基于動態規劃的制導滑翔炸彈最優控制研究

雷 科， 林忠賢

(中國空空導彈研究院，河南 洛陽 471009)

0 引言

空中防區外精確打擊已成為目前高技術戰爭的一種重要作戰模式，并成為制約戰爭勝負的重要因素。在實施精確打擊的彈藥中，制導滑翔炸彈由于其低成本、精確打擊能力及防區外發射等特點，受到各軍事大國的普遍重視［1］。

制導滑翔炸彈沒有動力，主要采用大升阻比氣動外形，依靠投放高度勢能和投放初速度動能來實現較遠的滑翔距離。滑翔制導炸彈采用怎樣的導引策略才能實現最遠的滑翔距離，是一個具有現實意義的問題。

根據最優控制理論，制導滑翔炸彈最優滑翔距離問題應該屬于多變量有約束的非線性系統最優化問題。目前對于多變量有約束的優化問題解法很多，適合于制導炸彈的方法有:梯度法、共軛梯度法、動態規劃法、可行方向法、梯度投影法等［2］。

根據制導滑翔彈的特點采用動態規劃法來進行尋優計算，它比常見的以最優升阻比方法獲得遠距離滑翔具有較好的效果。動態規劃是一個發展成熟的理論，它與極大值原理一樣被稱為現代變分法，是處理控制變量存在有界閉集約束時，確定最優控制解的有效數學方法。它可以解決非線性多輸入輸出系統、時變系統的最優控制問題。從本質上講，動態規劃是一種非線性規劃，其核心是貝爾曼的最優原理［3］。

1 制導滑翔炸彈滑翔問題分析

由于滑翔彈偏航控制通道主要消除航向制導誤差，俯仰控制通道保證炸彈的飛行距離滿足要求，末端主要對準目標，同時增大俯仰角，以所需的俯仰角命中目標。滑翔彈的性能優劣主要取決于垂直面的制導性能。而最優滑翔距離主要是通過俯仰通道的最優控制來實現的，因此，為了簡化制導炸彈最優控制數學模型，本文只在垂直平面內對炸彈最優滑翔問題進行分析。

炸彈在滑翔過程中受重力、氣動力合力作用。在不考慮側滑情況下，制導滑翔炸彈在垂直平面內受力情況如圖1所示。

圖1 制導滑翔炸彈受力示意圖Fig.1 The forces on the guided glide bomb

制導滑翔炸彈最遠滑翔距離的要求還與末端著地角要求、制導精度要求、末速要求相互約束。

2 最優滑翔彈道數學模型

利用最優控制理論，將制導滑翔炸彈滑翔彈道的優化表述為一個非線性、時變、帶有控制約束和終端約束的最優控制問題［4］，其狀態方程為

式中:X=(x1，x2，x3，x4)T為狀態向量;U 為控制向量;t為時間(s);S為炸彈特征面積(m2);H為炸彈高度;m為炸彈質量(kg);V為炸彈速度(m/s);ρ(H)為空氣密度(高度 H的函數)(kg/m3);θ為炸彈彈道傾角(rad);β為炸彈俯仰角(rad);α為炸彈攻角(rad);Fx為炸彈阻力(N);Fy為炸彈升力(N)。

根據動態規劃原理，選取攻角為控制量，即

容許控制為

過程約束

過程約束在程序中進行了限制，當超過過程約束時，該控制下的最優策略停止搜索。

終端約束為

制導炸彈滑翔距離作為性能指標，則性能指標函數為

式中:tf為終端時間;t0為開始時間。

考慮到有約束終端求解比較困難，采用懲罰函數將終端約束以罰函數的形式放到性能指標函數中，有終端約束最優控制問題轉化為無終端約束的最優控制問題［5］，則性能指標函數為

根據最優控制原理，性能指標的極大值與極小值可以采用相同的哈密頓函數來進行求解［6］，則最優滑翔彈道的哈密頓函數為

3 動態規劃算法

動態規劃的方法實質上是引進了最佳性原理，把一個多步最優化問題轉換為多個一步最優問題。動態規劃原理［7］:如果 u*(0)，u*(1)，u*(2)，…，u*(N-1)是最優控制問題的一個最優控制序列，那么u*(1)，u*(2)，…，u*(N-1)一定也是一個最優序列，其初始狀態是 X(1)=f1(X(0)，u*(0))。

如果 u*(0)已求出，求 u*(1)，u*(2)，…，u*(N-1)的問題構成一個初始條件為X(1)的N-1步的最優控制問題，如果性能指標最小值記為(X(1))，這樣由最優性原理有

目標函數JN為

式中:N為由u*(0)到u*(N-1)的N步控制。從上述(X)到(X)之間的遞推關系，可以把N步控制的問題轉化為N個一步控制問題。

對終端有約束的最優控制問題，動態規劃常規的方法是由終端狀態逆向進行搜索。制導炸彈如果也采用這種方法進行求解，到最后同樣要回到初始狀態的特定值的約束，相當于順序求解法的末端約束，而且編程較為困難。因此采用動態規劃法的順序求解法進行彈道的求解，較為直觀簡單，也比較適合于本文問題的求解。但由于末端對著地角和末速有約束限制，直接用順序求解法無法求解，因此引入拐彎時間進入動態規劃，在拐彎時間Tturn之前，每階段的性能指標函數采用J1的形式，即不考慮末端約束，以最遠距離為唯一性能指標。拐彎時間之后，性能指標變為增加末端約束的最終J2指標形式，即

其中:s1、s2為懲罰因子。

根據動態規劃原理，結合滑翔炸彈的運動特點，采用的動態規劃法如圖2所示。

圖2 動態規劃算法示意圖Fig.2 Diagram of the dynamic programming algorithm

以時間為單位將制導炸彈劃分為N個階段，每個階段根據攻角的范圍，確定I個攻角策略。具體的計算步驟如下。

1)設定轉彎時間的取值范圍，Tturn∈［min TR，max TR］。

2)設定轉彎時間Tturn=min TR。

3)設定炸彈飛行仿真時間t=0，如果t＜Tturn，則性能指標按照J1的形式計算，否則性能指標按照J2進行，即

4)根據初始狀態，計算第1階段I個策略下的彈道運動方程，將狀態數據，，，，…和性能指標，，，，…，記錄下來，作為第2個策略計算的初始值。

8)采用4)相同的計算方法計算3，4，…，n階段的最優控制，當所有策略下都不滿足過程約束時停止搜索，搜索所有性能指標J，其中最大的J指標即為最遠射程。最遠射程對應的即為最優攻角序列。

9)Tturn=Tturn+1，如果 Tturn＜max TR，轉到2)重新開始計算。如果Tturn＞max TR，結束所有計算，對應所有轉彎時間下的最優性能指標J為最優控制序列。

由于簡化的制導滑翔彈數學模型變量較少，較為適合采用動態規劃算法。當然每個階段時間的劃分不宜太短。如果太短，則總階段太長，會導致數據記錄量太大，總的計算時間太長［8］。但如果每階段的時間太長，則所計算的精度不夠，不能計算出最優攻角序列。經過反復仿真分析發現，本文的仿真步長選取1 s可以獲得較好的效果。

4 仿真結果分析

為了驗證以上動態規劃法的有效性并與最優升阻比進行比較，本文根據某制導炸彈的氣動數據進行仿真驗證。取初始狀態X(t0)=(190 0 0 10000)T，過程和末端速度約束范圍［Vmin，Vmax］=［160，300］，單位為 m/s。過程和末端角度約束范圍［θmin，θmax］=［-80，30］，單位為(°)。高度和射程單位為 m。拐彎時間根據初步估算在Tturn=［250，500］內取值較為合理，單位為s。當滿足條件|x4-Htf|＜ε，或過程狀態超過約束時停止迭代。其中ε=10［9］。動態規劃求解的最優滑翔彈道的結果如表1所示。

表1 動態規劃計算結果Table 1 The result of the dynamic programming calculation

根據表1的計算結果，可以看出，當轉彎時間為360 s的時候，在滿足末端約束的條件下，射程達到最大的66 km。隨著拐彎時間的不斷后移，其末端速度和彈著角逐漸減小，到371 s時，已經不能滿足末端約束的要求。

在文獻［10］中對最優滑翔的結論為:導彈在滑翔過程中采用最大升阻比進行下滑，基本上就可以得到最大滑翔距離，因此，采用本方法與最大升阻比方法對10 km高度下，相同飛行速度在相同的末制導條件下計算結果進行比較，其末端數據如表2所示。

表2 動態規劃法和升阻比法的末端數據對比Table 2 The terminal data of dynamic programming algorithm and lift-drag ratio algorithm

從表2可以看出，在10 km高度，采用動態規劃法計算的最優射程比最優攻角制導增加6 km以上，同時末端著地角可達到-45°，但末速比最優升阻比減小了70 m/s，末端性能要優于最優升阻比制導。

動態規劃與最大升阻比的彈道曲線如圖3所示。

圖3 動態規劃與最優升阻比彈道對比圖Fig.3 The trajectory of the dynamic programming algorithm and optimization lift-drag ratio algorithm

從圖3可以看出，從投放開始后，采用動態規劃法就比最大升阻比法滑翔的高度要高，同時考慮到末速要比最大升阻比法低70 m/s，說明這種方法依靠速度損失增加了射程。同時，動態規劃法的拐彎高度和最優升阻比相當，即在增加射程的同時保證了末端姿態調整的時間，從而保證著地角末端約束。

圖4為采用動態規劃計算的過載曲線，該過載保證了導彈在整個彈道過程中滑翔距離最遠，在末端過載迅速減小調整姿態，保證著地角滿足著地角約束。

圖4 動態規劃計算的過載曲線Fig.4 The overlade curve of the dynamic programming algorithm

5 結束語

本文通過改進的動態規劃法對最優滑翔距離制導問題進行了研究，算法簡單。基于某滑翔彈實際氣動參數進行仿真證明其效果良好，該算法比最優升阻比制導方法投放距離遠。研究結果對于分析制導炸彈飛行控制系統性能、滑翔飛行特性及進行滑翔飛行方案制定、控制系統設計具有重要參考價值。

本文研究的結果，對亞音速正常式氣動布局滑翔彈制導初步設計、彈道規劃和性能初步分析使用具有實際應用意義。

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