基于最小二乘法的電力變壓器參數辨識算法

楊啟平，鄧正文，董 輝，徐丹鳳

(上海電力學院電力與自動化工程學院，上海 200090)

長期以來，電力變壓器差動保護主要依靠故障電流或者電壓的波形特征來判斷內部故障是否存在，其中二次諧波制動得到了最廣泛的應用，且積累了豐富的運行經驗.但是由于變壓器鐵芯的非線性而產生的勵磁涌流現象，經常導致差動保護誤動作，嚴重制約變壓器保護的正確動作率，使得變壓器的保護水平遠遠低于系統中的其他元件［1-4］.隨著變壓器容量的增大和制造工藝的改進、超高壓輸電線路長度的增加，以及系統中容性設備的增多，使得二次諧波制動的可靠性問題日益突出［5，6］.為解決這一問題，廣大專家進行了大量的研究，提出了一些解決方法，也取得了一定的進展.郝治國等人提出的基于變壓器回路平衡方程的變壓器保護新原理［7］，跳出了傳統差動保護原理的思路，規避了勵磁涌流和故障電流的判別，開辟了變壓器保護的新思路，具有很好的應用前景.但是此方法對變壓器電阻、電感參數的精度要求比較高，參數的精度直接影響保護算法的靈敏度.針對這一問題，索南加樂等人提出使用最小二乘法來識別變壓器的漏電感參數，但是忽略了變壓器繞組的電阻參數，辨識參數的精度受到一定的影響［8］.曾鑫等人提出使用有約束的最小二乘法，解決了Y/△接線方式下三相變壓器的漏感計算問題，但也同樣忽略了電阻的影響，且存在數據飽和的問題［9］.

本文從Y/△接線變壓器的回路方程出發，提出了一種帶遺忘因子的最小二乘法識別變壓器電阻、電感參數的方法，無需已知三角形側的相電流，基于三角形側三相環流相等的特點，消去環流，同時消去回路方程中的非線性項，使用帶動態遺忘因子的最小二乘法快速便捷地實現變壓器參數辨識，為基于回路平衡方程的變壓器保護的推廣應用打下堅實的基礎.

1 基本原理

基于回路平衡方程的變壓器保護新原理如下［7］:在正常運行狀態及勵磁涌流狀態下，原副邊繞組回路方程得到的回路平衡方程為零，而在內部故障狀態下回路平衡方程值不再為零，即:

式中:u1，i1，u2，i2——原副邊的電壓和電流;

r1，L1，r2，L2——原副邊的電阻和電感;

nB——匝比.

在新原理中，電壓和電流均可通過互感器得到，所以兩側電阻和電感值的精確獲得可以直接影響新原理的保護精度.

在電力系統中，變壓器多采用Y/△聯結方式，本文以雙繞組Y/△聯結的變壓器為例，如圖1所示.為方便分析，設變壓器的變比為1，不計及電壓互感器和電流互感器的變比和誤差.

圖1 Y/△變壓器接線示意

Y側和△側繞組電阻值分別為:

漏感值分別為:

則Y側回路方程為:

式中: ΨAa，ΨBb，ΨCc——A/a，B/b，C/c 相繞組的公共磁鏈.

△側回路方程為:

對式(1)和式(2)兩兩相減，然后進行聯立，消去含 ip，ΨAa，ΨBb，ΨCc的項，得到:

同時，iab，ibc，ica可以通過△側線電流獲得［10］:

將式(4)代入式(3)，則有:

式中:

這樣，通過可量測的Y側和△側的電壓和電流即可得到變壓器的電阻和電感值［11］.

2 參數辨識

本文選用帶遺忘因子的最小二乘法實現變壓器參數辨識.最小二乘法是以誤差平方和最小為準則，得出符合實驗數據的最優參數估計的數學方法.

理想電力系統的電壓、電流是工作頻率為50 Hz的正弦信號，如果已知t0和t1時刻的采樣值分別為y0和y1，則t2時刻的采樣值y2可以用y0和y1表示，即y0，y1，y2線性相關，推廣到 n個采樣數據 yk，yk+1，…，yk+n線性相關，則則(ATA)－1不存在，無法通過最小二乘法進行漏感參數的識別，參數具有不可辨識性.但在實際的電力系統運行過程中，電壓、電流中包含有豐富的2次、3次、5次等諧波和非周期分量，此時，參數可以實現辨識.

2.1 帶遺忘因子的遞推最小二乘法

根據式(5)第1式，可建立利用最小二乘法識別變壓器兩側電阻、電感值參數的矩陣:

式中:

隨著數據的增加，最小二乘法會出現所謂的“數據飽和”現象，即采集到的新數據所提供的信息被淹沒在舊數據中.為了克服“數據飽和”現象，本文采用帶遺忘因子的遞推最小二乘法對X4×1進行估計，其基本思想是:舊數據乘以遺忘因子，以降低舊數據所提供的信息量，增加新數據的信息量，從而不間斷地實現修正，以得到最優的參數值.

式中:μ——遺忘因子.

2.2 遺忘因子的確定

遺忘因子μ通常不小于0.9，如果過程是線性的，應選0.95≤μ≤1.遺忘因子如果選得太大將會降低算法的跟蹤性能，太小則容易受噪音的影響.對于慢時變參數A，應選取較大的遺忘因子;對于快時變參數A，應選取較小的遺忘因子.文獻［12］中遺忘因子μ=0.997.

在實際運行過程中，變壓器存在飽和問題，不同的磁滯曲線對應的飽和程度不同，飽和電流大小也不一樣.因此，不能固定遺忘因子μ的大小，而應該根據實測的在線數據來確定.同時，由于電力系統的暫態特性，在參數辨識的過程中，暫態過程中的遺忘因子應較小，而穩態中的遺忘因子接近于1.換句話說，對于每一個待辨識的參數，遺忘因子應該是一組動態變化的數據，其特點是逐漸逼近于 1［13］.

定義一個誤差矢量 ε =(ε1，ε2，…，εn)T并且令:

最小二乘法的原理是使誤差的平方和最小，即使指標函數取得最小:

加入遺忘因子后，

令加權最小二乘估計誤差的方差為:

只要求出使式(11)達到最小的即可.引入“矩陣型”許瓦茲不等式，解不等式，可以得到:

式中:P——n×n的可逆矩陣.

3 算法仿真驗證

為驗證算法的正確性，本文采用實際算例對算法進行仿真驗證.誤差為:

變壓器的電壓電流量由電磁暫態仿真程序EMTP產生，三相Y/△變壓器由3個單相變壓器聯接而成.設定變壓器參數為:額定電壓UN=330 kV/110 kV，電源電壓相移為30°，Y和△繞組的電阻和漏感參數分別為 R1=0.94 Ω，R2=0.285 Ω，L1=1 540 mH，L2=51 mH.每周波采樣點 400個，辨識結果如表1所示.

由表1可以看出，利用帶動態遺忘因子的最小二乘法進行變壓器參數辨識，所得結果的誤差在0.25%以內，可以精確實現變壓器電阻和電感參數的辨識，這為新型回路平衡方程法變壓器保護的實際應用提供了堅實的基礎.

表1 變壓器參數辨識結果

表2為不同時刻的μ值.由表2可以看出，μ值在不停地變化之中，并且逐漸趨近于1，與理論分析的結果吻合.

表2 不同時刻的μ值

表3給出了負載功率因數為0.9，負荷率在30%～100%波動時的參數辨識結果.表4給出了負荷率為90%，功率因數從1.0～0.5變化時的參數辨識結果.從表3和表4中可以看出，負荷變化率及功率因數的變化對參數辨識結果基本上沒有影響，算法的辨識結果真實可靠.

表3 負荷變化率對辨識結果的影響

表4 功率因素變化對辨識結果的影響

4 動模試驗

為了驗證所提算法的可行性及有效性，本文進行了相關的動模試驗，動模試驗系統接線如圖2所示.在圖2中，試驗變壓器采用Y/△聯結方式，變壓器的參數為:額定容量2 kW，額定電壓U1/U2=1 000 V/220 V，空載電流是額定電流的1.32%，空載損耗為20 W，電流互感器變比10 A/5 A，電壓互感器變比500 V/100 V，試驗中變壓器變比設置為1∶1.進行數據錄波時，每個采樣周期采樣點400個.誤差=(估算值－真值)/真值×100%，真值由某制造企業提供.

圖2 動模試驗系統

表5給出了動模試驗辨識結果.由表5可以看出，所有估計值的誤差均在0.3%以內，表明辨識結果精度較高，應用前景良好.

表5 動模試驗辨識結果

5 結論

(1)提出了一種變壓器電阻、電感參數的在線辨識方法.該方法針對三角形側繞組配置TA困難的特點，不改變TA配置，直接利用三角形側線電流和帶動態遺忘因子的最小二乘法，解決了Y/△接線方式下三相變壓器的電阻和電感計算問題，能在線得到變壓器的動態電阻和電感值.

(2)帶動態遺忘因子的最小二乘法解決了普通最小二乘法數據飽和的問題，加快了辨識算法的收斂性.同時，動態遺忘因子的應用，保證了算法的跟蹤性能，能實時準確地偵測到變壓器的電阻和電感參數，為回路平衡方程法的推廣應用掃清了障礙.

(3)參數辨識算法穩定可靠，變壓器運行工況(包括負荷大小和功率因數大小)不會對參數辨識結果產生影響.

(4)參數辨識誤差主要由辨識算法存在的勵磁電流、三角形繞組的環流補償相誤差，以及實時讀取數據時存在的互感器及數據采樣系統的測量誤差組成.當辨識參數應用在精度要求較高的場合時，可以對誤差項進行一定的補償.

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