不確定響應時間下準時交貨激勵契約的協同研究

方忠民，陳治亞，曾明華

（1.中南大學交通運輸工程學院，湖南長沙410075；2.華東交通大學軌道交通學院，江西南昌330013）

JIT采購（準時采購）是一種高水平的供應鏈采購運作管理模式，是從準時生產發展而來的，是為了消除庫存和不必要的浪費而進行持續性改進，是準時化生產管理模式的必然要求。理想的準時采購是直到用戶需求真正發生時才進行的少量多次的供應配送，且要求供應商企業具有高水平的供貨質量，以獲得滿意訂單采購交貨效果。有研究表明，供應鏈中供應商企業和核心生產企業的采購行為動機對實施JIT采購具有一定影響，Hill[1]研究認為發展基于長期的、雙贏合作關系模式的準時配送關系應建立供需（買賣）雙方的充分信用和相互合作的承諾機制；由于JIT采購交貨的準時性主要由供應商掌控，Iyer等[2]認為要保證供應商企業準時交貨承諾的可靠性和穩定性，采購企業必須與供應商企業建立戰略伙伴關系，并通過建立各種激勵契約機制使供應商企業和采購企業一起分享準時化采購的好處。近來，不少研究者提出利用博弈模型進行研究[3-6]。

核心生產企業根據訂單編制詳細的采購計劃，提前的采購交貨會增加其庫存成本，延期的采購交貨會產生缺貨成本；供應商企業根據核心生產企業的訂單驅動的采購訂單計劃組織其產品生產和供應，由于生產運作與運輸能力的相對固定，完成采購訂單計劃并交貨的時間安排直接影響供應商企業的成本和收益，交貨時間過長會增加庫存成本，過短會增加趕工成本。在供應鏈系統中，成功實施準時采購需要依托供應鏈體系中上下游企業間的有效協調與合作[7-8]。

為了提高供應的準時交貨概率和交貨質量，降低供應鏈中的需求不確定性給核心生產企業所帶來的影響，在供應鏈戰略合作的體系框架下，雙方應在供應商－供應商協同（內部協同）與核心生產企業－供應商博弈（外部博弈）的進程中，通過各自決策變量的設計，尋求有效的激勵機制和最優的期望收益。

1 核心生產企業與供應商之間的Stackelberg博弈模型建立

1.1 基本假設

在建立模型之前，首先給出以下假設:

假定1 核心生產企業與供應商在協商并設計準時采購契約過程中的決策是基于完全信息的。

假定2 不考慮提前完工所帶來的原材料、半成品和生產過程中所產生的庫存持有成本。

1.2 符號說明

在模型構建與分析之前，首先給出一些必要的符號定義和參數說明如下。

Q為核心生產企業的采購總量,0＜Q＜Qmax；R為核心生產企業的采購價格；T為核心生產企業與供應商企業商定的采購訂單計劃完成時間，不允許提前完成訂單交貨，Tmin≤T≤Tmax；ti為供應商企業為完成訂單計劃所需的全部時間，假定其服從參數為λ的指數分布，且ti相互獨立；f(t1,…,tN-1)與F(t1,…,tN-1)分別為供應商企業完成訂單所需全部時間的聯合概率密度函數與聯合概率分布函數；B為核心生產企業為供應商企業準時完成訂單計劃交貨提供的單位批量產品的激勵獎金，0≤B≤Bmax；α為供應商企業的單位批量產品單位時間的庫存成本，α＞0；β為供應商企業為保證及時交貨的單位批量產品單位時間趕工成本，β＞0；δ為核心生產企業由于供應商企業未能及時交貨而造成損失而引起的的單位批量產品單位時間缺貨成本，δ＞0；Ep(B,Q)為核心生產企業成本的期望值；Es(T)為供應商成本的期望值。

1.3 Stackelberg博弈模型

在整個過程中，核心生產企業與供應商在準時采購-交付過程中的關系可視為一個完全信息的Stack?elberg主從博弈，雙方追求在JIT采購中各自的期望成本最小化。

供應商的成本Es主要包括:提前完成訂單的成本、延遲完成訂單的成本，其中，提前完成訂單的成本包括完工時間到交貨時間的庫存成本（因為不考慮提前交貨），延遲完成訂單的成本指延期所造成的趕工成本，它們分別與庫存時間和延遲時間的大小成正比。

式中:第1項為預期庫存成本，第2項為預期趕工成本，第3項是由預期可能得到的激勵獎金。供應商企業的成本最小化問題就是我們所要考慮的最優化問題，即

核心生產企業的成本Ep主要由3部分構成:采購成本、為激勵供應商而支付的成本以及供應商企業未能及時交貨而造成損失而引起的短缺成本，其中，采購成本主要由采購批量和采購價格所決定，缺貨成本隨延遲時間的增加而增加。核心生產企業若主要考慮的決策變量為激勵獎金B和采購量Q，其成本表達式如下

式中:第1項為預期缺貨成本，第2項為預期獎金支付金額，第3項為為采購物品的價格支付。

核心生產企業依據成本最小化，即求解成本最小化的優化問題為minEp(B，Q)，s.t.0≤B≤Bmax，0＜Q＜Qmax，從而確定激勵變量和采購量的值。

2 模型的最優性分析與最優決策

上述Stackelberg博弈模型的構建是為供應鏈中的節點企業提供決策支持，為此，需要分析該模型所涉及的各成員企業的決策是否存在最優均衡解。首先，不考慮約束情形，通過分析無約束情況下該主從博弈雙方決策的最優性，可以得到如下的定理。

定理1 供應商的期望成本Es(T)的最優解滿足如下最優性條件

考慮到本文研究供應商協同供貨，將所有供應商作為一個整體，即只考慮一個供應商，得到上述一階最優性條件的特殊情況，即取N=2，由上述表達式，此時一階最優性條件如下

定理2 核心生產企業的期望成本Ep(B,Q)存在局部最優解。

經過求解方程?Ep(B,Q)=0，可以得到解點(B*,Q*)。

考慮到我們研究供應商協同供貨，只考慮一個供應商，則得到上述定理的的特殊情況。取N=2，可以得到如下結論。

如果滿足下列不等式條件

那么，核心生產企業的期望成本函數將存在局部極小值，且在(B*,Q*)處取得。

不難發現，盡管問題是相對復雜的，但只要知道供應商企業完成訂單響應時間服從指數分布，通過上述理論分析，可以獲得Stackelberg均衡解的必要條件，找到供應商成本函數的最優解和核心生產企業成本函數的局部最優解。如果核心生產企業成本函數具有凸性，那么，最優解同樣可以通過理論分析取得。

3 內嵌內點法的模擬退火求解算法

考慮到雙層規劃問題的NP難性，利用模擬退火算法求解上層規劃模型，結合內點法求解下層規劃模型，從而構造核心生產企業與供應商企業之間的博弈模型的優化算法。

步驟1 給定初始可行解x0?(B0,Q0)∈Ωp，其中Ωp={(B,Q)|0≤B≤Bmax,0＜Q＜Qmax}，設定初始溫度，給出常數σ≥2，γ＞0，計算，置，置k←0；取初始懲罰因子R0=1＞0，容許誤差ε＞0。

步驟3 利用當前迭代點Xk和隨機向量Zk，產生一個新的試探點Ik=Xk+Zk，并計算Ep(Ik)。

步驟4 若Ik∈Ωp，則轉步驟5；否則重新計算試探點

此時再次判斷，若Ik∈Ωp，則轉步驟5；否則繼續上式計算，直到Ik∈Ωp并轉步驟5。如果在設定的迭代步內始終有Ik?Ωp，則令Ik=Xk，并轉步驟5。

步驟5 產生一個隨機數η∈U(0,1)，η≠0,1，計算在給定當前迭代點Xk和退火溫度下接受試探點

Ik的概率若Pa(Ik|Xk,Tsk)≥η，則置Xk+1=Ik，Ep(xk+1)=Ep(Ik)；否則置Xk+1=Xk，Ep(xk+1)=Ep(xk)。步驟6 若Ep(xk+1)＜Empin，則置xmin=xk+1，Empin=Ep(xk+1)。

步驟7 若滿足迭代終止條件，則xmin即為近似最優解，Eminp為相應的最優值，同時，轉入步驟8；否則，轉步驟12。

步驟8 令y0=T0∈Ωs，其中，

步驟9 從yl-1點出發，用無約束最優化方法求解miny∈ΩsP(y,Rl)的極值點y*(Rl)，其中

步驟10 檢驗終止迭代準則

若滿足，則停止迭代，并以y*(Rl)作為原目標函數Ep(y)的約束最優解，否則轉步驟11。

步驟11 取Rl+1=?Rl，y0=y*(Rl)，置l←l+1，并轉步驟9，其中，遞減系數?∈[0 .1,0.5]，這里取?=0.1。

通過上述算法，可以求解得到核心生產企業與供應商企業根據各自成本函數所尋求的近似最優解。從模型與算法的構建的整個過程，都體現了供應商企業的協同，也很好地反應了處于主導地位的核心生產企業與作為跟隨者的供應商之間的博弈行為。

4 結論

基于供應鏈戰略合作伙伴關系的體系框架，從采購雙方行為動機的角度出發，研究了不確定響應時間下準時交貨激勵契約的博弈與協同模型，并基于最優性分析設計了數值計算的優化算法，該算法通過模擬退火準則內嵌內點法搜索以實現近似最優求解。本模型和算法研究可提高供應的準時交貨概率和交貨質量的保證，最大程度降低供應鏈需求不確定性給核心生產企業所帶來的負面影響，這對供應鏈協同管理具有重要參考價值。

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