關于2×2塊矩陣在除環上群逆的注記

劉 新, 楊曉英

(四川信息職業技術學院基礎教育部,四川廣元628017)

0 引言

分塊矩陣的廣義逆在自動化,統計學,數學規劃,數值分析,博弈論,經濟學,控制論中等有著重要的應用。近年,關于廣義逆的研究,受到許多學者的關注與研究[1-12]。參考文獻[1]中的定理3.1給出了2×2塊矩陣在除環上群逆表示的一個結果,但是定理的證明存在錯誤。同時,在文獻[1]的引理2.6中也存在錯誤。給出一個反例來說明這一問題。同時,給出2×2塊矩陣在除環上群逆的一個新的結果。

首先給出參考文獻[1]中的定理3.1,引理2.6和引理2.3。

(2)如果 M#存在,則

文獻[1]中引理2.6 設 A,B∈Kn×n,如果 A2=A,rank(A)=r,rank(B)=rank(BAB),那么下列結論成立：

文獻[1]中引理2.3 設 A∈Km×n,B∈Kn×m,rank(A)=rank(BA),rank(B)=rank(AB),那么(AB)#和(BA)#存在。

文獻[1]在定理3.1和引理2.6的證明中,通過用引理2.3證明了(AB)#和(BA)#的存在性。事實上,定理3.1和引理2.6中條件 A2=A,rank(A)=r,rank(B)=rank(BAB)不能推出引理2.3的條件 rank(A)=rank(BA),rank(B)=rank(AB),因此,用引理2.3證明(AB)#和(BA)#存在。

下面給出一個反例說明。

1 反例

首先,指出條件A2=A,rank(A)=r,rank(B)=rank(BAB)不能推出 rank(A)=rank(BA),和 rank(B)=rank(AB)。借助一個反例說明這個問題。

顯然

但

因此,不能利用文獻[1]中引理2.3證明(AB)#和(BA)#的存在性。

2 證明的改正

引理1[1]設 A∈Kn×n.如果 A2=A,rank(A)=r,那么存在一個可逆矩陣P∈Kn×n,使得

其中 Ir是r×r單位矩陣,Ir∈Kr×r.

引理2[1]設 A,B∈Kn×n.如果 A2=A,rank(A)=r,rank(B)=rank(BAB),那么存在一個可逆矩陣P∈Kn×n,使得

且 B#1存在,這里 B1∈Kr×r,X ∈Kr×(n-r),Y ∈K(n-r)×r.

引理 3[2]設那么 M#存在的充要條件是 A#存在,且若 M#存在,那么

引理 4[2]設那么 M#存在的充要條件是 A#存在,且如果 M#存在,那么

下面給出一個新的引理證明參考文獻[1]中定理3.1和引理2.6.

引理5 設 A,B∈Kn×n.如果 A2=A,rank(A)=r,rank(B)=rank(BAB),那么(AB)#與(BA)#存在.

證明：由 A2=A,rank(A)=r,rank(B)=rank(BAB),引理 1和引理 2,存在一個可逆矩陣P∈Kn×n,使得

那么由引理3知,(BA)#存在,由引理4知,(AB)#存在.

注：文獻[1]中定理3.1和引理2.6中條件A2=A,rank(A)=r rank(B)=rank(BAB)不能推出引理2.3的條件rank(A)=rank(BA),rank(B)=rank(AB),所以,不能用引理2.3證明(AB)#與(BA)#的存在性.因此利用引理5可以直接證明(AB)#和(BA)#的存在性.

3 關于2×2塊矩陣在除環上群逆表示的一個新的結果

(1)M#存在的充要條件是rank(B)=rank(BAB);

(2)如果 M#存在,那么

(1)M#存在的充要條件是rank(B)=rank(BAB);

(2)如果 M#存在,那么

證明：由引理6知,結論(1)容易證明.

由結論(1)和 rank(A)=rank(B)=r,有

由引理2,

由引理1,引理3,引理4和引理5,得

由引理6,那么

證畢.

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