PID參數繼電反饋整定法的改進

高峰

（商丘師范學院 物理與電氣信息學院，河南 商丘 476000）

文中首先分析了PID參數繼電整定法的基本原理和操作過程，給出了Astrom法的自整定公式和PM法的自整定公式。然后又在此基礎上提出了一種改進的繼電整定方法，并推導了相應的整定公式。最后，通過實際仿真對比，證明了利用改進的方法進行PID參數整定可以獲得更好的控制性能。

1 繼電反饋整定法的基本原理

PID參數的繼電整定方法是由瑞典著名學者Astrom和Hagglund兩人共同提出的[1-3]，其原理框圖如圖1所示。其中繼電器環節采用帶滯環的繼電器，它有滯環寬度ε和滯環幅d值2個參數，開關K用于選擇繼電測試或者PID控制器調節。

具體的參數整定步驟如下：

1）通過人工調節使系統進入穩態。

2）按下整定按鈕，使開關K與點M接通；選取合適的ε和d使系統獲得等幅振蕩的周期運動。

3）根據產生的等幅振蕩計算對象的臨界振蕩εC頻率及臨界振蕩增益KC。

4）通過整定公式計算PID控制器的參數。

5）自動調整PID參數。

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6）開關K接通N點，實行PID控制。

圖1 繼電反饋整定法的原理圖Fig.1 Principal diagram of relay feedback tuming method

在獲取臨界信息后，通常采用Astrom法和PM法的整定公式獲得PID參數。

Astrom法的整定公式如下：

PM法的整定公式如下：

其中α通常取4。利用上面兩種方法整定得到的參數一般比較粗糙，控制效果較差。

2 繼電反饋整定法的改進

為了得到更加優化的PID參數，可以對前述的繼電實驗加以改進，在繼電環節和被控對象之間設置一個積分器。在這種情況下進行實驗，被控對象在高頻只需至少-的相位滯后，就可以得到等幅振蕩的周期運動。其頻率就是虛軸的負半軸與幅相頻率特性曲線的交點的頻率。此外，積分器的設置能夠促進高頻信號的衰減，使諧波中的高頻成分大大減少，基波成分所占比例得到提高，從而改善了描述函數的精度[4-6]。含積分器的繼電整定原理如圖2所示。

圖2 改進的繼電整定法原理圖Fig.2 Principal diagram of improved relay feedback tuming method

設開環幅相頻率特性曲線與虛軸的負半軸相交于點B，該點的頻率即為臨界振蕩頻率ωb。

T可以通過實驗測得。同樣可得到被控對象在這個頻率點的幅值近似為

A即為被控對象的輸出y的振蕩幅值，亦是通過實驗測得。并且由式（9）可知，通過選擇合適的繼電環節的幅值d能夠對A進行限制，以保證系統正常工作。確定ωb和Kb之后，便可以進行PID參數整定。PID控制器作用下的被控對象幅相頻率特性曲線如圖3所示。

圖3 PID控制器作用下的幅相頻率特性曲線Fig.3 Magnitude-phase characteristics curve under PID control

通過選擇不同的KP，TI，TD值能夠使幅相頻率特性曲線上的點隨意地移動。圖3中，選擇不同的KP值，會使點C沿徑向移動，而選擇不同的TI和TD值能夠使點C沿幅相頻率特性曲線的切向移動。點C能夠發生移動的角度區間為（-90°，90°）。現欲將點 C移至同時滿足相位裕度φm和幅值裕度Am的點上，可以得到

根據經驗，令TI和TD滿足

α通常取4，最后解得

式（14），（15）和（16）即為改進后的 PID 參數整定公式。

3 仿真實驗

圖4 基于Astrom法的系統單位階躍響應曲線Fig.4 Unit step response curve of the system based on Astrom method

圖5 基于PM法的系統單位階躍響應曲線Fig.5 Unit step response curve of the system based on PM method

4 結束語

圖6 基于改進方法的系統單位階躍響應曲線Fig.6 Unit step response curve of the system based on improved method

由對象的仿真可以看出，基于Astrom法整定出的參數的系統單位階躍響應曲線在20 s開始穩定；而基于PM法整定出的參數的系統單位階躍響應曲線也在20 s開始穩定；基于改進方法整定出的參數的系統單位階躍響應曲線在15 s開始穩定。而且前兩者的曲線比后者的震蕩要明顯的多。所以得出結論：由改進后的方法得到的PID參數實行控制，系統性能明顯優于Astrom法和PM法。

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