解剖算子及其一致有界定理

劉 鐵，鄭 亮

(1.安康學院數學系，陜西安康 725000;2.哈爾濱工業大學 深圳研究生院，深圳 518055)

1 預備知識

閉圖像定理、開映射定理和等度連續定理是泛函分析的三大基本原理。上述經典泛函分析基本定理過分依賴線性算子，使其應用性受到很大限制，因而許多學者在研究包括某些非線性影射在內的更大的函數類上建立三大基本定理。尤其是李容錄教授在解剖算子上進行的泛函分析基本原理拓展取得了重大進展。本文對解剖算子在實數空間上進行討論，得出一些相關性質。

定義1［1-2］對 φ∈C(0)及 U∈N(X)，稱 f:X→Y 為解剖算子，若 f(0)=0，且對 x∈X，u∈U 及|t|≤1，有 r，s∈C，使|r-1|≤|φ(t)|，|s|≤|φ(t)|，f(x+tu)=rf(x)+sf(u).記 Fφ，U(X，Y)為由 φ∈C(0)及 U∈N(X)確定的解剖算子全體。

關于解剖算子，有如下幾個基本函數空間［3-5］:

3)S={f:f是定義在R上的無限可微的速降函數}，則由范數列k≥0，p，q∈N 使 S 成為局部凸的 Fréchet空間。

命題1 若 f∈Fφ，U(X，Y)，u∈U，|t|≤1，則有 s∈C，|s|≤|φ(t)|，使 f(tu)=sf(u)。

證明由定義 f(0)=0，取 x=0 和上述的 u，存在 r，s∈C，使|r-1|≤|φ(t)|，|s|≤ |φ(t)|，f(x+tu)=f(tu)=rf(0)+sf(u)=sf(u)。

命題2 若 f:X→Y 是線性算子，則 f∈Fφ，U(X，Y)，?φ∈C(0)，U∈N(X)。

證明f:X→Y是線性算子(?x，u∈X，t∈K，

則f(0+0)=f(0)+f(0)(f(0)=0。要使f(x+tu)=rf(x)+sf(u)，可令其減去式(1)，f(x+tu)-［f(x)+tf(u)］=(r-1)f(x)+(s-t)f(u)，只要|r-1|≤|φ(t)|，|s-t|≤2|φ(t)|即可

可令，s=t，r=1 即有|r-1|≤|φ(t)|，|s|≤|φ(t)|，f(x+tu)=f(x)+tf(u)=rf(x)+sf(u)，所以 f∈Fφ，U(X，Y)。

例1 若‖·‖:X→R 是半范，則對 φ(t)=t，‖·‖∈Fφ，X(X，R)。

證明對于x，u∈X及 t∈C，‖x‖ -|t|‖u‖≤‖x+tu‖≤‖x‖ +|t|‖u‖，所以有 s∈［-|t|，|t|］，使得‖x+tu‖ = ‖x‖ +s‖u‖，即對 φ(t)=t，‖·‖∈Fφ，X(X，R)。

例2 若(X，‖·‖)是半范空間，對任意連續線性算子T:X→Y定義連續的非線性映射為，則對

證明若 x∈X，u∈U，|t|≤1，則‖x+tu‖ =‖x‖ +s‖u‖，其中 s∈［-|t|，|t|］，所以 fT(x+tu)=而

2 解剖算子的性質

(X，d)是可度量的拓撲線性空間，Fφ，U(X，Y)為由 φ∈C(0)及 U∈N(X)確定的解剖算子全體，記Bφ，U(X，Y)={f∈Fφ，U(X，Y):f(x)連續}，若 U={x∈X:d(X，0)＜ δ}，φ(t)=Ct，其中 C≥1，則記Fφ，U(X，Y)=FC，δ(X，Y)，Bφ，U(X，Y)=BC，δ(X，Y)，對 C≥1 及 δ＞ 0 記 EC，δ(X，Y)={f∈FC，δ(X，Y):對x，u∈X，d(u，0)≤δ及|t|≤1?標量 s∈|s|≤C|t|，f(x+tu)=f(x)+sf(u)}

定理1 若 f∈Fφ，U(R，R)，則 f(x)連續，即 Bφ，U(R，R)=Fφ，U(R，R)。

證明有 δ＞0，使［-δ，δ］?U，設 x→x in R，?N 當 n＞N 時

n，所以f(xn)→f(x)(n→∞)。

定理2 f∈Fφ，U(R，R)若 f≠0，則 f(u)≠0?0≠u∈U。

證明假設0≠u∈U且f(u)=0任取0≠x∈R，取定n使得，存在 ri，si∈R(i=1，2，…，n)，使得，且

這與f≠0矛盾。定理2得證。

定理3 X為非平凡賦范線性空間，Y為非平凡線性空間，對于?C＞1及δ＞0，集合{f∈FC，δ(X，Y):f是非線性的}為非可數集，其勢不小于線性算子全體。

證明任取一個 η∈EC，δ(R，R)滿足，則η定為非線性(因為線性的要么，要么

所以 fT，k∈FC，δ(X，Y)，定理 3 得證。

定理4 等度連續原理(Equicontinuity Principle)［6］X是第二綱的，Γ?Fφ，U(X，Y)是一族連續影射。若Γ在X上逐點有界即{f(x)|f∈Γ}有界，?x∈X，則Γ在X上等度連續。

定理5 一致有界定理(Uniform Boundedness Principle)X是第二綱的，Γ?Fφ，U(X，Y)每一個f∈Γ連續，對{f(x)|f∈Γ}有界，?x∈X，則 Γ 在有界集上一致有界，i.e.{f(x)|f∈Γ，x∈B}有界對每個有界集B?X。

證明設B?X有界，V∈N(Y)平衡，根據等度連續定理有平衡的U0∈N(X)使得U0?U，f(U0)?V，?f∈Γ。取使，設

［1］Li Rong lu，Zhong Shuhui，Cui Chengri.New Basic Principles of Functional Analysis(Abstract)［J］.J of Yanbian Univ:Natural Science，2004，30(3):157-160.

［2］李容錄，鐘書慧，文松龍，等.泛線性廣義函數(Ⅰ)［J］.延邊大學學報:自然科學版，2007，33(3):157-159.

［3］Genlfand I M.Generalized Functions I［M］.New York:Academic Press，1964.

［4］Genlfand I M.Generalized Functions II［M］.New York:Academic Press，1964.

［5］Gelfand I M.Generalized Functions［M］.New York:Academic Press，1968.

［6］Li Rong lu.Equicontinuity in nonlinear analysis，to appear［Z］.