用《幾何畫板》研究電子在正交電場和磁場中的運動＊

余春日 余婧冰 張繼椿

（1安慶師范學院物理與電氣工程學院，安徽 安慶 246133）

（2中山大學翻譯學院，廣東 珠海 519082）

（3宿松縣程集中學，安徽 宿松 246521）

1 引言

《幾何畫板》軟件被譽為“21世紀的動態幾何”，具有功能強大、形象直觀、無須編程、簡單易學等特點，已成為教學課件的優秀開發工具.它利用點、線、圓、計算器等很少幾個基本工具即可實現任何圖形的繪制和精確的計算，可以很好地輔助物理教學，在探究許多復雜物理問題如物理量的動態變化過程、光學中的物像關系、波的傳播圖像問題等方面有廣泛的應用［1，2］.

帶電粒子在正交電場和磁場中的運動是一個物理內容十分豐富的問題，文獻［3，4］從物理的角度作了精辟的分析，特別是從運動和力的合成與分解的角度解決了帶電粒子的軌跡問題，但是已有文獻編制的具有動畫效果的課件對C語言有較高的要求，顯示帶電粒子運動過程的直觀性不夠.本文以大學物理教材中的一道習題［5］為例，借助《幾何畫板》軟件，直觀形象地分析了電子在正交均勻電場和均勻磁場中的運動性質，描繪了電子在不同初始條件下形成的運動軌跡.

2 電子的運動方程

如圖1所示，在空間有互相垂直的均勻電場場強為E和均勻磁場磁感應強度為B，B沿x方向，E沿z方向，一電子開始時從原點出發，以速度v0沿y方向前進.問電子運動的軌跡如何？

圖1

解 電場和磁場分別為：

初始條件為：t＝0時，x0＝0，y0＝0，z0＝0；

電子的運動方程為

利用分量式和初始條件得［5］

式（1）～式（3）表明，電子在yOz平面內作曲線運動，其軌跡的形狀與v0、E和B有關.

3 討論

3.1 電子的運動軌跡

為討論方便，令

則式（2）、式（3）可改寫為

由式（5）、式（6）可知，電子運動的軌跡是半徑為R的圓輪以角速度ω在定直線y＝R-r上作純滾動時，輪上與圓心距離為r的固定點P描繪的擺線.

圖2是以《幾何畫板》5.00制作的動畫描繪的3種不同r情況下的擺線.若r＝R，P點位于滾動圓上，軌跡為等幅下擺線，如圖2（a）所示（r＝R＝1）；若r＜R，P點位于滾動圓內，軌跡為短幅下擺線.如圖2（b）所示 （r＝0.5＜R＝1）；若r＞R，P點位于滾動圓外，軌跡為長幅下擺線，如圖2（c）所示 （r＝1.5＞R＝1）.圖中顯示的周期數（即圓輪滾動的圈數）是n＝1.5，只要電磁場的空間范圍足夠大，電子運動的軌跡將是一個接著一個的拱形弧線.

3.2 電子的運動性質

將式（5）、（6）兩邊分別對t求一階導數，得電子運動的分速度

由式（5）～式（8）可知，電子的初速度v0可分解為沿y軸方向的速度vd和v′＝v0-vd（注意到r＞0時，v0＜vd，v′＜0），因此，電子的運動可看成是隨滾輪圓心作速度為vd的勻速直線運動與繞圓心O′作半徑為r、速率為vd-v0（角速度為ω）的逆時針勻速圓周運動的疊加，如圖3所示.

從動力學的觀點看，電子沿y軸正方向作速率vd＝E／B的勻速直線運動，是電子受到向下的電場力F＝-eE和向上的洛倫茲力f1＝-evd×B平衡的結果，而電子繞圓心作逆時針勻速圓周運動是電子受到指向圓心的洛倫茲力f2＝-ev′×B作用的結果.

電子在軌跡最低點有最大速率

對應的位置坐標

3.3 v0對電子運動擺線形狀的影響

（1）當v0＝vd時，電子以速度vd沿y軸方向作勻速直線運動.

（2）當v0＝0時，r＝R，軌跡為等幅下擺線，如圖2（a）所示.軌跡在最低點“平滑”，在最高點則變為“尖峰”.

（3）當0＜v0＜vd時，0＜r＜R，軌跡為短幅下擺線，如圖2（b）所示.軌跡在最高點和最低點均“平滑”.

（4）當v0＜0時，r＞R，軌跡為長幅下擺線，如圖2（c）所示.軌跡在最高點出現“回峰”現象.

（5）當vd＜v0＜2vd時，-R＜r＜0，電子的運動軌跡是短幅上擺線，如圖4（a）所示.軌跡在最高點和最低點均“平滑”.

（6）當v0＝2vd時，r＝-R，電子的運動軌跡是等幅上擺線，如圖4（b）所示.軌跡在最低點“平滑”，而在最高點變為“尖峰”.

（7）當v0＞2vd時，r＜-R，電子的運動軌跡是長幅擺線，如圖4（c）所示.軌跡在最高點將出現“回峰”現象.

4 結論

運用《幾何畫板》制作了電子在正交均勻電場和磁場中運動的動畫，直觀地展示了電子的擺線運動過程；分析了電子的運動性質和初速度對電子運動擺線形狀的影響.可得出如下結論：

（1）電子的運動可看成是隨滾輪圓心的勻速直線運動與繞圓心作逆時針勻速圓周運動的疊加.

（3）電子的運動擺線在最低點和最高點的形狀，取決于在最值點的合速度.若在最值點的合速度水平向右，則擺線在此處“平滑”；若在最值點的合速度為零，則擺線在此處為“尖峰”；若在最值點的合速度水平向左，則擺線在此處出現“回峰”.

本文的研究結果很容易推廣到帶電粒子在重力場、電場和磁場形成的復合場中.教學中可鼓勵學生用《幾何畫板》把一些物理問題做成動畫，引導學生探索解決，這對于培養學生的學習興趣，感悟科學研究方法，提高思維品質具有重要意義.

［1］劉成華.運用幾何畫板探究動態物理問題的策略研究［J］.物理通報，2007，（10）：43～45

［2］朱亞.利用“幾何畫板”解決物理疑難問題［J］.物理教師，2007，28（4）：40～41

［3］蔣晨曦，過祥龍，劉軍.帶電粒子在正交電磁場中運動分析及運動軌跡的計算機描繪［J］.物理與工程，2001，11（4）：39～44

［4］張九鑄.帶電粒子在正交電場和磁場中軌跡的形成及曲率半徑［J］.大學物理，2011，30（5）：35～38

［5］趙凱華，羅蔚茵，陳熙謀.新概念物理題解（上冊）［M ］.北京：高等教育出版社，2009