齒輪時變系統在隨機激勵下的響應分析

鮑春梅，呂士寶，張 麗

(蘭州交通大學數理與軟件工程學院，蘭州 730070)

齒輪系統為一種最常用的傳動機構。齒輪系統的振動直接影響機械系統的性能和工作可靠性。齒輪系統在工作過程中會受到各種隨機激勵因素的干擾，使得齒側間隙和嚙合剛度隨時間變化，此外齒輪系統在工作過程中還存在阻尼和外激勵等隨機因素，這些隨機因素對齒輪傳動的平穩性、可靠性和壽命產生影響。近幾年來，國內外學者對考慮齒側間隙、輪齒嚙合剛度變化等非線性因素的齒輪系統動力學問題進行了深入研究。Kahraman和Singh［2］利用打靶法深入研究了齒輪系統周期解的分岔和混沌過渡等現象。盧劍偉等［4］對參數隨機擾動下齒輪非線性系統動態性能進行了分析。本文分析齒側間隙、時變嚙合剛度和阻尼等參數擾動對齒輪系統動力學特性的影響。

1 齒輪系統模型的建立

在不考慮齒面摩擦的情況下，采用集中質量法建立直齒圓柱齒輪副的嚙合耦合型動力學模型，如圖1所示。該模型是一個二維平面振動模型，具有4個自由度，分別為主、被動齒輪繞旋轉中心的轉動自由度和Y方向的平移自由度，表示為{yp，θp，yg，θg}T。其中 Rp、Rg為主、被動齒輪半徑;Tp、Tg為主、被齒輪轉動力矩;I1、I2分別為主、被動齒輪的轉動慣量;cpy、cgy為主、被動齒輪平移振動阻尼系數;kpy、kgy為主被動齒輪平移振動剛度系數;e為齒輪的靜態傳遞誤差。根據牛頓第二定律，可得到圖1所示系統的運動微分方程

圖1 耦合動力學模型

齒輪間的嚙合力主要由時變嚙合剛度引起的彈性嚙合力(即齒輪傳動的動載荷和嚙合阻尼)引起的黏性嚙合力組成。設彈性嚙合力為Fk，黏性嚙合力為Fc

其中km、cm分別為齒輪副嚙合綜合剛度和綜合阻尼。

由方程(1)、(2)聯立即得系統的振動方程，將4自由度系統振動方程寫成矩陣形式為

其中:δ=yp+Rpθp-yg+Rgθg-e

2 模型的求解

利用Duhamel’s integration可得方程(3)的形式解為

其中:h(t)為系統的脈沖響應函數;τ為時間積分變量。

對于任意激勵F，由Duhamel’s integration可得到

3 模型的分析

根據文獻［6］，量綱一化的齒輪系統的運動方程可以表示為

其中:x為量綱一化的齒輪傳動系統的動態傳遞誤差;ξ和k(t)分別為嚙合線方向上的阻尼比和時變剛度系數。若僅考慮由靜傳遞誤差引起的內部激勵，則 F(t)=Fm+Fahω(ωeht+φe)，其中:Fm為量綱一平均荷載;Fah和φε分別為量綱一內部激勵幅值和初始相位;f(x)為齒輪系統的間隙函數，可以表示為

4 參數對系統動態特性及動態響應的影響

4.1 隨機激勵頻率的影響

由于電機轉動的不平穩性和皮帶摩擦等各種因素都會導致動力載荷F(t)的隨機性，本文利用脈沖響應法，討論齒輪副在簡諧激振力 F=F0sinωt下的響應。將任意激勵分解為一系列脈沖的連續作用，分別求出系統對每個脈沖的響應，然后按照線性系統的疊加原理，得到系統對任意激勵的響應為

利用分步積分，令 t'=t-τ，dτ=-dt'，可得

激勵頻率與系統固有頻率之比隨時間變化的動態響應曲線如圖2所示。從圖2可知，激勵頻率等于系統固有頻率，頻響函數的振動幅值較大，發生共振的峰值也較高。

圖2 激勵頻率與系統固有頻率之比隨時間變化的動態響應曲線

4.2 時變嚙合剛度的影響

在齒輪連續運轉過程中，隨著單齒對嚙合和雙齒對嚙合的交替進行，輪齒的嚙合剛度會隨時間周期性變化，即 k(t)=1+cεcos(ωmht+ φmh)，假設ωmh=ωeh。一般說來，當k(t)最小時，在平均荷載Fm的作用下，齒輪變形Fah(t)應為最大，而最大的k(t)則對應于最小的Fah(t)，所以k(t)和Fah(t)的相位是反相的，即φmh=φe+π，因此為方便起見，可設 φmh=π，φe=0，則式(4)可化簡為

本文利用變步長四階Runge-kutta數值仿真方法對該系統的動力學方程進行數值求解，得到剛度嚙合頻率ωmh=3、2、1時齒輪系統的仿真結果，如圖3所示。

圖3 剛度嚙合頻率為ωmh=3、2、1時齒輪系統的仿真結果

4.3 阻尼比的影響

齒輪系統阻尼比的變化將嚴重影響系統的動力響應，選取參數 Fm=0.1，Fah=0.05，cε=0.2，ωeh=1，改變阻尼比ξ，分析系統動態響應的變化，結果如圖4所示。

圖4 系統動態響應的變化

由圖4容易看出，隨著阻尼比的增大，齒輪傳動系統振動的位移-時間曲線的振蕩周期基本不變，但振蕩的幅值卻明顯衰減，很快地降低了齒輪嚙合過程中的振動。

5 結論

1)外界隨機激勵對系統的影響由系統參數m、ω、ξ決定，即外界激勵通過系統本身的內在特性而起作用，引起系統的強迫振動。

2)當齒輪連續運轉時，具有齒側間隙的齒輪副的嚙合剛度會周期性變化。隨著時變嚙合剛度激勵頻率的增大，振動幅值不變，但時間歷程轉變為非諧周期解。

3)齒輪系統激勵頻率、阻尼比等參數的隨機擾動對于系統動力學響應會產生一定影響，在以后建模分析中應予以考慮。

［1］李潤方，王建軍.齒輪系統動力學:振動、沖擊、噪聲［M］.北京:科學出版社，1997.

［2］Kahraman A，Singh R.Nonlinear dynamics of a spur gear pair［J］.Journal of Sound and Vibration，1990，142(1):49-75.

［3］Velex P，Ajmi M.On the Modeling of Excitations in Geared System by Transmsion Errors［J］.Journal of Sound and Vibration，2006，209(3):882-909.

［4］WeiLu Jian，LingZeng Fan.Influences of stochastic perturbation of parameters on dynamic behavior of gear system［J］.Journal of Mechanical Science and Technology，2011，25(7):1667-1673.

［5］LIU Haixia，WANG Sanmin，GUO Jiashun.Solution Domain Boundary Analysis Method and Its Application in Parameter Spaces of Nonlinear Gear System［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2011，24(3):678-693.

［6］唐進元，陳思雨，鐘掘.一種改進的齒輪非線性動力學模型［J］.工程力學，2008，25(1):217-223.