變分法在測控設備軍事效益分析中的應用＊

朱澤鋒 蔣 敏 張 偉

（91913部隊 大連 116041）

1 問題的提出

測控技術一般是指對工業生產過程及其機電設備進行測量與控制的自動化技術，是計算機技術與自動控制技術相結合的產物，測控設備則是用來實現測控技術的設備，其工作特點主要表現為實時性，即信號的輸入、計算、輸出都要在一定的時間間隔內完成，計算機對輸入信號能以足夠快的速度進行控制，以達到實時控制決策的目的。測控設備在當前軍事領域中有著廣泛的應用，主要表現為用來測量飛行目標的角度、速度、內部溫度、壓力等信息，其軍事效益也越來越得到更多的體現。如何來分析和計算測控設備的軍事效益，使其得到最大的價值體現，為了解決這一問題，文章主要運用變分法模型來分析和應用。

為了更好的介紹變分法模型，我們先來看下面一個例題：

若某一關于x的函數為y＝y（x），時間t是y（x）的函數，且表達式如式（1）所示［1］：

那么，y（x）的表達式滿足何種關系時，t＝J（y（x））可以取得最小值？即使得：t＝J（y（x））＝mint。由于y（x）是未知的，可以是一線性表達式，也可以是二次函數，但是要使得t＝J（y（x））取得最小值，其表達式該滿足何種條件？對我們來說是相當于一個需要解密的“黑匣子”，我們可以將這一解密過程理解為一動態的過程控制，通過這一控制來達到最優化的目的。測控設備的軍事效益分析與這個問題有些類似，假設某型測控設備投入到軍事應用中，一方面該設備隨著運行時間的推移其磨損程度愈來愈大，因此其自身價值將隨著設備的使用時間增加而減小；另一方面測控設備總是要進行日常保養，花費一定的保養費，保養可以減緩設備的磨損程度，提高設備的自身價值。再者，設備在具有一定自身價值的前提下，如果投入到軍事應用中，也具有一定的軍事效益產值（生產率）。那么，怎樣確定最優保養費和設備獲得最優軍事效益時的時間，才能使這臺設備的軍事效益最大？這就是我們需要解決的問題。由于泛函分析解決的是函數集合S中的每一個函數與實數J之間的對應關系，而這類優化問題可以歸結為尋求最優控制函數使得某個泛函達到極值［2］。因此，文章主要運用泛函的變分法模型來研究這一類型問題，下面加以具體分析。

2 變分法原理

泛函的變分指的是自變量函數的增量引起的泛函的增量，用δJ表示，它的一個重要的形式是它可以表示為對參數α的偏導數，如式（2）所示：

其中：δx（t）＝x（t）－x0（t），表示函數x（t）在x（t0）的增量。

若泛函J（x（t）在x（t0）達到極值（極大或極小值），則有如下結論（泛函的必要條件），如式（3）所示［3］：

在最優控制系統中，常常要涉及到有約束條件的泛函的極值問題，其典型形式一般滿足動態系統關系，如式（4）所示［4］：

在此約束條件下，然后尋求最優性能指標（目標函數），如式（5）所示：

其中：u（t）是控制策略，x（t）是軌線，t0固定，tf及x（tf）自由，f，φ，F連續可微。

下面推導目標函數取得極值的最優控制策略u＊（t）和最優軌線x＊（t）的必要條件。

采用拉格朗日乘子法，化條件極值為無條件極值，如式（6）所示：

定義式（4）和式（5）的哈密頓（Hamilton）函數如式（7）所示：

將式（7）代入式（6），得到泛函的表達式如式（8）所示：

由式（2）可知：泛函的變分可以表示為對參數α的導數，同時由于tf是自由的，可以得知時間t是變動的，那么時間t可以用參數表示為t＝tf＋αdtf，那么泛函的變分可以用如下形式表示，如式（9）所示［5］：

將式（9）化簡得如下結果，如式（10）所示：

令δJ1＝0，由δx，δu，δλ的任意性，如果受控系統由式（5）確定的性能指標達到極值，那么其最優控制策略u＊（t）和相應的最優軌線x＊（t）由下列的必要條件決定［6］：

1）狀態方程：＝Hλ＝f（t，x，u）；

3）哈密頓函數H（t，x＊，u，λ＊）作為u的函數，也必須滿足：Hu＝0；

5）哈密頓函數H（t，x＊，u＊，λ＊）＝F（t，x＊，u）＋λ＊T（t）f（t，x＊，u）作為u（t）的函數，最優控制策略u＊（t）必須使得：

3 模型建立以及實例應用

3.1 問題分析與假設

測控設備的軍事效益主要與設備的自身價值、磨損程度、保養效益、設備的生產率等因素相關，在文章中做出如下假設：

1）設備的自身價值為時間t的函數，記為x（t）。x（t）的大小與設備的磨損程度和保養費密切相關，記初始的設備自身價值x（0）＝x0；

2）設備在t時刻的磨損程度可以用t時刻自身價值的損失值來刻畫，稱其為磨損函數，記為m（t）；

3）設t時刻單位時間的保養費為u（t），t時刻的保養效益系數為g（t）（單位保養費所增加的自身價值），那么單位時間的保養效益為u（t）g（t）；

4）設備處于某一價值時，投入到軍事應用中具有一定的產值，設單位時間的產值與自身價值的比值為p，那么px（t）表示在t時刻單位時間的軍事效益產值，也就是t時刻的生產率；

5）設備在達到最優軍事效益的時刻tf和自身價值x（tf）未知，即tf和x（tf）都是自由的。

3.2 模型的建立

根據以上的分析和假設可知：考察的對象是測控設備在生產中的磨損—保養系統；設備自身價值體現了磨損和保養的綜合指標，可以選作系統的狀態變量；在測控設備的使用中，磨損的不可控性強，其微弱的可控性也是通過保養體現，加之保養本身具有較強的可控性，所以選單位時間的保養費u（t）作為控制策略。這樣，測控設備的最大軍事效益模型可以構成測控設備磨損—保養系統的（設備自身價值）狀態方程。

假設測控設備在t時刻設備自身價值為x（t），那么在t＋Δt時刻，其自身價值的變化值為：x（t＋Δt）－x（t）＝－m（t）Δt＋g（t）u（t）Δt，等式兩邊都除以Δt，并令Δt→0，同時結合x（0）＝x0可得如下狀態方程，如式（11）所示：

3.3 模型的求解

首先寫出問題的哈密頓函數，如式（12）所示［7］：

再由協態方程及邊界條件求出λ（t），即由f

解得：λ（t）＝－pt＋1＋ptf

下面利用最大之原理求u＊（t）。將式（12）改為

由上式可知：H是對u的線性函數，同時根據最大值原理可知，要使得H取得最大值，必須滿足條件：

即：

在上式中，還需要解決兩個問題：1）u＊（t）＝U與u＊（t）＝0的轉換點ts在什么位置，即ts等于多少？2）u＊（t）是從U到0還是從0到U。

轉換點ts應滿足條件：

從而可以求出ts。

由于測控設備隨著使用時間的增加而不斷老化，那么其單位保養費用所增加的自身價值應該呈遞減趨勢，也就是說，g（t）是時間t的減函數，由此可以得出式（14）的左端也是時間t的減函數，所以u＊（t）隨時間變化應由U到0。于是最優控制策略表達式為［8］：

至于tf，x（tf）的求法，請見下面的例子。

3.4 實例應用

解：由式（14）可以求得ts的公式：

當t＜ts時，u＊（t）＝U＝1，狀態方程為

當t＞ts時，u＊（t）＝0，狀態方程為

于是t＞ts時，有：

解得：

由自由邊界條件

可得：

得出：

當t＝tf時，由（15）式可得：

即：

聯立方程組：

編寫 MATLAB程序解以上方程組可得［9～10］：

于是，最優控制策略（保養費）為

那么，總的軍事效益為

通過結果可以看出：某型測控設備從投入使用開始至31年的時間內進行維護保養，每年的投入費用為1萬元，在使用約49年后，其軍事效益可以達到最大值，最大值為247.1萬元。

4 結語

動態優化過程是一個復雜而系統的過程，涉及到諸多因素和各因素之間的內部關系，泛函的變分法在動態優化的過程中能夠很好地解決可控因素和不可控因素之間的內部關聯，以達到最優的控制結果，從而為決策者提供最優的控制策略。

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