基于時域有限差分法的微帶天線分析

高紅友，于少鵬，姜 宇

（1.船舶重工集團723所，揚州225001，2.天津大學(xué)仁愛學(xué)院，天津301636，3.哈爾濱工程大學(xué)，哈爾濱150001）

0 引 言

微帶天線是由導(dǎo)電介質(zhì)薄片粘貼在導(dǎo)體接地板背面介質(zhì)基片上形成的天線，具有重量輕、成本低、平面設(shè)計、可以與集成電路兼容等優(yōu)點，目前各式各樣的微帶天線被工程人員設(shè)計出來，獲得了廣泛的工程應(yīng)用［1］。為了正確設(shè)計或選擇微帶天線，需要得到天線的電參數(shù)，而根據(jù)設(shè)計指標對其進行電磁特性分析決定著設(shè)計出天線的精確度。隨著計算電磁學(xué)的發(fā)展，目前已經(jīng)提出矩量法（MoM）、有限元法（FEM）、邊界元法（BEM）以及時域有限差分方法（FDTD）等數(shù)值方法對電磁問題進行求解，快速準確地計算復(fù)雜微波元器件、天線輻射元及天線的數(shù)值解成為可能［2］。1966年美國學(xué)者Yee提出的FDTD由于理論成熟，倍受關(guān)注，也早已應(yīng)用到天線的分析和設(shè)計中［3－4］。本文對FDTD的計算過程進行了較詳細的推導(dǎo)，并將其應(yīng)用到微帶天線分析中。

1 FDTD基本方程

1.1 Maxwell方程

微帶天線的電磁特性分析過程本質(zhì)上是結(jié)合實際電磁參數(shù)求解Maxwell方程的過程。Maxwell旋度方程為：

式（1）和式（2）2個旋度方程式是最基本的，也是研究電磁場問題的出發(fā)點。

將式（1）和式（2）電磁場矢量在直角坐標系中可寫成x，y，z分量，有：

式中：ε為介質(zhì)介電常數(shù)；σ為電導(dǎo)率；μ為磁導(dǎo)率；ρ為磁阻率。

這6個偏微分方程（式（3）～式（8））是研究FDTD的理論基礎(chǔ)。

1.2 FDTD基本單元

FDTD法通過微分差分的方法建立式（3）～（8）的差分方程，而建立差分方程的先決條件是構(gòu)建合理的連續(xù)變量離散化的網(wǎng)格單元體系，F(xiàn)DTD基本單元就是一個經(jīng)典的網(wǎng)格體系［5］，這為后續(xù)深入研究奠定了基礎(chǔ)，其直角坐標系的網(wǎng)格示意圖如圖1所示。

圖1 直角坐標系中的FDTD基本單元

從圖1可以看出E和H各分量在網(wǎng)格空間相互交叉，每個坐標平面上的E分量由4個H分量所環(huán)繞，同時每個H分量也由4個E分量所環(huán)繞，電磁相互交換。

1.3 FDTD差分方程

FDTD基本單元利用矩形網(wǎng)格進行空間離散，在一個FDTD網(wǎng)格單元中首先對每個節(jié)點編號處理，節(jié)點的編號和空間坐標位置點有下列關(guān)系：

則該點的函數(shù)式F（x，y，z，t）在時刻nΔt的值可寫為：

式中：Δx，Δy，Δz分別為x，y，z方向空間步長；Δt為時間步長。

采用差分式代替對時間和空間的微分，即：

按照式（11）和式（12）的形式，式（3）～式（8）可化為FDTD差分方程，以式（5）和式（8）為例得到差分式（13）和（14），其他公式的差分格式可類似寫出：

2 FDTD建模及結(jié)果分析

下面以微帶天線為例進行FDTD建模分析，微帶天線輻射單元尺寸為25.15mm×16.3mm，基板材料為聚四氟乙烯纖維板，其相對介電常數(shù)εr＝2.33，基板厚度為0.787mm，其結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 微帶天線結(jié)構(gòu)示意圖

利用Matlab軟件編寫FDTD程序完成計算，具體FDTD建模步驟如下：

（1）確定空間步長，采用等長空間步長設(shè)置，網(wǎng)格細化 Δx＝0.465mm、Δy＝0.359mm，Δz＝0.202mm，整個微帶天線空間為100Δx×60Δy×26Δz，將空間步長代入時間步長必須滿足Courant穩(wěn)定性條件的計算公式，得到Δt＝0.548 8ps；

（2）設(shè)置吸收邊界，這里設(shè)置10層，在FDTD計算空間截止邊界區(qū)域設(shè)置；

（3）設(shè)置激勵源，采用高斯脈沖形式，激勵源的激勵位置在（0，30，0）處。

得到時間步長為100，500，1 000，2 000時電場強度分布，如圖3所示。

圖3 不同時刻微帶天線的電場分布

由電場強度分布得到微帶天線輸入端反射波和入射波曲線，從圖4中可見由于吸收邊界不可能完全吸收，還存在一定的反射，產(chǎn)生誤差，隨著計算時間的增加，反射波逐漸衰減，影響計算精度有限，再經(jīng)過FFT變換得到反射系數(shù)S11變化曲線，如圖5所示。FDTD計算結(jié)果與電磁仿真軟件XFDTD比較，兩者數(shù)據(jù)比較吻合，滿足計算精度。

3 結(jié)束語

微帶天線是現(xiàn)代微波技術(shù)在天線領(lǐng)域的重要應(yīng)用，已廣泛應(yīng)用在電子、雷達、導(dǎo)航以及無線電設(shè)備上。為了正確設(shè)計微帶天線，需了解天線的電性能參數(shù)，用數(shù)值方法對微帶天線進行分析，精確度高，可以大大降低天線設(shè)計時間。

圖4 天線輸入端入射波和反射波

圖5 天線反射系數(shù)S11

本文介紹常用的時域有限差分方法分析微帶天線，導(dǎo)出FDTD的計算過程，總結(jié)出FDTD分析問題的一般步驟，最后，又用FDTD分析了一款微帶天線，得出不同時刻天線的電場分布和天線回波損耗S11，數(shù)值結(jié)果和仿真結(jié)果比較吻合，可以看出利用FDTD分析無疑利于設(shè)計微帶天線，這對FDTD分析電磁問題提供了一定的參考依據(jù)。

［1］鐘順時.微帶天線理論與應(yīng)用［M］.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，1991.

［2］劉波，高本慶.電磁場時域數(shù)值方法及其混合技術(shù)概述［J］.微波學(xué)報，2006，22（2）：1－6，25.

［3］葛德彪，閆玉波.電磁波時域有限差分方法［M］.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2005.

［4］姚廣鋒，王積勤，劉剛.采用PML的FDTD方法對矩形微帶天線的研究［J］.現(xiàn)代雷達，2003（11）：36－38.

［5］Yee K S.Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell equations in isotropic media［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1966，14（3）：302－307.