交流電機調速系統的分數階PIλ控制

聶冰，趙慧敏，郭永香，李文

(大連交通大學 軟件學院，遼寧 大連 116028)*

0 引言

整數階PID控制器具有操作簡單、調整方便、魯棒性好等特點，在電機控制應用中處于主導地位，但是隨著控制對象的機構越來越復雜，控制參數越來越多，常規的整數階PID控制往往難以得到滿意的控制效果［1］.分數階PID控制器是傳統整數階PID控制器的擴展，由于它具有更多的可調節參數，故為復雜的被控對象帶來了更加靈活的參數調節能力，使其具有更好的控制特性.

交流電機作為工業控制領域的重要電氣設備被廣泛應用，電機傳動系統是一個復雜的動力機械系統，其中存在著很多非線性因素，如齒輪間的間隙和摩擦、基礎振動等，因此，系統的分數階特性變得無法忽略.為了降低交流電機傳動系統的噪聲與振動，進一步擴展傳統的整數階控制方法，在交流電機傳動系統中引入分數階控制是可行和必要的［2］，具有實際意義和應用價值.

本文主要討論了交流電機調速系統的分數階PIλ控制.首先介紹了分數階微積分的基本含義，并將其應用到分數階PIλ控制器的設計.在交流電機調速系統中使用分數階PIλ控制器進行控制，通過測試實驗表明分數階PIλ控制器的可行性及其有效性.

1 分數階微積分

分數階微積分的一般定義為［3］:

式中，a和t為算子a的上下限，微積分算子是函數f(t)的α次積分或導數.

分數階微積分中α是任意數，常用的分數階微積分定義是Grünwald-Letnikov，其微積分定義為:

h為計算步長.

RL是另一種分數階微積分的定義.與GL定義相比，RL分數階微積分的計算更為簡化，其分數階微積分的定義為:

2 分數階PIλ控制器

2.1 分數階PIλ控制器的設計

整數階PIλ控制器傳遞函數為:

式中，U(s)為控制器的輸出;E(s)為控制器的誤差輸入.分數階控制系統是整數階控制系統的擴展，將式(4)推廣到分數，其分數階PIλ控制器的傳遞函數為:

式中，KP、KI為控制器的控制參數，λ＞0是分數階控制器的積分階次，可表示為任意實數.

2.2 分數階PIλ控制器的離散化

分數階控制器是無限階次，其設計的關鍵問題是解分數階微積分方程時需要對微積分算子進行離散化.離散化方法主要使用直接離散化和間接離散化，直接離散化應用更為廣泛［2］.直接離散化法的基本思想是:分數階微積分sr用生成函數 s= ω(z－1)來表示，將r次無理函數 ωr(z－1)在離散時間域Z中使用有限階次的有理函數對其進行逼近［2，4］.目前常用的分數階積分算子包括:Rectangular算子、Tustin算子和Simpson算子及由Al-Alaoui提出的算子.連分式(CFE)是對函數或數值的一種有效近似形式，它的展開比通常線性展開收斂速度更快.Tustin算子具有很好的相位特性和簡單的結構，利用Tustin算子進行連分式(CFE)展開是一種有效的離散方法［5-6］.根據Tustin算子得到階次為r的生成函數為:

將該生成函數應用收斂速度快的連分式展開，對其進行分數階微積分算子的近似，得到了效果更理想的分數階數字積分器.

離散函數G(z)可以用連分式展開式近似展開，形式表示如下所示:

式中，ai(z)和bi(z)為常量或z的有理函數.

式中，r∈［－1，1］，CFE{u}表示對函數u進行連分式展開，P和Q是變量z－1多項式，一般展開階次 p=q=n，得到近似等式［3］:

附表列出了當近似階次p=q=1，3，5取不同值時，分數階積分器的分子分母近似表達式.

根據經驗，綜合考慮系統的計算能力和控制性能要求選取近似模型的階次為3，分數階微積分sr的離散化模型為:

附表 Dr(z)分子分母的近似表達式

3 應用實例

使用離散的分數階PIλ控制器和傳統整數階PID控制器對交流感應電機調速系統進行控制.該系統硬件主要采用工控機，三相異步電動機，變頻器，速度傳感器及NI公司的數據采集模塊，其配置框圖如圖1所示:

圖1 交流電機調速系統配置圖

根據經驗，分數階PIλ控制器控制參數分別為:Kp=0.24，ki=0.05，λ =0.47，采樣周期T=1 s，采用Tustin+CFE離散方法，逼近階次為3，分數階PIλ控制器和整數階PID控制器控制效果如圖2所示.

圖2分別為交流電機額定轉速在300 r/min和600 r/min時，分數階PIλ控制器和整數階PID控制器控制效果對比圖，其中虛線為分數階控制器，實線為整數階控制器.如圖所示，在控制過程中，分數階PIλ控制器和整數階PID控制器的超調量幾乎相同，但是分數階控制器的調節時間更短，在電機平穩運行后，分數階控制器要比整數階控制器對電機的控制更加的平穩，振蕩小，這種趨勢隨著時間的推移越發的明顯，控制效果更好.

圖2 分數階控制器和整數階控制器控制效果對比圖

實驗結果表明了分數階PIλ控制器的有效性，進一步拓寬PID控制器的參數選擇范圍，為工程實際應用提供了可能.

［1］張邦楚，王少鋒.飛航導彈分數階PID控制及其數字實現［J］.宇航學報，2005，26(5):653-656.

［2］趙慧敏，李文.一類分數階濾波器逼近階次的選擇［J］.電機與控制學報，2010(1):90-94.

［3］白晶.分數階模型的離散化方法研究［D］.大連:大連交通大學，2009.

［4］曹軍義，曹秉剛.分數階控制器的數字實現及其特性［J］.控制理論與應用，2006，3(5):791-794.

［5］樊玉華，李文.分數階微分算子的離散化方法比較［J］.大連交通大學學報，2008，29(3):95-98.

［6］CHEN YANGQUAN.A new discretization method for fractional order differentiators via continued fraction expansion［C］.2003 ASME International Design Engineering Technical Conferences，Chicago，USA，2003:1-9.