含間隙碰撞振動系統的非線性振動特性

盧緒祥， 劉正強， 黃樹紅， 李錄平

（1.華中科技大學 能源與動力工程學院，武漢430074；2.長沙理工大學 能源與動力工程學院，長沙410114）

現代機械結構系統中內部或邊界上的間隙使在外界激勵作用下不同零部件間產生碰撞振動，從而對系統的動力特性、可靠性和壽命等技術指標產生重要影響，如航天器伸展機構和渦輪機械轉子系統等機械系統中的運動副間隙引起的碰撞振動導致系統效率和工作精度降低［1］.然而，碰撞（沖擊）阻尼器和透平機械葉片的碰撞減振結構卻可以利用零部件的相互碰撞來快速傳遞和耗散能量，從而提高該類結構系統的可靠性和壽命［2－5］.同時，含間隙的碰撞振動系統具有復雜的非線性和不連續性，因此對其進行研究既具有工程實際意義又有較大的理論價值.

一般，含間隙和碰撞的機械振動系統為多參數高維系統，并且碰撞或沖擊等因素造成的非線性與奇異性使系統具有很強的非線性動力特性.目前，許多研究者借助非線性振動理論的數值解法獲得了該類系統的非線性振動規律：不僅存在著多種周期運動，而且隨著參數的變化出現各種分岔（周期倍化分岔、Hopf分岔等），進而演變成概周期、非周期或混沌運動［6－9］.但在研究中全面考慮碰撞中的所有物理過程十分困難，因此需對碰撞條件和碰撞過程進行合理簡化，從而建立起比較符合實際的碰撞模型.筆者采用廣義Hertz接觸理論將該碰撞振動系統等效為無質量彈簧－阻尼器，建立含對稱間隙結構的碰撞振動系統動力學模型，然后通過數值求解對該結構模型在不同參數條件下的非線性振動特性進行分析.

1 含間隙碰撞振動系統的動力學模型

含雙側間隙結構的對稱碰撞振動系統可簡化為如圖1所示的動力學模型.將碰撞振子簡化為由剛度為k的線性彈簧和阻尼系數為C的阻尼器連接而成的集中質量塊m，在簡諧激振力Fe＝F0sin wt的作用下發生振動.

當振動位移x大于間隙d或小于間隙－d時，碰撞振子分別與左右兩側質體發生接觸碰撞.接觸碰撞力用廣義Hertz接觸碰撞力FR進行描述，因而可以得到其運動方程：

式中：m、c、k分別為碰撞振子的質量矩陣、阻尼矩陣以及剛度矩陣；F0為外界激振力幅值；w為激勵圓頻率.

圖1 含雙側間隙結構的碰撞振動模型Fig.1 Dynamic model of the impact－vibration system with double－side clearance

為研究碰撞過程中碰撞力的變化，大多學者采用考慮變形的等效彈簧阻尼模型，用彈簧來模擬碰撞中系統構件的變形，用與之串聯的阻尼器來考慮接觸過程中碰撞體彈性波的影響并反映出碰撞時能量的損耗特性，其中大多數科研工作者采用Hertz接觸模型［10］.廣義的Hertz接觸碰撞力可表示為：

式中：δ為兩個質體沿接觸面法向相對位移；δ·為相對速度；Dh為阻尼函數，Dh＝λδn；λ為滯后阻尼系數；kh為彈性力學中的Hertz接觸剛度，它取決于材料特性和曲率半徑；r1和r2分別為兩個質體接觸點的曲率半徑；Ei和νi分別為兩個質體的彈性模量和泊松比.

借助于Newton恢復系數e＝－ν／ν0確定碰撞前、后速度，并結合由試驗結果擬合的恢復系數對于碳鋼和青銅材料，系數ai＝0.08～0.32s／m，一般取一階近似），再根據碰撞接觸過程中的能量守恒可得滯后阻尼系數λ：

故廣義Hertz接觸碰撞力可表示為：

考慮到間隙對動力學模型的影響，故碰撞力可表示為：

為便于微分方程的數值求解，引入以下參數：無量綱時間τ（τ＝ωnt）、激振力頻率ω、固有頻率ωn阻尼因子無量綱頻率比并引入新變量或新狀態量

則可將該動力學模型化成以下狀態空間形式：

2 數值求解方法與模型相關參數

含間隙碰撞動力學模型中引入了非線性的Hertz接觸力，很難直接用解析方法進行求解，因此筆者采用具有良好計算精度和穩定性的四－五階Runge－Kutta法對該模型的運動微分方程進行數值求解.通過數值仿真得到該含間隙碰撞模型在不同頻率比、間隙和激振力幅值下非線性響應的分岔圖、時域波形圖、相圖、Poincaré圖和功率譜圖，并以此進一步研究該模型的非線性振動特性.

筆者以長沙理工大學振動實驗室葉柵碰撞試驗臺上獲得的自帶冠葉片參數作為模擬參數進行數值求解.各模擬參數分別為：m＝0.16kg，ζ＝0.02，a1＝0.1，ωn＝2πf1＝421rad／s，kh＝108N／m.在進行頻率比變化分析時，其余參數的取值分別為：F0＝20N，d＝0.1mm，Ω＝0.55～1.5；在進行激振力幅值變化分析時，其余參數分別取值如下：d＝0.1mm，Ω＝1.02，F0＝20～50N；在進行間隙變化分析時，其余參數分別取值為：F0＝20N，Ω＝1.02，d＝0～5mm.

3 數值模擬結果與非線性振動特性

3.1 頻率比變化對振動特性的影響

圖2為在一定激振力幅值F0和間隙d下該模型系統的振動響應振幅x隨頻率比Ω變化的分岔圖.由圖2（a）可知：x隨頻率比Ω 變化經歷了周期運動、倍周期運動、擬周期運動以及混沌運動等各種復雜的運動形式，且寬、窄的混沌帶隨頻率比變化交替出現；在頻率比約為1時，非線性振動特性變化較為顯著.由圖2（b）可知：當1＜Ω＜1.031時，系統響應主要以周期運動為主；在Ω＝1.031時，系統響應經過一個倍周期分岔為周期2運動；當1.031＜Ω＜1.034時，進入參數域極窄的混沌運動狀態；當頻率比Ω達到1.034時，又進入周期2運動；隨后在1.048＜Ω＜1.072時，系統響應又進入周期運動，但在Ω達到1.072之后，系統響應由周期運動陣發性進入參數域較寬的混沌運動.

圖2 當F0＝20N、d＝0.1mm時模型系統響應振幅x隨Ω變化的分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram of system response xvarying with frequency ratioΩ （F0＝20N，d＝0.1mm）

圖3給出了頻率比Ω分別為1.02、1.04和1.2時的時域波形圖、相平面圖、Poincaré截面圖和功率譜圖.由圖3（a）的波形圖和相平面圖可知：每個周期內碰撞振子在左右兩端各碰撞2次；同時，在Poincaré截面圖上出現1個孤立點，在功率譜圖上只出現了無量綱頻率Ω倍頻時的孤立譜峰.由此可見，系統在此頻率比下呈周期運動狀態；當頻率比為1.04時，雖然碰撞振子每周期也在左右兩端各碰撞2次，但相鄰兩周期內的碰撞運動情況不同，因此出現了圖3（b）中相平面的運動形式，同時在Poincaré截面圖上出現2個孤立點，在功率譜圖上也出現了除無量綱頻率Ω倍頻的孤立譜峰以外的分頻譜峰，說明系統此時進入了周期2的倍周期運動狀態；當頻率比為1.2時，從時域圖看出系統響應的波形出現了紊亂的峰線，看不出明顯的周期波形線，在周期內的碰撞次數變化不定，在相應的相平面圖中也呈無規律運動，同時Poincaré截面圖呈現分散性堆積的散點圖，在功率譜圖上出現連續的譜線，說明系統發生了混沌運動.

圖3 不同頻率比時的振動特性Fig.3 Vibration characteristics at various frequency ratios

3.2 激振力幅值變化對振動特性的影響

圖4給出了頻率比為1.02、間隙為0.1mm時碰撞振動系統響應振幅x隨激振力幅值變化的分岔圖.由圖4可知：在一定條件下，激振力幅值的變化對碰撞振動系統的振動特性有很大影響，在較大的激振力幅值范圍內存在著較寬的混沌帶，變化范圍較長的周期運動和倍周期運動（周期2）只出現在激振力幅值為20～22N、33～35.8N和43～46.7 N內，且其中依然摻雜著混沌運動狀態，許多情況下都是由周期運動陣發性進入混沌運動.圖5給出了激振力幅值為33.5N和50N時的時域圖、相平面圖、Poincaré截面圖和功率譜圖.由圖5可知：在激振力幅值為33.5N時出現了周期2的倍周期運動，但碰撞振子在每周期內左右兩端碰撞次數各不相同，且在左端的碰撞情況比右端復雜；而在激振力幅值為50N時出現了明顯的混沌運動，Poincaré截面圖上出現了無規律的散點，且在功率譜圖上出現連續的譜線.

圖4 頻率比為1.02、間隙為0.1mm時系統響應振幅x隨激振力幅值變化的分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram of system response xvarying with amplitude of exciting force（Ω＝1.02，d＝0.1mm）

3.3 間隙變化對振動特性的影響

圖5 不同激振力幅值下的振動特性Fig.5 Vibration characteristics at various amplitudes of exciting force

圖6 當F0為20N、Ω為1.02時系統響應振幅x隨間隙變化的分岔圖Fig.6 Bifurcation diagram of system response xvarying with clearance（F0＝20N，Ω＝1.02）

圖7 不同間隙下的系統振動特性Fig.7 Vibration characteristics at various clearances

圖6為在一定頻率比和激振力幅值下系統振動響應振幅x隨間隙變化的分岔圖.圖7為不同間隙下的系統振動特性.由圖6可知：當頻率比和激振力幅值一定，即外部激振力一定時，間隙變化對系統響應振幅的影響較小，但間隙較小時變化較為復雜，即在間隙d為0～0.4mm時，系統響應振幅出現了周期、倍周期（如間隙為0.2mm時的周期2、0.25mm時的周期3和0.3mm時的周期5運動）和混沌運動；當間隙為0.85～1.45mm時出現了較寬參數域的周期3運動，而在間隙大于1.45mm后，除了在間隙為2.65mm時出現了周期2的倍周期運動外，其余間隙情況下都出現單周期運動，且隨著間隙的增大，系統振動響應振幅的幅值也增大.由圖7可知，當系統處在不同間隙時，其振動特性不同：當間隙為0.15mm時，碰撞振動系統顯現混沌運動，不同周期內碰撞振子在兩端的碰撞次數也不同；在間隙為2.65mm時，碰撞振動系統出現周期2運動，碰撞振子在每個周期內都只在一端碰撞1次，功率譜上也出現了1／2分頻振動；當間隙增大到2.8 mm或更大的間隙時，系統響應進入了規則的單周期運動，此時在相平面圖上呈現橢圓形狀，而在功率譜圖上則只出現了工頻振動的譜峰，說明此時系統已無碰撞.同時，由圖7中的各分圖還可以看出：碰撞振動系統通過碰撞可以起到良好的碰阻減振作用，且隨著間隙的增大，碰撞振動系統的功率增加，這也說明自帶冠葉片的冠間間隙大小對其振動特性影響較大，間隙較小時碰撞減振效果較好.

4 結 論

（1）采用廣義的Hertz接觸理論，將含雙側間隙的諧對稱碰撞振動系統的碰撞特性等效為無質量彈簧－阻尼器，建立了一類含對稱間隙的碰撞振動動力學模型，可以比較客觀地描述該結構的力學特性.

（2）頻率比、激振力幅值和間隙對含間隙碰撞振動系統的振動特性均有影響，并隨著這些參數的改變，碰撞振動系統出現了周期、倍周期和混沌運動.

（3）頻率比和激振力幅值對系統響應的影響很大，出現了較寬的混沌帶.而間隙對碰撞振動系統響應的影響相對較小，但在較小的間隙變化范圍內，系統的振動特性變化較大.因此，在工程上如要使碰撞振動系統能夠處于穩定運動狀態，需先研究這些參數在不同情形下的振動特性，以便獲得較好的碰撞減振效果，從而提高碰撞振動系統的可靠性.

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