刮膜分子蒸餾數學模型

金 晶， 劉克平， 唐重和， 孫天放

（長春工業大學電氣與電子工程學院，吉林長春 130012）

0 引 言

分子蒸餾（molecular distillation）技術不同于一般蒸餾技術，是一種特殊的液－液分離技術。它產生于20世紀20年代，是伴隨著真空技術及真空蒸餾技術的發展而發展的。分子蒸餾是在高真空下進行分解操作的非平衡蒸餾過程，由于分子蒸餾器內的蒸發面和冷凝面的距離小于本分離物系分子的平均自由程，可以避免分子間的相互碰撞，大大提高蒸發效率，因此也稱為短程蒸餾（short path distillation）。其分離過程如圖1所示。

分子蒸餾突破了依靠沸點差進行分離，而是依據不同物質分子運動平均自由程不同的原理，具有操作溫度低、蒸餾壓強低、受熱時間短等特點，適用于高沸點、熱敏、高粘度物質的提取、分離和精制。目前，它已成為分離技術的一個重要分支［1］。分子蒸餾技術在工業中的應用極為廣泛，如在石油化學、食品、醫藥、農藥、塑料、核工業等。

圖1 分子蒸餾原理

刮膜分子蒸餾器應用較為廣泛，但目前國內對分子蒸餾的工藝理論研究還十分薄弱，它內部液膜流動、質量和熱量傳遞過程與機械操作之間的影響對蒸餾過程的影響十分復雜。針對這種情況，文中對分子蒸餾的基礎理論根源和傳熱機理進行研究，建立模型，揭示其規律性，為工藝操作提供理論依據。

1 分子蒸餾過程分析

在早期，間歇釜式分子蒸餾器的使用最為廣泛。Inuzuka［2］用“高質量流量下膜理論模型”描述了液體內部的傳遞過程對液相溫度和組成分布的影響。合理的解釋了混合物分離因數隨攪拌速率增加而升高的現象，并且獲得傳熱傳質相關系數與設備尺寸參數的關系［3］。對于降膜式和離心式目前研究相對較多。Kawala［4］依據氣體動力學理論，利用表面蒸發速率、流速、膜厚、溫度分布和濃度分布等參數，考慮蒸汽分子各項異性的特點，建立數學模型。Grees［5］曾針對離心式分子蒸餾器，從傳質傳熱機理及流體流動力學理論出發提出一維數學分析模型［6］。Bhandarkar［7］用穩態質量和熱量用流擴散方程對分子蒸餾器內的液膜流動進行了數學建模。刮膜分子蒸餾器由于刮膜器的介入，過程相對復雜。Lutisan［8］曾對刮膜分子蒸餾理想雙組分理想物系進行建模。

文中主要研究刮膜分子蒸餾器液膜流動以及質量和熱量傳遞過程。通過模型研究了液膜溫度及濃度的變化關系，以及進料溫度、濃度以及刮膜分子蒸餾器參數對蒸餾過程的影響。

1.1 進料溫度

之所以要考慮進料溫度，是由于如果進料溫度高于蒸發組分在設定壓強下對應的沸點溫度時，就會導致液體的飛濺。如果低于它，就需要蒸發面其中的一部分顯熱來加熱，這樣就沒有有效的利用加熱表面。

1.2 進料量

分子蒸餾過程中，蒸發液在加熱桶內自上而下的流入，并且高度方向上不斷變小，使潤濕比也不斷減小。進料量的大小受蒸發器潤濕比的影響。最小潤濕比就是能保證在底部刮板區域內形成液體薄膜所對應的潤濕比。潤濕比低于最小值時，在蒸發表面會出現干表面，這樣會導致物流結焦，加大刮板的磨損，增大動力消耗。如果不是熱敏性物料，則產品質量也會受到影響。最大潤濕比又叫液泛率，指流體的流量高至不能在蒸發表面維持薄膜流，此時下部或整個刮板都被液體浸泡，傳熱效率和蒸發效率下降，蒸發速率減少到降膜蒸發同樣的水平，薄膜蒸發器必須在引起上不液泛的最大潤濕比和引起下不干枯結焦的最小潤濕比這兩個極限之間操作［9］。

1.3 刮板轉速

分子蒸餾器轉子轉動可以使蒸發筒內形成均勻的液膜。通過改變轉子轉動速度可以改變液體的蒸發速率。因為在轉速較小時，液膜比較厚，但如果加大轉速，就可以使液膜明顯的變薄，但此時擴大轉速效果并不大，反而會多此一舉。這種效應在物料粘度越高時越明顯［10］。文獻［11］曾報道，一些薄膜蒸發器效率的提高明顯依賴于轉子轉速的提高，因為液膜厚度的改變直接影響液膜的傳熱系數和蒸發器的蒸發效率。

2 模型的建立

刮膜式分子蒸餾是一種高效液體分離技術，操作在高真空下進行，刮膜分子蒸餾器內部設有一個可以旋轉的刮膜裝置，通過轉子的刮擦在蒸發器壁面上形成連續的液膜。由于刮膜板的刮抹作用使液體均勻的覆蓋在加熱板上，強化了傳熱和傳質。Micov［12］和Nguyen［13］等人分別對刮膜分子蒸餾過程分離因素和液膜組成變化進行了研究。刮膜蒸發器如圖2所示。

薄膜蒸發器內的流體流動可視為轉子刮板引起的切向流動和重力引起的軸向流動的合成。刮膜蒸餾器流體流動示意圖如圖3所示。

圖2 刮膜蒸發器示意圖

圖3 刮膜蒸餾器液體流動示意圖

刮膜器中刮板與加熱面有一定的距離，經過刮抹后在加熱板上形成均勻的液膜，在刮膜器前緣形成的頭波［6，14］液膜被刮板刮抹后，均在加熱板上開始蒸發，流體的溫度和濃度都開始發生變化。頭波流體的溫度和濃度沿著軸向逐步發生變化，直到遇到下一個頭波融合，為一次循環。

液膜的厚度相對分子蒸餾器半徑要小的很多，因此忽略曲面效應，建立徑向、圓周方向和軸向坐標。其展開圖如圖4所示。

圖4 頭波和液膜的混合示意圖

由于在分子蒸餾器中液膜相對較小，主要是軸向上分子進行質量和熱量的傳遞，假設分子擴算和熱傳導在徑向方向質量和熱量傳遞，在忽略軸向上曲面的對流作用后，得到如下方程［15］：

分子蒸餾器在高真空工作，因此，氣相分子相對液膜表面分子蒸發速率在此忽略，由Langmuir－Knudsen方程計算：

由于頭波表面相對于加熱面的面積很小，因此，忽略頭波表面蒸發效應和加熱面對頭波的傳熱作用，并假設頭波只存在軸向上的溫度和濃度的梯度變化以及頭波與液膜混合時溫度濃度相同。得到如下方程：

式中：w——液膜寬度，即兩塊刮膜器的x方向距離。

上述方程的邊界條件為：

單位高度由頭波流入液膜的體積流量為：

通過質量衡算，液膜厚度為：

3 模型計算

3.1 歸一化處理

為了方便求解，將頭波和液膜方程進行歸一化處理：

令

歸一化液膜方程：

經歸一化邊界條件：

歸一化頭波方程：

軸向歸一化邊界條件：

式中

3.2 數值計算方法

歸一化頭波方程組（14）～（16）和液膜方程組（10）通過式（11）聯系在一起，分別采用線性多步法中的Milne方法和差分法求解頭波常微分方程組和液膜偏微分方程組，將頭波沿Z方向分成N個等距節點，將液膜沿y和x方向分N1和N2個等距節點采用中心差商格［16］，在節點處可得y和x方向上離散問題化為差分方程：

在（n1，n2）節點處，可得：

邊界條件離散為：

壁面絕熱：

壁面溫度恒定：

膜表面邊界條件：

式中：

3.3 頭波方程的線性多步法

使用Milne方法［17］，以4步4階多步法為預估算法P，2步4階算法為校正算法C，得到有P和C組成的預－校方案PECE，稱為Milne算法。

令X＝［X1，X2，X3］，其中X1，X2，X3分別代表，和3種變量。u為Xi微分方程式，則式（14）～式（16）可寫成

式中：fi——歸一化溫度，濃度和體積流量對應的微分ui值。

邊界條件為：

4 結 語

分子蒸餾技術作為一種新型高效的分離技術在天然產物分離與純化方面得到了較廣泛的應用。分子蒸餾理論研究也取得了進展，但是其理論根源和傳熱機理尚未完全揭示，限制了分子蒸餾技術在應用上的突破。還需要進一步研究非理想混合物系的傳質和傳熱情況，為分子蒸餾的工業化、操作參數的優化提供理論基礎。目前為止，文獻大量報道了有關間歇釜式、降膜式和離心式分子蒸餾過程，并取得較為一致的結果，而對刮膜分子蒸餾過程的研究還不夠深入。

文中采用中心差商格和Milne方法對歸一化后的頭波方程和液膜變化方程進行求解，對其規律進行研究分析。通過數學模型，結合具體的工業參數，對蒸發速率、分離效率等進行分析，更好地為工業設計和優化生產提供理論依據。

符號說明：

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［3］ 許松林，郭凱．刮膜式分子蒸餾裝置中的液膜狀態實驗［J］．天津大學學報，2010，43（6）：544－548．

［4］ Kawala Z，Stephan K．Evaporation rate and separation factor of molecular distillation［J］．Chemical Engineering Technology，1989，12：406－413．

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［6］ Godau H J．Flow processes in thin－film evaporators［J］．International Chemical Engineering，1975，15（3）：445－449．

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