籠型異步電動機徑向電磁力波的有限元計算

王 荀 邱阿瑞

（1.北京機械設備研究所 北京 100854 2.清華大學電機工程與應用電子技術系 電力系統及大型發電設備控制和仿真國家重點實驗室 北京 100084）

1 引言

異步電動機廣泛地應用于工農業生產及國防等各個領域，隨著近年來對噪聲污染的重視，低噪聲電機的需求越來越多。電磁噪聲是由徑向電磁力激勵定子振動而產生，是異步電動機的一個主要噪聲源[1-3]。徑向電磁力含有許多諧波，稱為徑向電磁力波，當電磁力波和電機機械模態的階次一致且頻率相接近時，會導致定子共振從而引起大的電磁噪聲。為了對電磁噪聲進行分析預估以及降低電磁噪聲，有必要分析和計算徑向電磁力及其諧波。

已有一些文獻對電磁力作了研究：文獻[2-5]對異步電機電磁力波產生的原因在理論上進行了定性分析，并利用解析法定量計算；由于氣隙磁場變化復雜，解析法計算電磁力波時準確度稍差。近年來有限元法應用于計算電磁力，文獻[6-8]利用有限元法分別對爪極電機、開關磁阻電機和永磁電機的電磁力進行研究；文獻[9，10]基于二維瞬態有限元計算異步電機的電磁力，文中作為電磁計算的輸入是電流（實際電機輸入為定子機端電壓），該電流是由電路模型計算得到，與實際電機的電流存在差異；這些文獻對電磁力波沒有作詳細的分析，而電磁力波的階次、頻率和幅值是電磁噪聲分析時的重要問題。

本文基于場路耦合時步有限元法計算籠型異步電動機的氣隙磁通密度和徑向電磁力，并基于二維離散傅里葉分析求解它們的諧波含量。探討齒槽和轉差率對磁通密度和徑向電磁力的影響，以及磁通密度波和電磁力波之間的關系。分析徑向電磁力波與實測電磁噪聲的對應關系。

2 場路耦合時步有限元的仿真計算

以一臺小型直槽籠型異步電動機為例，基本參數為：額定電壓為380V，額定頻率為50Hz，定子繞組相數為3，極對數為2，定子槽數為36，轉子槽數為28，定子繞組為雙層繞組，定子繞組聯結為三角形接法，定子繞組并聯支路數為1，鐵心長度為 120mm，氣隙長度為 0.365mm，定子外徑為175mm，定子內徑為110.05mm，轉子內徑為38mm。

2.1 數學模型

場路耦合時步有限元法是將磁場方程和電路方程進行耦合，并計及轉子運動，可充分考慮開槽、鐵心飽和、渦流、繞組形式和聯接方式、轉子運動、供電電源等對磁場帶來的影響。

異步電動機正常運行時，鐵心橫截面上磁場存在周期性，實例電機極對數為2，磁場在整圓周上存在2 個整周期。利用圓周方向上磁場的周期性，采用二維剖分，為了縮短計算時間只剖分半個周期的場域，求解區域的有限元網格如圖1 所示。在設電機電磁場為似穩場等基本假設條件下[11]，基于Maxwell 方程可得二維瞬態電磁場方程為

圖1 有限元網格Fig.1 Finite element mesh

式中A—軸向矢量磁位；

Js—源電流密度，存在于槽中導體區域；

v—磁阻率；

σ—電導率。

邊界條件：①在定子外圓和轉子內圓上A=0；②徑向兩個外邊界上矢量磁位相反，。

根據定子繞組和外電路的聯結方式，選取如圖2 所示的回路（回路法可考慮各相繞組之間的環流），則定子側的回路電壓方程為

式中Ψs1—定子回路主磁鏈矢量；

Is1—定子回路電流矢量；

Ls1—定子回路漏感矩陣；

Rs1—定子回路電阻矩陣；

Usl∞—定子回路電源矢量；

p—算子，p=d/(dt)。

圖2 定子回路示意圖Fig.2 Sketch map of stator loops

轉子回路的選取是根據剖分區域中導條和端環連接而形成的實際網孔，轉子回路電壓方程為

式中UB—鐵心區域內轉子導條的電壓矢量；

Ir1—轉子回路電流矢量；

Lr1—轉子回路在鐵心外的漏感矩陣；

Rr1—轉子回路在鐵心外的電阻矩陣；

HB—導條與轉子回路之間的關聯矩陣。

以第n號轉子導條為例，列寫轉子導條的電流方程，即

式中ib,n—第n號轉子導條的電流；

urb,n—鐵心區域內第n號轉子導條的電壓；

Lfe—鐵心長度；

Sb,n—第n號轉子導條區域。

用伽遼金法對式（1）在剖分場域中進行離散可得

式中A—節點矢量磁位矢量；

Q，K，CS和CB—系數矩陣（限于篇幅這里不給 出具體形式），且有

CS的求解方法：根據定子回路電流可求出線圈電流，再由線圈所占的單元面積求出電流密度，進而可得CS；求解時場域矢量磁位A(x，y)=NTA，N為單元形狀函數的矢量；S表示剖分場域。

將式（2）中定子回路主磁鏈對時間微分（pΨs1）用節點矢量磁位表達以實現場路耦合；將式（4）中轉子導條區域的渦流電流密度亦用節點矢量磁位表達，則由式（2）～式（5）可得籠型異步電動機的場路耦合方程為

式中，X為解矢量，且有

其中Np—整圓周對剖分區域的倍數；

GB—鐵心范圍內轉子導條的電導矩陣。

轉子的旋轉運動方程為

式中θ—轉子機械位置角；

Ω—轉子機械角速度；

J—轉動慣量；

Tem—電磁轉矩；

Tload—負載轉矩；

Tm,loss—機械損耗引起的轉矩。

采用Crank-Nicolson 方法對式（6）在時間域中離散，從而可得非線性代數方程組，并考慮到轉子的運動方程，時間步進地求解這個非線性代數方程組，可得每一時刻的節點矢量磁位、回路電流、轉子機械位置角和轉子機械角速度，具體的求解方法可參閱相關文獻。

2.2 仿真結果的試驗驗證

基于以上場路耦合時步有限元數學模型，利用VC++編寫了仿真軟件。

定子機端引線接到380V、50Hz的正弦電壓源上，仿真計算的空載穩態定子相電流波形如圖 3a所示；利用數字示波器試驗測量的空載穩態定子相電流波形如圖3b 所示。定子繞組相電流諧波含量的計算值和實測值的比較見表1，表中誤差為（計算值－實測值）/實測值。

圖3 定子相電流Fig.3 Stator phase current

表1 定子相電流諧波計算值和實測值的比較Tab.1 Comparison between stator phase current harmonics of the calculation and those of the experiment

3 氣隙磁通密度的分析與計算

作用于齒表面上的電磁力由氣隙磁場產生，若要分析引起電磁振動和噪聲的電磁力及其諧波，首先需要分析氣隙磁通密度的變化規律和諧波含量。

3.1 解析分析

利用有限元法定量計算氣隙磁通密度之前，先利用解析法定性討論一下異步電機中徑向磁通密度的主要諧波含量，以便將有限元計算結果與解析分析結果進行比較。

利用磁路法分析時異步電機徑向磁通密度波為

式中F(θ,t)—磁動勢；

λ(θ,t)—氣隙磁導系數。

F(θ,t)中包含定轉子電流產生的基波磁動勢和諧波磁動勢。λ(θ,t)中包含定轉子開槽引起的氣隙磁導系數和鐵心飽和引起的氣隙磁導系數。F(θ,t)和λ(θ,t)的具體表達形式可參閱文獻[3]。由式（9）得到的主要徑向磁通密度波見表2[3]，表中：pn為電機（基波）的極對數；Z1為定子槽數；Z2為轉子槽數；m1為定子繞組的相數；fr=(1-s)f1/pn，s為轉差率，f1為定子基波電流的頻率；kst、krt、ksa和c的取值均為±1，±2，±3，…；當極對數和頻率為同號時表示正轉波，異號時表示反轉波。表2 中序號2 表示的磁通密度波為定子齒諧波，極對數m=pn+kstZ1，kst為定子齒諧波的階數，例如kst=±1 時稱為一階定子齒諧波。序號3 表示的磁通密度波為轉子齒諧波，極對數m=pn+krtZ2，krt為轉子齒諧波的階數。與轉子開槽相關的氣隙磁導系數諧波引起的磁通密度波（見表2 中序號3 和序號4 表示的磁通密度波）的頻率均與轉差率有關，轉速變化時這些磁通密度波的頻率均變化。序號5 為鐵心飽和引起的磁通密度波，序號6 表示的磁通密度波為定子繞組相帶諧波。

表2 主要的徑向磁通密度波Tab.2 Main radial flux density wave

3.2 有限元計算

利用場路耦合時步有限元數學模型可計算出每一個時刻的節點矢量磁位，由氣隙中節點矢量磁位可求出氣隙磁通密度。

空載穩態時(s≈0)，徑向和周向磁通密度的空間分布分別如圖4a、4b 所示。由圖4a 可見，齒上徑向磁通密度的變化趨勢主要受定子分布繞組電流密度的影響，徑向磁通密度在定子齒表面上近似是平的，有個別定子齒表面上徑向磁通密度會存在突變，這是由于該位置存在轉子槽口，而在定子槽位置處的徑向磁通密度大大減小。由圖4b 可見，周向磁通密度在定子齒表面上幾乎為0，在槽口和齒的邊界附近變化比較劇烈，而且沿圓周方向上一個定子齒兩個邊界處周向磁通密度方向相反。徑向和周向磁通密度主要受定轉子開槽和轉子角位置的影響，在定子齒表面上磁通密度幾乎沿徑向進入定子齒，在槽口和齒的邊界附近存在周向磁通密度。空載穩態和轉差率s≈0.05 時，單個定子齒表面周向中心點的徑向磁通密度隨時間的變化如圖5 所示。由圖5 可見，徑向磁通密度隨時間的變化規律隨轉速的不同而不同，即轉速變化氣隙磁場亦改變。

圖4 徑向和周向磁通密度的空間分布Fig.4 Space distribution of radial and circumferential flux density

圖5 徑向磁通密度隨時間的變化Fig.5 Variation of radial flux density with time

氣隙磁通密度不但在空間圓周方向上變化，而且還隨時間變化，它的諧波（即磁通密度波）為行波。旋轉磁場諧波理論廣泛地應用于電機磁場分析，可將時空變化的氣隙徑向磁通密度利用無窮多個正轉或者反轉的徑向磁通密度波來線性疊加，即

式中m，n—對應空間諧波和時間諧波的次數，均為整數，m的絕對值表示諧波的極對數，m為正整數時表示正轉波，m為負整數時表示反轉波；

θ—空間圓周方向上的機械角度；

t—時間；

Br,mn—幅值；

θr,mn—初始角度；

ωB,n—時間角頻率，ωB,n=2πfB,n；

fB,n—頻率；

下標r 表示徑向分量。

將時空變化的磁通密度進行二維離散傅里葉分析（本文利用的是Matlab 中FFT2 命令），即計算磁通密度的空間譜和時間譜，可得到式（10）中每一個磁通密度波的極對數、頻率、幅值、相角和轉向。式（10）中磁通密度波的頻率ωB,n=nω，其中：ω為角頻率分辨率，且有ω=2π/T，T為分析磁通密度變化的總時間（s）；n為整數且n≥0，n的最大取值決定所分析的最高頻率，它取決于計算磁通密度的步數。T越大則角頻率分辨率ω就越小。本文將1s 時間內的磁通密度進行傅里葉分析，頻率分辨率為1Hz。

以空載穩態為例，計算的主要徑向磁通密度波見表3。按幅值大小排序列出，極對數為正表示正轉波，為負表示反轉波，表中還給出了徑向磁通密度波的極對數和頻率對應的解析表達式。負載時磁通密度波的計算方法類似處理，不再贅述。

表3 徑向磁通密度波Tab.3 Radial flux density waves

磁通密度中會存在同一個極對數但頻率不同的諧波。由表3 可看出，6 對極就存三個不同的諧波，一個為150Hz，另外兩個為750Hz，而且它們的轉向也不同。若對圖4a 所示的某時刻徑向磁通密度的空間分布，利用常用的一維離散傅里葉分析只能得到磁通密度波的極對數、幅值和相角，從而無法分辨出這三個不同的諧波。

由于磁通密度諧波會在繞組中形成磁鏈，進而產生感應電動勢諧波，從而導致電流諧波，即磁通密度波和電流諧波存在對應關系。電流諧波計算的準確度可間接驗證氣隙磁通密度波計算的準確度。由圖3a 和3b的比較及表1 可知，電流諧波計算是比較準確的，故磁通密度波計算亦是較準確的。

4 徑向電磁力的分析與計算

為了分析方便，常將電磁力分為徑向分量和周向分量。周向電磁力形成電磁轉矩，是電動機轉動所需要的。徑向電磁力是不可避免的，它會引起定子振動而產生電磁噪聲，以下重點探討徑向電磁力。

4.1 解析分析

異步電機的周向磁通密度比較小（見圖4b），定性分析時可忽略它，則由Maxwell 應力張量理論可知徑向電磁力波為

式中σr(θ,t)—徑向電磁力波（Pa 或N/m2）；

Br(θ,t)—徑向磁通密度波；

μ0—空氣磁導率。

由式（11）可見磁通密度波之間相互作用（即相乘）產生電磁力波，這是分析力波產生的理論依據。一個極對數為ma、頻率為fa的磁通密度波和另外一個極對數為mb、頻率為fb的磁通密度波相互作用產生的力波的階次和頻率分別為ma±mb和fa±fb。

4.2 有限元計算

基于Maxwell 應力張量理論，用等效磁張力（面積力）代替體積力可求出單位面積上的電磁力[1]，它的徑向分量為

式中σr—徑向電磁力（Pa 或N/m2）；

Br—徑向磁通密度；

Bt—周向磁通密度。

徑向電磁力的空間分布如圖6 所示。由圖6 可見，在徑向磁通密度大的地方徑向電磁力也大，徑向電磁力在定子齒表面上近似是平的；有個別定子齒表面上徑向電磁力存在突變，這是由于該位置存在轉子槽口，它受轉子旋轉的影響；在定子槽位置的徑向電磁力很小，即徑向電磁力主要作用在齒表面上。氣隙圓周方向一點的徑向電磁力也隨時間變化，如圖7 所示，圖中給出的是單個定子齒表面周向中心點的電磁力隨時間的變化。

圖6 徑向電磁力的空間分布Fig.6 Space distribution of radial electromagnetic force

圖7 徑向電磁力隨時間的變化Fig.7 Variation of radial electromagnetic force with time

由圖6 和圖7 可知，轉差率改變，徑向電磁力的空間分布和隨時間的變化規律均改變，且轉差率增大電磁力也增大，從而導致一些力波的頻率和幅值發生變化，這是電磁噪聲隨負載變化的原因。

同磁通密度波一樣，徑向電磁力波也為行波，旋轉諧波理論亦適用于它，即可將時空變化的徑向電磁力分解為無窮多個正轉或者反轉的徑向電磁力波，徑向電磁力為這些力波的線性疊加，即

式中m，n—對應空間諧波和時間諧波的次數，均為整數，m的絕對值表示空間階次，m為正時表示正轉波，為負時表示反轉波；

θ—空間圓周方向上的機械角度；

t—時間；

σr,mn—幅值；

θr,mn—初始角度；

ωσ,n—時間角頻率，ωσ,n=2πfσ,n；

fσ,n—頻率。

徑向電磁力波的求解方法與徑向磁通密度波的求解方法類似，即將時空變化的徑向電磁力進行二維離散傅里葉分析可得到式（13）所示的各個力波。以空載穩態為例，階次低且幅值較大的徑向電磁力波見表4，按幅值大小排序列出，階次為正表示正轉波，為負表示反轉波。0 階0Hz的力波表示常值力，它為定轉子之間的磁吸力，這個力的幅值很大說明定轉子之間磁吸力很強，這是熟知的。

每一個徑向電磁力波均可找到兩個徑向磁通密度波與之對應[2,3]，即兩個徑向磁通密度波相互作用可產生徑向電磁力波。表5 給出了表3 中徑向磁通密度波和表4 中幾個電磁力波的對應關系。

力波中往往存在同一個空間階次、幾個時間頻率的諧波見表4，0 階、4 階和8 階均有幾個頻率的力波。對時空變化的電磁力進行二維傅里葉分析是求解電磁力波的有效方法。

表4 徑向電磁力波Tab.4 Radial electromagnetic force wave

（續）

表5 力波和磁通密度波Tab.5 Force wave and flux density waves

4.3 力波的試驗驗證

電磁力的直接測量十分困難，以下通過電磁噪聲頻率和力波頻率的對比，間接驗證力波計算的有效性。m階力波引起的機械振動振幅幾乎與m4成反比[3]，從而只有階次低且幅值較大的力波才會引起明顯的振動和噪聲。對小型異步電機，一般階次小于5的力波才會對電磁噪聲有較大的影響。階次較低電磁力波的頻率與電磁噪聲頻率存在對應關系。實測的空載穩態噪聲頻譜如圖8 所示，測量時電機安裝狀態為底腳無固定。主要的電磁噪聲和電磁力波的對應關系見表6，由表中可看出主要電磁噪聲均有相應頻率的電磁力波與之對應。

圖8 實測的噪聲頻譜Fig.8 The testing noise spectra

表6 噪聲和力波的對比Tab.6 Comparison between noise and force wave

5 結論

基于場路耦合時步有限元數學模型對籠型異步電動機的氣隙磁通密度和徑向電磁力進行計算。將徑向磁通密度和徑向電磁力的有限元計算結果進行二維離散傅里葉分析分別得到它們的諧波，這些諧波均為行波，有確定的極對數（或階次）、頻率、幅值、相角和轉向。

試驗結果表明場路耦合時步有限元模型對電磁量諧波的仿真計算是準確的。實測噪聲頻譜中各個頻率的電磁噪聲均有相應頻率的徑向電磁力波與之對應，驗證了本文方法計算徑向電磁力波的有效性。

對徑向電磁力及其諧波進行計算和分析為電磁噪聲分析奠定了基礎。

[1]湯蘊璆.電機內的電磁場[M].北京:科學出版社,1998.

[2]Heller B,Hamata V.Harmonic fields effects in induction machines[M].New York:Elsevier Press,1977.

[3]Yang S J.Low noise electrical motors[M].Oxford:Clarendon Press,1981.

[4]Verma S P,Balan A.Determination of radial-forces in relation to noise and vibration problems of squirrel-cage induction motors[J].IEEE Transations on Energy Conversion,1994,9(2):404-412.

[5]Besnerais J Le,Lanfranchi V,Hecquet M,et al.Characterisation of radial vibration force and vibration behaviour of a pulse-width modulation-fed fractional-slot induction machine[J].IET Electric Power Applications,2009,3(3):197-208.

[6]Ramesohl I,Kuppers S,Hadrys W,et al.Three dimensional calculation of magnetic forces and displacements of a clawpole generator[J].IEEE Transations on Magnetics,1996,32(3):1685-1688.

[7]Zhang J J,Wang L L,Zhang H J,et al.Non-linear radial force simulation of switched reluctance motors based on finite element model[C].IEEE Inter.Conf.on Robotics and Biomimetics,2009:21-26.

[8]Zhu Z Q,Xia Z P,Wu L J,et al.Analytical modelling and finite element computation of radial vibration force in fractional-slot permanent magnet brushless machines[C].Inter.Conf.on Electric Machines and Drives,2009:144-151.

[9]Schlensok C,Henneberger G.Calculation of force excitations in induction machines with centric and excentric positioned rotor using 2-d transient FEM[J].IEEE Transations on Magnetics,2004,40(2):782-785.

[10]Martinez Munoz D,Lai J C S.Acoustic noise prediction in a vector controlled induction machine[C].IEEE Inter.Conf.on Electric Machines and Drives,2003,1:104-110.

[11]胡敏強,黃學良.電機運行性能數值計算方法及其應用[M].南京:東南大學出版社,2003.