幾種高程異常曲面擬合方法的應用比較

韋獻強

(柳州市勘察測繪研究院，廣西柳州 545006)

1 引言

GPS測量技術的出現改變了以往傳統控制測量模式，通過GPS相對定位可同時獲得高精度平面坐標與大地高，但在實際應用中GPS提供的是WGS－84大地坐標系的大地高程H84，而我國高程系統采用的是相對于似大地水準面的正常高系統Hr，因此需要把GPS提供的大地高H84轉化為正常高Hr，公式如下式:

ζ為似大地水準面至橢球面間的高差，稱為高程異常。

在工程測量中，通常采用GPS水準方法獲取正常高Hr，因此高精度高程異常ζ的估計尤為重要，目前研究人員采用了多種方法對高程異常進行估計，常用方法包括:神經網絡方法、曲面擬合方法、插值算法、考慮大地重力場的高程異常估計算法等，本文只介紹多項式曲面擬合數學模型的普通曲面擬合法及移動曲面擬合法。

2 曲面擬合數學模型

曲面擬合是將高程異常看做是一定范圍內坐標的曲面函數，認為高程異常在此范圍內變化是連續平緩的，因此采用數值擬合法擬合出測區似大地水準面，再內插出待求點的ζ，從而求出待求點的正常高。

采用的數學模型為:

經常采用的是四參數擬合:

五參數擬合:

六參數擬合:

2.1 曲面擬合法

當有多個已知數據點時，對于每個已知數據點寫成誤差方程(對于式(2))如下:

在∑vv=min的條件下，解出各a0～a3再按式(2)求出待求點的ζ，從而求出Hr。

2.2 移動曲面擬合法

移動曲面擬合法是一種局部逼近的方法，其模型與曲面擬合模型基本相同。其基本思想是以每一個內插點為中心，利用內插點周圍數據點高程異常值，應用最小二乘原理建立一個擬合曲面，而這個曲面在內插點上的值就是所求的內插值，即內插點高程異常值。

設P為內插點，現以(2)式四參數曲面方程為例對P點建立相應的曲面。為計算曲面(2)式的系數，需要選取P點周圍的數據點。選取的方法通常是以內插點P為中心，R為半徑(R一般取數據點平均間距的2倍)，凡是落在圓內的點即被選用，所選取點的個數大于等于曲面方程系數的個數。當點數不夠時，則擴大R的值。在計算時，將所有選取數據點改化到以P為原點的局部坐標系中，現設P點的坐標為(xp，yp)，選取數據點坐標(xi，yi)則有:

對于n個選取點數據建立下列誤差方程:

另外，根據數據點對內插點的影響程度引入了權，即內插點距數據點越近影響越大，權重也越大，反之，距離越遠影響越小，權重越小。權的形式有多種，本文僅討論形式，其中di為選取數據點i到p點的距離。

令:

應用最小二乘原理:VTPV=min

可得:X=(ATPA)－1ATPL

對于P內插點有:

帶入式(6)，得內插點高程異常ζi=a0

3 實例應用分析

柳州市某測區面積約25 km2，布設一級GPS控制點104個，其中62個點進行了四等水準測量。本文在62點中選取了4種不同的點數和點位分布情況，分別按曲面擬合法(四、五、六參數)、移動曲面擬合法(四、五、六參數)進行擬合計算，并按為檢核點擬合高程與水準高程差值，n為外部檢核點數)計算擬合外符合精度。圖1為不同方案擬合點分布圖。

圖1 4種選取參與擬合點的方案分布圖

方案1在測區周圍選取分布均勻的5個數據點參與擬合，其余57個作外部檢核;

方案2在方案1的基礎上在測區中部增加1個數據點參與擬合，其余56個作外部檢核;

方案3在方案2的基礎上在測區內部增加4個點共10數據點參與擬合，這10個點分布并不均勻，其余52個點作外部檢核;

方案4在測區周圍及內部選取分布均勻的18個數據點參與擬合，其余44個作外部檢核;

本文利用VB編程進行擬合計算，計算結果如表1～表4所示。

方案1擬合，外部檢核點精度分布情況(個數)表1

方案2擬合，外部檢核點精度分布情況(個數)表2

方案3擬合，外部檢核點精度分布情況(個數)表3

方案4擬合，外部檢核點精度分布情況(個數)表4

從4個方案擬合結果看，參數個數不同，擬合方法不同，其擬合的結果不同，就方案1而言，四參數曲面擬合結果最優。方案2與方案1比較:方案2在方案1的基礎上僅在測區中部增加1個擬合點，除方案1中最優擬合方法(四參數曲面擬合)的結果無明顯變化外，其余擬合方法的擬合精度都有大幅度提高，其中四參數移動曲面擬合法擬合結果稍好。方案3與方案2比較:方案3是在方案2的基礎上增加4個點，除曲面擬合法結果無明顯變化外，其余(移動曲面)擬合法擬合的精度都有不同程度的降低，經分析，較差較大的點均位于加密擬合點的外側，即加密擬合點及較差較大的點分別位于方案2選取擬合點的內外兩側，這說明外側擬合點精度的大幅度降低是因加密擬合點引起的，這也說明移動曲面擬合法對高程異常的變化較為敏感。方案4與方案2比較:方案4選取的擬合點點數是方案2選取的點數的3倍，方案4擬合點間距1.6 km，而方案2擬合點間距2.9 km，但從擬合結果看，各種擬合方法的精度相對方案2而言都沒有明顯提高，從外符合精度看各擬合方法結果基本相同。從表1～表4看，四參數曲面擬合方法無論是以上何種布點方案擬合結果都沒有明顯變化;從擬合精度較好的表2與表4看，在相同的布點方案條件下，四參數移動曲面擬合法精度稍好。

4 結論

通過對幾種高程異常曲面擬合方法的計算和分析，得以下結論:

(1)采用高程曲面擬合時，GPS水準點(選取參與擬合點)應均勻分布在測區的周圍和中部，以提高擬合成果精度和可靠度。例如方案1中，測區中部沒有GPS水準點，僅四參數曲面擬合精度較好，其余擬合方法最大誤差均超過10 cm，擬合效果較差。

(2)采用高程曲面擬合時，應根據測區地形起伏情況，選取擬合模型，對于本測區地勢較為平坦，選取四參數曲面擬合無論是以上何種布點方案均取得較好效果。

(3)采用移動曲面擬合時，因移動曲面擬合法對高程異常的變化較為敏感應盡量避免外推擬合，以免引起較大誤差，例如方案3中，移動曲面擬合法外推點精度較低。

(4)對于同一種擬合法，并非選取參與擬合點數越多，精度越高，就本測區而言，以上4個方案中，方案3、方案4布點均比方案2多，但精度并沒有明顯提高。

(5)對于面積較小地形地勢較為平坦測區，無論采用曲面擬合法還是移動曲面擬合法，擬合效果相差不大。

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