基于測地距離的圖像濾波方法

王愛齊

(大連交通大學 理學院，遼寧 大連 116028)*

0 引言

由于受到設備和環境等噪聲的干擾，圖像在獲取和傳輸的過程中，不可避免的會受到噪聲的污染，從而影響圖像的質量，給圖像分割、目標識別和分類等后續處理帶來困難.因此，盡可能的減弱噪聲的干擾，使圖像更有利于后續工作是圖像處理的基本任務.

一般來說，圖像去噪可分為兩大類:線性方法和非線性方法.線性(卷積)濾波，如平均濾波［1］、高斯濾波［2］等，方法簡單，速度快，但濾除噪聲的同時，也會造成過光滑現象，使得圖像的邊緣模糊.因此，為了避免產生過光滑效果，研究者提出了許多非線性濾波方法，其中，雙邊濾波(Bilateral Filter，BF)是當前流行的一種邊緣保持濾波方法.

雙邊濾波器最初由Aurich和Weule［3］提出，被稱為“非線性高斯濾波器”.后來 Tomasi和Manduchi［4］重新討論了該方法，并稱之為雙邊濾波器.類似于高斯濾波器，雙邊率濾波器也定義為像素的局部鄰域的加權平均，只是雙邊濾波器的權重不僅考慮了鄰域像素間的幾何距離，而且也結合了像素之間灰度(色彩)的相似性.在均勻的平滑區域，由于像素的灰度值變化較小，彼此接近，因此，權重主要由空間距離決定，這時，可以看作是空間域的高斯平滑;而在變化較大的非均勻區域，權重主要由像素間的相似程度決定，這樣，在邊緣處，同一側的像素有更大的權重，而另一側的像素的權重則較小.正是這種雙重異性加權機制保證了雙邊濾波器具有良好的保持邊緣的濾波效果，并被應用于圖像處理的各個方面［5-7］.盡管雙邊濾波具有較好的保持邊緣的濾波特性，但在紋理致密的強邊緣附近，噪聲殘留較多，濾波效果不能令人滿意.

本文從圖像曲面的內蘊幾何出發，提出了一種新的保持邊緣的非線性濾波方法.其主要思想是對輸入圖像的每一個像素的輸出結果是其鄰域的加權平均，不同于雙邊濾波只考慮歐式距離，該方法是采用圖像所構成的曲面空間的測地距離來衡量像素之間的相似性，能夠更好的反映圖像的結構特征，因此，在濾除噪聲的同時，能夠較好的保留圖像的細節信息.

1 測地距離

設I(x):Ω→Rd是一幅圖像(d=1為灰度圖像，d=3為彩色圖像)，Ω?R2是空間坐標域.兩個像素位置x和y之間的測地距離Dx(y)定義為［9］其中，Px，y連接x和y兩點的所有路徑的集合，Γ是這樣一條路徑的弧長參數化表示，2I和Γ'(s)分別為圖像梯度和路徑關于弧長的導數.測地因子γ平衡圖像梯度和空間距離的權重(在第4節的所有實驗中，γ取值均為25).對于數字圖像來說，Γ是連接x和y兩點的8—連通的空間鄰域的像素構成的離散序列 {p0=x，p1，…，pn－1，pn=y} ，因此

式中，‖·‖2為L2范數.

簡單來說，x和y兩點之間的測地距離就是曲面I上從x到y的最短距離.其直觀解釋為，若圖像I上某兩點的測地距離較小，則在這兩點之間必然存在一條顏色變化較小的路徑，小的測地距離表明這兩點應該有更強的相似性.

2 基于測地距離的濾波方法

與雙邊濾波相似，基于測地距離的濾波方法在每一個像素的輸出結果也是它鄰域像素的加權平均，只是這里的權重是由測地距離構成的.

設I(x):Ω→Rd輸入圖像，對每個點x∈Ω，首先構造一個以x為中心的鄰域窗口wx，然后，按照式(1)和(2)，計算x到窗口中其它位置的測地距離D(x，y)，最后，以其加權和為最終的濾波輸出，即

綜上所述，測地濾波算法總結如下:

設I(x)為輸入圖像.

(1)以每一點x為中心，取大小n×n(Nw=n×n)的窗口wx;

(2)對每一個窗口wx，由式(2)計算出中心點x到其它點的測地距離;

(3)由公式(3)計算最終的濾波輸出結果.

3 測地濾波的快速算法

3.1 基于DTOCS的直接計算(算法1)

測地濾波算法的主要工作量在于計算中心點x到它到鄰域窗口wx中每一點的測地距離，因此，如何能夠快速計算測地距離是該算法的關鍵.關于測地距離計算的快速方法主要有兩類:光柵掃描算法和波動傳播方法.本文中采用文獻［10］中提到的具有線性復雜度的快速光柵掃描算法—DTOCS(Distance Transform on Curved Space)，主要過程如下:

圖1 DTOCS算法中使用的模板及掃描方式示意圖

3.2 基于梅花形采樣的快速計算(算法2)

由于測地距離具有對稱性，在計算出點x到點y的測地距離的同時，也得到了點y到點x的測地距離，因此，可以利用對稱性減少計算量，加快運行時間.但是，當利用對稱性時，要用到較大的內存來記錄所有計算過的測地距離.為了減小內存的消耗，本文采用如圖2的梅花形下采樣，來減小要處理的數據量.當計算出采樣點到其鄰域各點的測地距離時，由測地距離的對稱性可知，非采樣點到采樣點的測地距離也同時得到.盡管，非采樣點之間的測地距離并沒有計算，但從實驗結果可以看出，算法2與算法1的去噪效果十分接近，但運行時間卻減少為原來的1/2.

圖2 梅花形采樣示意圖

4 實驗結果

去噪是圖像處理中基礎而重要的工作.在實驗中，針對各種不同的圖像和噪聲水平，比較了本文提出的兩種算法和雙邊濾波(BF)方法的去噪效果.為了客觀比較去噪效果，采用峰值信噪比(peak signal-to-noise ratio，PSNR)作為評價標準.

式中，N為圖像像素的總個數;u為原始的清晰圖像;u*為濾波后的圖像.

實驗中，所加的噪聲是均值為0，標準差分別為σ=10，15，20的加性高斯噪聲.圖3列舉了實驗中的一幅圖像及兩種方法的濾波結果，從中可以看出，兩種方法在濾除噪聲的同時，均很好的保持了圖像邊緣的細節信息，但與本文的算法相比，雙邊濾波的結果過于平滑，也濾除了弱的細節.由本文算法1和算法2的結果比較，可以看出，采用梅花形采樣的算法2的去噪結果接近算法1，但運行時間卻減小為原來的1/2.

圖3 濾波方法性能比較

各種不同圖像(噪聲標準差σ=15)的具體濾波效果的PSNR值(dB)見附表.從附表中可以看出，本文提出的測地濾波方法的濾波結果要優于雙邊濾波方法的濾波結果.

5 結論

本文從圖像曲面的內蘊幾何出發，通過測地距離來衡量像素之間的相似性，提出了一種新穎的邊緣保持濾波方法—基于測地距離的濾波方法，與流行的雙邊濾波方法比較，該方法具有更高的精度，更好的去噪效果.

附表 兩種濾波方法對不同圖像的濾波結果比較 dB

［1］胡浩，王明照.自適應模糊加權均值濾波器［J］.系統工程與電子技術，2002，24(2):15-17.

［2］靳明，宋建中.一種自適應的圖像雙邊濾波方法［J］.光電工程，2004，31(7):65-68.

［3］AURICH V，WEULE J.Non-linear gaussian filters performing edge preserving diffusion［C］.In Proceedings of the DAGM Symposium，1995:538-595.

［4］TOMASIC，MANDUCHI R.Bilateral filtering for gray and color images［C］.Proceedings of the 6th International Conference on Computer Vision，1998:839-846.

［5］LIU C，FREEMAN W T，SZELISKI R，et al.Noise estimation from a single image［C］.IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition(CVPR)，2006:901-908.

［6］EISEMANN ELMAR，DURAND Frédo.Flash Photography Enhancement via Intrinsic Relighting［J］.ACM Trans.Graph.，2004，23(3):673-678.

［7］CHEN J，PARIS S F，DURAND.Real-time Edge-Aware Image Processing with the Bilateral Grid［C］.Proceedings of the ACM SIGGRAPH 2007，2007.

［8］LEONID I，RUDIN，STANLEY OSHER，et al.Nonlinear total variation based noise removal algorithms［J］.Physica D，1992，60(1):259-268.

［9］AMTONIO CRIMINISI， TOBY SHARP， CARSTEN ROTHER，PATRICK P'erez.Geodesic Image and Video Editing［J］.ACM Transactions on Graphics(TOG)，2010，29(5):1-5.

［10］TOIVANEN P J.New geodesic distance transforms for gray-scale images［J］.Pattern Recognition Letters，1996 17(5):437-450.