雙星定位系統定位精度的Cramer-Rao下界分析?

嚴航，姚山峰

雙星定位系統定位精度的Cramer-Rao下界分析?

嚴航，姚山峰

（盲信號處理國防科技重點實驗室，成都610041）

介紹了雙星時頻差定位原理，在此基礎上研究了在地球表面約束條件下的雙星定位系統的定位精度理論下界。利用推導的定位精度Cramer-Rao下界，仿真分析了定位參數估計精度、衛星星歷、目標輻射源位置以及輻射源載波頻率等因素對定位精度的影響，并給出了物理解釋。定位仿真試驗結果表明，定位精度變化趨勢與Cramer-Rao下界一致，證明了理論推導的正確性。

雙星定位；時頻差；參數測量誤差；定位誤差；Cramer-Rao下界

1 引言

隨著衛星通信的迅速發展，地面輻射源對衛星的有意或無意干擾日益增加，影響了通信衛星的正常運行。對干擾進行處理，必須首先確定干擾發射機的位置。美、英、法等國都對衛星干擾源定位問題展開了研究，并取得了相應成果［1-3］，成功地研制出衛星干擾源定位系統，如TLS2000系統、SatlD系統以及HyperLoc系統。衛星受干擾事件暴露了衛星安全方面存在的隱患，衛星干擾源定位問題已成為當前衛星通信系統抗干擾的一項新的重要內容，國內對該問題的研究正在興起。同時，衛星上行信號輻射源定位在軍事上也具有重要的意義［4-5］。

按照定位原理的不同，對地面輻射源的定位可以分為兩大類：第一類采用空中／空間平臺作為定位設備載體。對于高軌或者同步衛星，通常采用星載的陣列天線，利用方向圖變化特性進行定位。對于低軌衛星或者飛機等快速移動平臺，通常采用接收頻率的多普勒效應，形成測量軌跡。第二類主要利用地面平臺進行處理，衛星只是進行簡單的信號轉發。對于合作用戶的定位，可以通過偽碼測距與測時差結合的方法，獲得幾十米的定位精度，如GPS定位系統和我國自行研制的“北斗”導航定位系統。對于非法用戶和干擾輻射源，則通常利用雙星體制形成的到達時間差和多普勒頻率差進行定位。

在雙星定位方面，國外起步較早，先后開展了利用連續波信號和調制信號的到達信號多普勒頻差（Differential Frequency Offset，DFO）和到達時間差（Differential Time Offset，DTO）定位技術研究，D.P.Haworth等分析設計了系統模型與框架，最終采用了時差／頻差組合定位體制，并通過引入參考信號提高定位精度［2］。K.C.Ho和Y.T.Chan等人長期以來從事輻射源時差、時差／頻差定位的原理研究，推導了一種迭代算法和方程的線性化方法，使得在一些定位問題中，能避免發散和計算量大的弊端［3］。本文主要對雙星時頻差定位體制的衛星上行信號輻射源定位系統進行研究，分析定位參數測量誤差與定位誤差之間的傳遞關系，推導分析出定位精度的Cramer-Rao下界（Cramer-Rao Lower Bound，CRLB）。

2 定位原理

圖1給出了雙星定位的原理示意圖。雙星定位系統實現對地面衛星上行輻射源定位利用了兩顆在空間彼此靠近的同步衛星，其中目標輻射源通信利用的衛星稱之為主星，在主星鄰近位置用于輔助定位的衛星稱之為鄰近星。由于發射機的天線特性，波束主瓣對準主星，而波束副瓣則指向鄰近星。

圖1 雙星定位原理示意圖Fig.1 Dual-satellite geolocation principle

由于主星和鄰星處于不同的位置，因此地面站接收到的兩顆衛星的轉發信號有不同的時延，形成到達時間差DTO；同時，由于兩顆同步衛星的漂移存在一定的運動速度，衛星速度矢量在目標源與地面接收站之間的徑向方向上的投影不同，形成多普勒頻差DFO。設地面站接收的主星信號、鄰星信號分別為s1（t）、s2（t）。由于兩路信號為同源信號，因此利用互模糊函數

可以實現對時差參數τ（DTO）以及多普勒頻差參數fd（DFO）的無偏估計［6-7］。

利用時頻差定位參數估計值，根據圖1中的幾何關系可以建立定位方程：

式中，r、rm1、rm2是目標輻射源和主星、鄰星接收站在地心坐標系中的位置矢量，rs1、rs2是主星、鄰星在地心坐標系中的位置矢量，c是光速，fu是目標信號源的信號頻率，Dto、Dfo是目標輻射源對兩顆衛星的時間差和頻率差，vs1、vs2是主星和鄰星的速度矢量，ui是從目標輻射源到衛星位置矢量rsi的單位矢量，u1（rm1）和u2（rm2）是接收站位置矢量rm1、rm2分別到衛星位置矢量rs1、rs2的單位矢量。

在式（2）和式（3）中，從衛星到地面接收站的距離差和頻率差可以根據星歷計算，因此可以只使用上行鏈路的斜距差（DSR）和斜距差的變化率（DSRR）來表示［1-2，8］。式（2）和式（3）可簡化為

對于確定的衛星星歷，由某一個Dto，uplink值確定的軌跡是一個雙曲面，與地球面可相交出一條曲線，稱之為時差位置線（DTO-LOP）；與Dto，uplink類似，Dfo，uplink測量的結果也可以在地球上畫出一條位置線，稱之為頻差位置線（DFO-LOP），由兩條位置線（Line of Position，LOP）的交點可以確定目標輻射源的位置，如圖2所示。

圖2 時差及頻差位置曲線示意圖Fig.2 Intersection of LOPs

3 定位精度的CRLB分析

任意無偏估計量的估計誤差方差即均方誤差（MSE）都不能低于某個下界，這就是Cramer-Rao下界（CRLB）。它是根據信息論準則確定的，與估計方法沒有關系。對于一般高斯情況下的CRLB以及矢量變換的CRLB有以下結論。

引理1一般高斯情況下的CRLB［9］

假設x～N（μ（θ），C（θ）），則關于θ的Fisher信息矩陣

引理1推論當C（θ）與估計參數矢量θ無關時，則關于θ的Fisher信息矩陣可以簡化為

引理2矢量參數變換的CRLB［9］

設估計矢量α=g（θ），則α的無偏估計值＾α的協方差矩陣滿足

為了公式推導方便，本文首先對一些物理量進行定義和描述。設定位參數矢量為θ，其表達形式如下：

式中，Dto是時差的無偏估計，服從均值為D0to、方差為σ2Dto的高斯分布；Dfo是頻差的無偏估計，服從均值為D0fo，方差為σ2Dfo的高斯分布。兩者相互獨立，則θ～N（θ0，Q）。其中

設p（θ；r）是以目標位置矢量（估計矢量）r= [xyz]T為條件的似然函數，其表達式如下：

由于目標輻射源在地球表面，因此本問題實質為約束條件下的Cramer-Rao下界的推導分析。定義矢量r1=[xy]T，r=[xyz]T= [r1z（r1）]T，由地球表面方程rTr=R2可以得到z（r1），并且滿足下列關系：

將z（r1）代入式（12）可以得到以r1為條件的似然函數，其表達式如下：

由引理1推論，利用式（14），可以計算得到關于估計矢量r1的Fisher信息矩陣

其中：

將式（16）、（17）以及（18）代入式（15）中，可以得到J（r1）的表達式：國外學者給出的定位誤差分析，通過近似處理的方法忽略了徑向誤差，具有一定的合理性，但從理論角度分析不夠嚴謹與全面。

由于r=g（r1）=[r1Tz（r1）]T，則根據引理2可以得到r關于r1的雅克比矩陣，其表達式如下：

由引理2結論，可以推出r估計值＾r的協方差矩陣滿足

式中，矩陣C表達式如下：

圖3 定位精度隨星歷變化的趨勢Fig.3 Relationship between location error and ephemerides

式中，Juc（r）為非約束條件下的Fisher信息矩陣，其表達式如下：

由引理2及矩陣C可以得到估計量＾r在直角坐標系3個方向上估計量的CRLB，其分別為矩陣C的3個對角元素。估計量＾r的最小均方誤差為MSE（＾r）min=tr（C）。通過坐標變換矩陣以及矢量參數變換的CRLB定理，可以得到目標輻射源在徑向、東西方向以及南北方向的定位精度CRLB。

4 仿真實驗與分析

在理論推導的基礎上，利用某兩顆衛星的真實星歷（24 h星歷，兩個星歷之間的時間間隔為1 min），仿真分析衛星星歷變化、定位參數估計精度變化以及目標輻射源位置變化對定位精度的影響。

在輻射源位置不變，時差估計精度為5μs，頻差估計精度為10 mHz條件下，圖3給出了隨星歷改變（定位時刻改變），在目標輻射源所處地理位置的東西方向、南北方向以及徑向方向上的定位精度CRLB的變化趨勢仿真分析圖。仿真結果表明，不同的星歷參數下，定位精度的CRLB變化明顯，并存在最大峰，我們稱之為定位盲時，并且定位誤差主要來源于東西與南北方向的誤差，徑向定位誤差相對很小。

圖4和圖5是在星歷參數確定（某一定位時刻）條件下，給出定位參數估計精度對定位精度CRLB在東西及南北方向分量的影響。圖4中時差估計精度為5μs，頻差估計精度在5～200 mHz范圍變化?？梢詮膱D中分析出頻差估計精度對南北方向的定位精度的影響大于東西方向。圖5中頻差估計精度50 mHz，時差估計精度在1～50μs范圍變化，同樣可以分析出時差估計精度對東西方向的定位精度的影響大于南北方向。這是因為頻差曲線基本是東西走向（參照圖2），因此隨著頻差估計精度的改變，頻差位置曲線會在真實頻差位置曲線作南北方向近似平移，即在時差估計精度確定的情況下（即時差位置曲線固定）頻差估計精度對南北方向的定位精度影響較大；時差位置曲線與之相反，因此時差估計精度對東西方向的定位精度影響較大。

圖4 頻差估計精度對定位精度的影響Fig.4 Relationship between DFO estimation accuracy and location accuracy

圖5 時差估計精度對定位精度的影響Fig.5 Relationship between DFO estimation accuracy and location accuracy

在衛星星歷以及定位參數估計精度確定的條件下，圖6給出對不同位置的輻射源進行定位的定位精度CRLB。從圖6可以分析出，輻射源所處地理位置對定位精度的影響很大，其本質是GDOP的改變造成對定位精度的影響。有關GDOP的計算可以從CRLB的推導公式中得到。通過對公式進一步分析可以得知，在時差、頻差梯度較大以及時差曲線與頻差曲線較大的區域定位精度較高。圖7給出了定位誤差達到1 000 km以上條件下，目標輻射源所處的地理位置，這些區域我們稱之為定位盲區。

圖6 不同定位精度的輻射源位置分布圖Fig.6 GDOP of an area on the earth′s surface

圖7 定位盲區仿真示意圖Fig.7 Blind area for location system

圖8 給出了載波頻率在某頻率為中心、10 GHz范圍內變化時，定位精度的變化情況。

圖8 載波頻率對定位精度的影響Fig.8 Relationship between frequency and location accuracy

由于頻差與載波頻率息息相關，頻差的梯度隨著載波頻率增大而增大，同時根據圖4分析的結果得知，頻差精度對南北方向的影響較大，因此可以得出隨著載波頻率的增大定位精度將提高，尤其是南北方向的定位精度較東西方向將明顯提高，這與圖8所反映的信息一致。

5 結論

本文在介紹雙星定位原理的基礎上，詳細推導了在地球表面方程約束條件下的雙星定位系統定位精度的CRLB公式。仿真結果表明，定位精度受定位參數估計精度、衛星星歷、載波頻率以及輻射源位置等因素影響，文中就各因素對定位精度的影響給出了物理解釋。本文對定位精度的CRLB分析，可為定位系統指標設計與系統性能評估提供理論基礎。同時，本文對定位盲時段與定位盲區域的展開分析，為定位系統選擇最佳定位時間與最佳衛星組合提供了依據。

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YAN Hang was born in Yancheng，Jiangsu Province，in 1980. He received the M.S.degree from Southwest Electronics and Telecommunication Technology Research Institute in 2006.He is now an engineer and currently working toward the Ph.D.degree. His research concerns signal processing and passive location.

Email：yanhang-57＠sina.com

姚山峰（1986—），男，四川安岳人，2011年于西南電子電信技術研究所獲碩士學位，主要研究方向為信號檢測、無源定位。

YAO Shan-feng was born in Anyue，Sichuan Province，in 1986.He received the M.S.degree from Southwest Electronics and Telecommunication Technology Research Institute in 2011.His research concerns signal detection and passive location.

Email：yao2004jessica＠163.com

勘誤

本刊2012年第4期第568頁“Fig.2 Diagram of partitioning data parellet”應為“Fig.2 Diagram of partitioning parallel data”，第477頁作者英文簡介末尾應添加“.”，第479頁左欄第3行中上標［115］、第481頁表1下第一行中上標［13］應去掉，特此更正。

本刊編輯部

Cramer-Rao Lower Bounds for Position Estimation in Dual-satellite Geolocation System

YAN Hang，YAO Shan-feng
（National Defense Key Lab on Blind Signal Processing，Chengdu 610041，China）

The principle of transmitter location using TDOA（Time Difference of Arrival）and FDOA（Frequency Difference of Arrival）of two satellites is introduced in this paper.Then，the Cramer-Rao Lower Bound

（CRLB）for the location accuracy is studied.In the CRLB，the factors such as the estimation accuracy of positioning parameters，the ephemeris，the position of transmitter and the carrier frequency are analysed.The physical explanations are also given.Simulations show the consistance between location accuracy change trend and CRLB and also confirm the correctness of theoretical analysis.

dual-satellite geolocation；TDOA／FDOA；parameter measurement error；location error；Cramer-Rao lower bounds

Pre-research Project during the 12th Five-year Plan（No.40901050301，513210901）；The National Defense Science and Technology Pre-research Project（9140A22020212JB5101）

TN971

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2012.05.006

嚴航（1980—），男，江蘇鹽城人，2006年于西南電子電信技術研究所獲碩士學位，現為工程師、博士研究生，主要研究方向為統計信號處理與目標無源定位；

1001-893X（2012）05-0634-06

2012-02-28；

2012-03-15

“十二五”預研項目（40901050301，513210901）；國防科技預研基金項目（9140A22020212JB5101）