可以描述以不同速度運動的車輛接近前方車輛時的減速行為。文中采用了不同的安全車間距，并且考慮到速度的差異，因而改進后的交通流模型可以較好地描述交通流中的現象，對車輛微觀運動進行合理地描述。

文中的改進模型定義由L個格點組成的一維離散點列上，每個格點上可能有vmax+2個狀態：空格點（即無車），或者有一輛以速度v運動的車，其中vn∈{0，1，2，…，vmax}，n∈1，2，…，N，且假定所有車輛具有相同的最大速度vmax（≥1），車輛n+1在車輛n前方。

改進后的交通流模型考慮到車輛當前速度的差異，對速度不同的車輛設置不同的安全車間距。車輛的演化規則為：

確定隨機慢化概率：考慮到慢啟動規則，慢化概率不再是固定不變的，而是車輛速度的函數，采用下式來計算隨機慢化概率：

1） 加速步：vn→min（vn+1，vmax）；司機希望以最大的車速行駛。

2） 減速步改為：whilevn=0，1，2；vn→min（vn，dn）；

whilevn=3，4；vn→min （vn，dn-1）；（如果dn=0，那么vn→min（vn，dn））；

whilevn=5，6；vn→min （vn，dn-2）；（如果dn=1，0，那么vn→min（vn，dn））。

dn=xn+1-xn-1表示第n輛車和其前面的近鄰車輛第n+1輛車之間的空元胞數，xn+1表示第n+1輛車的位置，xn表示第n輛車的位置。

3）隨機慢化步：其規則是如果vn=0，那么以概率p0，vn→max（vn-1，0）；如果vn>0，那么以概率p，vn→max（vn-1，0）。

4）車輛運動步：xn→xn+vn；車輛按照調整后的速度向前行駛。

從上面的車輛運動的演化規則可以看出，該模型與NaSch模型不同之處在于：

考慮到車輛速度的差異，對速度不同的車輛設置不同的安全車間距，根據車輛與前方緊鄰車輛之間的間距和車輛的速度來確定該車的運動，這樣就可以間接地反映出前方緊鄰車輛對當前車輛的影響。另外，通過引入不同的安全間距可以描述以不同速度運動的車輛接近前方車輛時的減速行為。當車速高時，制動距離大，跟車距離也應加大，這也符合實際情況和日常經驗。

同時，在改進的模型中的隨機慢化步采用了VDR模型，對不同速度的車輛采用不同的慢化概率，在上一時刻靜止的車輛在新時刻的隨機慢化概率要大于上一時刻運動的車輛。

3 仿 真

為了對改進后的模型有一個直觀的認識，筆者用改進的模型并利用Matlab工具對單車道交通流進行仿真。模擬過程中，系統長度L=300個元胞，記錄在[501～1 000]時間范圍內的500個時間步長，采用周期邊界條件。由于系統是封閉的，則平均密度ρ=N/L，N是道路上的車輛數目。初始狀態時N輛車隨機分布在L個一維離散的元胞表示的路段上，其速度從0到vmax隨機選取一個整數值，從左到右車輛依次從1到N標記。在每個更新時步，N輛車的速度按照更新規則并行刷新。為了模擬比較方便，選取更新時間步為1 s。一個元胞長+500 s之后開始記錄數據，以消除初始狀態暫態過程的影響。

圖2，圖3，圖4為交通流時空演化圖，水平方向自左向右為車輛的運動方向，垂直方向自上而下為時間演化方向。仿真的結果表明，在低密度區是自由交通流，在高密度區，出現交通擁擠。圖2為低密度時自由流的時空圖，流量隨密度的增加而增加。圖3，圖4表示高密度時的時走時停的交通流時空圖，顏色較淺的區域對應于沒有擁擠的自由流，顏色較深的區域表示出現擁擠。

圖2 改進模型的自由交通流時時空演化圖vmax=6，p=0.3，p0=0.6，ρ=0.05Fig.2 Free traffic flow space-time evolution of the improved model

圖3 改進模型的時走時停交通流的時空演化圖vmax=6，p=0.1，p0=0.6，ρ=0.2Fig.3 Stop-go traffic flow space-time evolution of the improved model

圖4 改進模型的時走時停交通流的時空演化圖：vmax=6，p=0.5，p0=0.6，ρ=0.2Fig.4 Stop-go traffic flow space-time evolution of the improved model

從圖3，圖4中可以觀察到自由流和堵塞流交替出現，堵塞向后傳播。車輛由最初車速較高的自由流，隨著車頭間距減小、車速降低，逐漸形成堵塞。如果速度進一步降低，堵塞的范圍將增大。在堵塞流的內部，車輛會與前車保持一定間距行駛，或者處于靜止狀態。在堵塞流外面的顏色較淺的自由流區域，車輛間距比較大，車輛會以較高的速度自由行駛，而不會發生碰撞，直到間距變小，形成另外一個堵塞流。從圖3，圖4還可以觀察到減速概率p對模擬結果的影響，在其它參數不變的情況下，由于減速概率p的增大，局部更容易形成堵塞。

改進模型中駕駛員反應的敏感性增強，相接近的車輛間會根據不同速度來保持不同的間距，避免急剎車情況，從而保障交通安全。

這一結果對交通的控制和管理具有一定的參考價值。

圖5為改進模型和NS模型的基本圖的對比。評價一個交通流模型的最重要的指標就是基本圖。仿真結果表明，在低密度區流量隨密度的增大而增大，流量達到最大值之后，隨著密度的進一步增大，流量持續減小。

圖5 改進模型和NS模型的基本圖Fig.5 Basic diagrams of improved model and NS model

從圖5中還可以觀察到，改進模型中的基本圖曲線在大于臨界密度之后的下降趨勢比NaSch模型的基本圖曲線要大。這也說明改進模型中駕駛員的反應敏感性增強，駕駛員的加、減速反應都比NaSch模型中的要快，所以流量的變化就越明顯。

4 結束語

文中對NaSch模型進行了改進，建立了一個擴展的元胞自動機模型來模擬單車道交通流。該模型通過設置不同的安全間距，根據車輛與前方緊鄰車輛之間的間距和車輛的速度來確定該車的運動，這樣就可以間接地反映出前方緊鄰車輛對當前車輛的影響。

通過對改進模型的仿真后，可以看到駕駛員的反應敏感性增強，能迅速地做出決策，保證了交通的安全。數值仿真結果顯示：流量隨密度的變化顯著，基本圖曲線下降的趨勢更明顯了。

由于改進模型只是修改了NaSch模型的局部規則，并不影響原來模型的計算的并行性，所以保持了NaSch模型原有的計算速度快等諸多優點，對智能交通的設計具有一定的參考價值。

[1]Kerner B S.Three phase traffic theory and highway capacity[J].Physica A，2004（333）：379-440.

[2]Schadschneider A.Traffic flow：a statistical physics point of view[J].Physica A，2002（313）：153-187.

[3]Cremer M，Ludwig J.A fast simulation model for traffic flow on the basis of Boolean operations[J].Mathematics and Computers in Simulation，1986（28）：297-303.

[4]Wolfram S.Theory and applications of cellular automata[M].Singapore：World Scientific，1986.

[5]Wolfram S.Statistical mechanics of cellular automata[J].Rev.Mod.Phys，1983（55）：601-644.

[6]Nagel K，Schreckenberg M.A cellular automaton model for freeway traffic[J].Journal of Physics I France，1992（2）：2221-2229.

[7]Biham O，Middleton A A，Levine D A.Self-organization and a dynamical transition in traffic flow models[J].Physical Review A，1992（46）：6124-6127.

[8]董力耘，薛郁，戴世強.基于跟車思想的一維元胞自動機交通流模型[J].應用數學和力學，2002，23（4）：331-337.

DONG Li-yun，XUE Yu，DAI Shi-qiang.One-dimension cellular automaton model of traffic flow based on car-following idea[J].AppliedMathematicsandMechanics，2002，23（4）：331-337.

[9]LI X B，WU Q S，JIANG R.Cellular automaton model considering the velocity effect of a car on the successive car[J].Physics Review E，2001（64）：66-128.