三相非飽和松散顆粒介質中彈性波的彌散性分析

沈守鴻，李庶林，李青石

（廈門大學土木工程系，福建廈門 3 61005）

0 引言

關于土中彈性波傳播的研究是巖土工程、海洋工程、地震工程及地球物理工程等科學領域的重要課題。天然土體是一種由土顆粒、孔隙流體（包括孔隙水和孔隙氣）組成三相松散介質。當孔隙中僅被一種流體（水流或氣流）所填充時，稱為飽和土。20世紀50年代，Biot建立了飽和多孔介質波傳播理論［1-4］，并成為以后多孔介質波動理論各項研究的基礎。Ishihava［5］，Stoll［6］等在此基礎上開展了一些應用性研究；門福錄［7-8］、陳龍珠［9-10］等對飽和土中波傳播速度作了簡化近似分析，給出了一些特殊情況下的波速公式。這些研究從不同程度上促進了Biot理論的完善及應用。此外，Bowen［11］、李向維［12］等學者采用基于熱力學公理的混合物理論來研究流體飽和多孔介質中的波，給出了一般波動方程?？梢宰C明，混合物理論和Biot理論是一致的［2］。

對于三相土介質，即非飽和土中波的傳播，White［13］、Berryman［14］等學者做過一些研究，但沒有建立系統的動力方程，目前并未形成成熟的理論，對于其彈性波的彌散性及衰減特性未能展開深入的理論研究。有鑒于此，本文采用混合物理論，在文獻［15］的基礎上，對非飽和尾砂土這種三相松散介質中體波的傳播特性進行數值分析，給出了典型的彌散和衰減曲線，以便于深入了解非飽和土中波的傳播特性，為尾礦壩穩定性的彈性波監測技術的實際工程應用提供了合理的理論基礎，同時對尾礦壩災害防治預警有著一定的指導意義。

1 非飽和土的動力控制方法

假設土體是均勻的且具有統計上的各向同性，孔隙相互連通，孔隙水的滲流服從廣義Darcy定律，忽略溫度的影響，在低應變條件下，由運動方程、連續性方程和本構方程得到：

式中，u，ul，ug分別為土體、液體和氣體的位移；ˉρs=（1-n）ρs；ˉρl=nSrρl；ˉρg=n（1-Sr）ρg分別為土體、液體和氣體的相對密度；n為孔隙率，Sr為飽和度，σij為總應力；ηl、ηg分別為孔隙水和氣體的動力粘滯系數；kl、kg分別為孔隙水和氣體的滲透系數；Kb=λ+2μ/3為土骨架的體積模量，Ks為土顆粒的體積模量，a=1-Kb/Ks；Kl是液體的體積模量，Pa是氣體的體積模量。

方程（1）、（2）構成了非飽和土的動力控制方程。顯然，當在完全飽和這一特殊情況下（ρg=0，Sr=1，γ=1），方程退化為Biot的波動方程。

2 波動方程的解

2.1 壓縮波

方程（1）可以轉化為以下形式，

將方程（2）兩邊取散度，并將方程（3）代入，可得

假設彈性波沿z軸方向傳播，可得

將方程（5）代入方程（4），可得

若使以上方程有非零解，必須滿足

其中：B1=-（λ + 2μ）ω4

定義方程（7）的根為 lpj（Re（lpj）＞0，j=1，2，3），則壓縮波的波速與衰減率為

這說明，如果VP1≠VP2≠VP3，則非飽和土中存在三種形式的壓縮波。

2.2 剪切波

對方程（1）兩邊取旋度

其中U= ▽ ×u，V= ▽ ×ul，W= ▽ ×ug

假設剪切波沿Z軸方向傳播，可得

將方程（10）代入方程（9），可得

將方程（11b）、（11c）代入方程（11a）可得

則非飽和土中剪切波的波速與衰減率為式中，Re，Im分別表示對復數取實部和虛部；ω為彈性波角頻率。

3 彈性波在非飽和尾砂中的彌散性

上游堆積式尾礦壩是一種典型的由尾礦砂堆積的壩體，尾礦砂是一種典型的人造類土質顆粒介質。利用上節中得到的波速以及衰減的解析表達式，采用Matlab編程計算對非飽和土中4種體波的彌散特性進行數值分析。非飽和土參數選取實際工程中非飽和尾砂的相關參數，參見文獻［16］，具體參數列于表1。

表1 非飽和尾砂數值模擬參數Table 1 Physical properties of unsaturated tailings

3.1 波速和衰減與頻率的關系

飽和度取為0.6，頻率變化范圍為10-2～1010Hz，計算結果示于圖1。由圖1（a）～（d）可知，非飽和土中的4種體波都存在不同程度上的頻散現象，并具有一個共同的特征，即在高頻段和低頻段，相速度基本保持不變；在中頻段，速度變化顯著，這與飽和土中波的頻散性相似。引入描述頻散程度的參數：

其中：Vj∞，Vj0分別表示頻率趨于∞ 及0時的相速度。則圖中P1波和S波的頻散度分別為58.9％和6.9％，P2波和P3波的頻散非常大，且當頻率趨于0時，波動現象退化為擴散過程。

圖1 體波波速與頻率的關系Fig.1 Relations between velocity and frequency

圖2（a）～（d）是4種體波的衰減與頻率的關系曲線。由圖可知，4種體波的衰減基本上都隨頻率的提高而增大，其中P2波的衰減最大，P1波的衰減最小。在100Hz以下，體波衰減基本上不隨頻率變化而變化，P1波和S波的衰減非常小。

3.2 波速和衰減與飽和度的關系

取頻率為100Hz，飽和度Sr的變化范圍為0.1～0.9，4種體波的波速與飽和度的變化曲線如圖3（a）～（d）所示。由圖可知，隨飽和度的提高，P1波的波速增大，P2波的波速在飽和度為0.6時出現最小值，P3波的波速則在飽和度為0.6時出現最大值，而S波的波速則受飽和度的影響很小。

圖2 體波衰減與頻率的關系Fig.2 Relations between attenuation and frequency

圖3 體波波速與飽和度的關系Fig.3 Relations between velocity and saturation

4種體波的衰減與飽和度的變化曲線如圖4（a）～（d）所示。由圖4可看出：隨飽和度的提高，P1波的衰減逐漸增大，在飽和度為0.7時出現最大值，隨后又略為減??；P2波的衰減變化較小，在飽和度為0.6時出現最大值；P3波的衰減急劇減小后趨于平穩，在飽和度為0.6時出現最小值；S波的衰減雖然增大，和P1波類似，其衰減系數始終保持非常低的水平。

圖4 體波衰減與飽和度的關系Fig.4 Relations between attenuation and saturation

4 結論

本文以實際尾礦壩體的尾砂介質為例，采用混合物理論，開展了彈性波在尾砂介質中傳播特性的理論分析。在理論分析的基礎上，結合尾砂介質的實測參數，對非飽和尾砂土中4種體波彌散性進行全面的數值分析，并得到以下結論：

（1）非飽和土中P1波的波速最大，S波波速最小，P2和P3波介于兩者之間，且 P3波波速小于 P2波。P2和P3波的衰減較大，P1波的衰減最小。

（2）在低頻和高頻范圍內，4種體波波速的變化不大，而在中間頻段則相對顯著。P2和P3波的頻散性很大，P1波次之，而S波的頻散很小?？傮w上講，非飽和土中體波波速與衰減均隨著頻率的提高而增大。

（3）隨飽和度的提高，P1波的波速增大，P2和P3波的波速在飽和度為0.6時分別出現最小值和最大值，而S波受飽和度的影響很?。籔1和S波的衰減系數始終保持于非常低的水平，P3波的衰減急劇減小后趨于平穩，P2波的衰減最大，在飽和度為0.6時出現最大值。

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