基于Backstepping 方法的導引律設計

張文山，羅 生

(1.中國空空導彈研究院，河南 洛陽 471009;2.上海交通大學 航空航天學院，上海 200240)

導彈的導引律設計在目標攔截過程中起著非常重要的作用，人們對此進行了大量的研究。傳統的導引律［1］主要包括比例導引法、追蹤導引法和平行接近法等。在目標不機動、系統無延時、控制能量不受約束的情況下，采用比例導引攔截目標可獲得很好的性能。然而，隨著目標機動性能的提高，傳統的比例導引規律逐漸暴露出很多不足。當目標做機動飛行時，比例導引律的性能會大大下降，終端脫靶量會很大［2］。

為改善比例導引律的導引性能，使之可適應現代戰爭中日益惡劣的干擾環境，攔截高速、高機動目標，研究者們提出了多種基于現代控制理論方法的導引律，主要有基于最優控制理論［3］、微分對策理論［4］、Lyapunov 函數理論［5］、非線性H∞控制理論［6］、L2增益控制理論［7］、自適應控制理論［8］、滑模控制理論［9-11］等現代控制理論的導引律。

Backstepping 方法［14-15］是1 種構造性方法，他能利用導彈導引系統和駕駛儀動態結構特性，遞推地構造出整個一體化制導與控制系統的Lyapunov 函數，所以整體系統Lyapunov函數和制導律的設計過程有較強的系統性、靈活性和結構性，可以實現對高階駕駛儀動態下的導引律設計。

本文考慮了導彈的一階駕駛儀動態特性，設計了基于Backstepping 控制方法的一體化導引律。

1 問題描述

為了簡化問題，文章僅考慮平面攔截問題，一般將導彈和目標看作質點。導彈平面攔截幾何關系如圖1 所示。導彈和目標的相對運動關系的極坐標方程［12］為

式中:r 和˙r 分別表示導彈和目標之間的相對距離和相對速度;q 和˙q 分別表示導彈和目標之間的視線角和視線角速度;Vm和Vt分別表示導彈和目標的速度;θm和θt分別表示導彈和目標的飛行方向角;am和at分別表示導彈和目標的橫向加速度。

圖1 平面攔截幾何關系

考慮導彈的近似一階駕駛儀動態特性［13］

為了簡化研究問題，本文假設導彈和目標的飛行速度均為常數，即=0=0。

對式(1)求導，并將式(3)～式(4)代入，得

2 基于Backstepping 的導引律設計

定理1 考慮式(7)，設計如下的非線性導引律

證明 令系統的虛擬控制函數為α(x2)，定義跟蹤誤差

對式(8)中的誤差變量z1求導數，則有

取系統的虛擬控制函數α(x2)為

則式(10)可化為

對式(9)中的誤差變量z2求導數，則有

選取系統的Lyapunov 函數為

對Lyapunov 函數求導數，代入式(12)和式(13)則有

將式(8)代入式(15)，可得是負定的。

根據Lyapunov 穩定性理論可知，狀態z1漸近趨于零，由于z1=x1=，即證得視線角速度漸近趨于零。

3 仿真驗證

設計的虛擬控制函數為α(x2)為

對式(17)求導數，得

對式(14)求導數，并代入式(15)和式(16)，化簡得

仿真的初始條件為:導彈和目標的初始距離r0=3 000 m;導彈和目標的飛行速度分別為Vm=500 m/s 和Vt=300 m/s;導彈和目標的導彈傾角分別為θm=60°和θt=0°;初始視線角q=30°;重力加速度g=9.8 m/s2;導彈的初始加速度取為am=20 g;時間常數取τ=0.5。

1)當目標不機動，即at=0 時，導彈視線角速度的輸出如圖2 所示，導彈制導律和導彈的實際輸出加速度如圖3 所示，導彈和目標的飛行軌跡如圖4 所示，導彈的最終脫靶量幾乎為零，即1.36 ×10-11m。

2)當目標以加速度at=5 g 機動時，導彈視線角速度的輸出如圖5 所示，導彈制導律和導彈的實際輸出如圖6 所示，導彈和目標的飛行軌跡如圖7 所示，導彈的最終脫靶量幾乎為零，即6.40 ×10-11m。

圖2 導彈的視線角速度的輸出

圖3 導彈的制導律和導彈的實際輸出加速度

圖4 導彈和目標的飛行軌跡

圖5 導彈的視線角速度的輸出

圖6 導彈的制導律和導彈的實際輸出

3)目標開始時不做任何機動，當導彈和目標的相對距離小于1000 m 時，目標開始以加速度at=10 g 做機動，導彈視線角速度的輸出如圖8 所示，導彈的制導律和導彈的實際輸出如圖9 所示，導彈和目標的飛行軌跡如圖10 所示，導彈的最終脫靶量幾乎為零，即6.80 ×10-12m。

3 組仿真表明:不論目標機動與否，所設計的導引律均均可使視線角速度趨于零，且3 組仿真的脫靶量均處于，1 個很小的數量級，可以實現導彈對目標的攔截。

圖7 導彈和目標的飛行軌跡

圖8 導彈的視線角速度的輸出

圖9 導彈的制導律和導彈的實際加速度輸出

圖10 導彈和目標的飛行軌跡

4 結束語

本文考慮了導彈的一階駕駛儀動態，給出了1 種新的導引律設計方法，即基于Backstepping 控制的導引律設計方法。仿真結果表明:該導引律使得視線角速度漸近趨于零，脫靶量在1 個較小的數量級上，從了實現了既定的設計目標。本文提出的導引律設計方法有如下優點:①導引律設計過程簡單，可推廣到高階駕駛儀動態情況下的導引律設計;②有嚴格的穩定性分析，從理論上保證了所設計的導引律的可使用性。但仍有2 個問題需要深入研究:①導彈速度可變情況下的導引律設計;②目標運動狀態不完全可知情況下的導引律設計。

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