基于GM(1，1)模型與灰色Verhulst模型的地鐵豎井沉降預測

高良博 ，唐詩華，賈偉，孫昌瑜

(1.桂林理工大學測繪與地理信息學院，廣西桂林 541004;2.廣西空間信息與測繪重點實驗室，廣西桂林 541004)

1 引言

隨著我國社會經濟的發展以及城市規模不斷增大，城市人口流量不斷增加，交通狀況急需改善。為了解決交通擁堵問題，興建地鐵成為有效解決途徑之一。地鐵多經過市中心或是人口稠密地區，然而地鐵等大型工程施工過程會引起地表以及周邊建筑物的變形，為了確保城市及工程建設的安全，就需要通過一定的方法來對變形監測數據進行分析和研究。本文利用GM(1，1)模型和灰色Verhulst模型分別對地鐵豎井沉降數據進行模擬和預測。灰色系統模型是以“小樣本”、“貧信息”不確定性系統為研究對象，主要通過對“部分”已知信息的生成、開發來提取有價值的信息，利用這些信息來進行有針對性的處理，從而得到相應的變形監測數據，為工程的安全施工提供有效保障。

2 灰色GM(1，1)模型原理

2.1 灰色GM(1，1)模型的建立

設原始非負數據序列:

其中，x0(k)≥0，k=1，2，…，n，n 為序列長度。對原始序列X(0)進行一次累加生成(1－AGO)，得到一個生成序列X(1):

對X(1)作緊鄰均值生成:令

建立一階微分方程為:

式中，a為灰色系統的發展系數，b為灰作用量，此式稱為GM(1，1)模型。

利用最小二乘法求解并帶入一階微分方程(4)的解可得時間響應函數為:

所對應的時間響應序列為:

2.2 灰色GM(1，1)模型的精度

模型精度即模型擬合程度，通常采用后驗差檢驗法，其是對殘差分布的統計特性進行檢驗，是由后驗差比值C和小誤差概率P組成。

設原始數列及相應的預測模型模擬序列分別為X(0)和，殘差序列為:

模型精度檢驗等級表 表1

3 灰色Verhulst模型

設X(0)為原始數據序列，X(1)為X(0)的1－AGO序列，Z(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列，則稱x(0)(k)+az(1)(k)=b［z(1)(k)］α為 GM(1，1)冪模型，式中當 α=2時，稱為灰色Verhulst模型。

建立灰色Verhulst模型的白化方程為:

利用最小二乘法求解并帶入白化方程解可得時間響應序列為:

灰色 Verhulst模型的精度檢驗方法與灰色GM(1，1)模型的精度檢驗方法相同。

4 工程應用實例

4.1 GM(1，1)模型和灰色Verhulst模型預測

本文主要對地鐵軌道交通11標段豎井沉降監測數據進行分析和研究。利用Matlab軟件完成GM(1，1)模型和灰色Verhulst模型的程序編寫，實現模型的模擬與預測功能。然后利用實際沉降監測中的數據進行模擬預測，選取變形監測原始數據中等時間間距的10組數據，分別用GM(1，1)模型和灰色Verhulst模型進行模擬和預測。其預測結果如表2所示。

原始變形監測數據與模擬預測數據比較 表2

經后驗差檢驗，GM(1，1)模型的后驗差比值C=0.43，小概率誤差P=1，精度等級為1;Verhulst模型的后驗差比值C=0.19，小概率誤差P=1，精度等級為1，均通過了模型精度檢驗。模型的擬合精度達到要求。GM(1，1)模型和Verhulst模型均可以應用于模擬和預測。

圖1 沉降值與預測值比較

圖2 GM(1，1)模型與灰色Verhulst模型的殘差值比較

通過觀察分析圖1和圖2得出以下結論:

(1)如圖1所示，同時采用GM(1，1)模型和Verhulst模型進行模擬預測，由前10組數據建立模型進行模擬，對后3個點進行預測。顯然，Verhulst模型的模擬和預測效果比GM(1，1)模型的效果好。

(2)GM(1，1)模型本質上屬于指數函數模型，隨著預測步長k的不斷增大，模擬預測曲線不斷單調上升，根據圖1所示，GM(1，1)模型的長期預測值與實測值有很大偏差，故該模型不宜用于此工程的變形沉降模擬預測;而Verhulst模型適用于具有飽和狀態的S形序列，針對地鐵豎井沉降監測很適用，該模型的模擬值和預測值都與實測數值相符合，總體偏差不大，擬合效果較好。

(3)如圖2所示，GM(1，1)模型的模擬預測殘差值較大，而Verhulst模型的模擬預測殘差值總體穩定，沒有較大的浮動，說明Verhulst模型的模擬預測效果好，更適用于地鐵豎井沉降預測。

5 結語

本文通過模擬與預測的實例可以看出，Verhulst模型能夠較好地預測沉降變化，其預測精度優于GM(1，1)模型，并且精度較高。這主要是由于灰色Verhulst模型的系統發展規律與變形沉降的發生過程具有內在的一致性，這符合Verhulst模型的建模規律。灰色Verhulst模型是在較少的沉降數據的基礎上，建立沉降預測模型，通過該工程實例充分說明灰色Verhulst模型的實用性、有效性和可靠性。該模型能夠預測沉降的發展趨勢，及時發現過大沉降差值，以便采取相應措施。

［1］鄧聚龍.灰色預測和決策［M］.武漢:華中理工大學出版社，1986.

［2］朱建軍，賀躍光，曾卓喬.變形測量的理論和方法［M］.長沙:中南大學出版社，2004.

［3］陳偉清.灰色預測在建筑物沉降變形分析中的應用［J］.測繪科學，2005(5):43～45.

［4］肖文，范志平，蔡仁瀾等.灰色系統GM(1，1)模型在建筑物變形監測中的應用［J］.地理空間信息，2010(2):148～150.

［5］郭宗陽.灰色模型GM(1，1)在變形監測中的應用［J］.礦山測量，2009(2):66～68.

［6］李宏建.隧道變形預測的灰色Verhulst模型［J］.石家莊鐵道學院學報，2000(4):28～30.

［7］高衛東，張海榮，馮啟言等.地面沉降的灰色Verhulst模型及其應用研究［J］.四川測繪，2007(5):195～197.

［8］張志涌.精通MATLAB 6.5［M］.北京:北京航空航天大學出版社，2008.