渦旋式膨脹機的非線性數(shù)學(xué)模型及動態(tài)仿真

侯國蓮，胡國強，畢珊珊，張建華

（華北電力大學(xué) 控制與計算機工程學(xué)院，北京102206）

膨脹機是有機朗肯循環(huán)系統(tǒng)（簡稱ORC 系統(tǒng)）中一個重要的部分，它利用從蒸發(fā)器出來的高溫高壓氣體工質(zhì)輸出機械能并且?guī)影l(fā)電機發(fā)電，實現(xiàn)了由機械能到電能的轉(zhuǎn)化，工作原理如圖1所示. 目前，用于ORC 系統(tǒng)的膨脹機主要分為兩類：一類是速度型膨脹機，它利用噴嘴和葉輪將高溫高壓工質(zhì)氣體轉(zhuǎn)化為高速流體，然后再將高速流體的動能轉(zhuǎn)化為旋轉(zhuǎn)機械能.速度型膨脹機功率越小，轉(zhuǎn)速越高，甚至可能達(dá)到每分鐘十幾萬轉(zhuǎn)，因而速度型膨脹機不可能做得很小［1］.當(dāng)前國內(nèi)外關(guān)于ORC系統(tǒng)的研究大都屬于小型或微型系統(tǒng)［2-4］，膨脹機不可能做得很大，因此速度型膨脹機只適用于小型或微型的有機朗肯循環(huán)系統(tǒng).另外一類是容積式膨脹機，通過改變體積來獲得膨脹比和焓降，適合于小流量、大膨脹比的場合，同時其輸出功率較小，轉(zhuǎn)速較低，并且輸出功率隨著轉(zhuǎn)速的增大而增大，適用于小型或微型的ORC系統(tǒng)［1］.

圖1 有機朗肯循環(huán)系統(tǒng)工作原理圖Fig.1 Working principle of an organic Rankine cycle system

渦旋式膨脹機是容積式膨脹機的一種，由于其造價低、轉(zhuǎn)速小和膨脹比大，在ORC 系統(tǒng)的研究中越來越受到人們的關(guān)注，關(guān)于渦旋式膨脹機的研究也越來越多.高小軍等［5］研究了用于回收PEM 燃料電池能量的渦旋式膨脹機的性能，并且進行了該膨脹機的數(shù)字仿真.Vincent等［6-7］用渦旋式膨脹機的半經(jīng)驗?zāi)Ｐ皖A(yù)測了膨脹機在ORC 系統(tǒng)中的性能.Sylvain等［8］從膨脹機熱力學(xué)性能的角度出發(fā)，根據(jù)膨脹機進氣腔、膨脹腔、排氣腔等組建的靜態(tài)數(shù)學(xué)關(guān)系，提出了用于ORC 系統(tǒng)的渦旋式膨脹機靜態(tài)數(shù)學(xué)模型，將根據(jù)模型計算得到的數(shù)據(jù)與膨脹機原型測得的數(shù)據(jù)進行對比，驗證了此模型的有效性.之前關(guān)于渦旋式膨脹機模型的絕大多數(shù)研究都是從研究渦旋式膨脹機的熱力學(xué)性能角度出發(fā)，基于模型參數(shù)間的變量靜態(tài)關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，模型過于復(fù)雜.針對渦旋式膨脹機的控制設(shè)計，筆者選取R123為工質(zhì)，從膨脹機系統(tǒng)的熱力學(xué)機理分析出發(fā)，將機前閥門開度sz作為輸入量，膨脹機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速N（或轉(zhuǎn)子角速度w）作為輸出量，利用數(shù)學(xué)建模的解析方法和步驟［9-10］，得出了渦旋式膨脹機的非線性微分方程，并進行了動態(tài)仿真.

1 渦旋式膨脹機的數(shù)學(xué)建模

渦旋式膨脹機的工作過程包括進氣、膨脹、排氣三個過程，這些過程可以分解為以下六部分［7］（1）suc-suc＿1：絕熱壓降；（2）suc＿1-suc＿2：等壓降溫；（3）suc＿2-adp：絕熱可逆；（4）adp-exh＿2：絕熱等容；（5）exh＿2-exh＿1：絕熱混合；（6）exh＿1-exh：等壓升溫，如圖2所示.

圖2 渦旋式膨脹機工作過程的分解示意圖Fig.2 Working process decomposition of a scroll expander

圖2中suc表示渦旋式膨脹機進氣口處；suc＿1表示膨脹機進氣管道與進氣腔連接處；suc＿2 表示膨脹機進氣結(jié)束時動靜渦盤所形成腔體內(nèi)選取的平均點；adp表示膨脹機膨脹過程結(jié)束而排氣還未開始時形成腔體內(nèi)選取的平均點；exh＿2表示膨脹機從排氣開始到排氣結(jié)束時排氣腔內(nèi)的平均點；exh＿1表示與排氣腔相連接的管道入口處；exh表示與排氣腔相連接的管道出口處；Qsuc表示吸氣過程所放出的熱量；Qexh表示排氣過程所吸收的熱量；M·表示進入膨脹機的工質(zhì)質(zhì)量流量，kg／s；M·in表示進入膨脹腔內(nèi)的工質(zhì)質(zhì)量流量，kg／s；M·leak表示工質(zhì)進入膨脹機內(nèi)泄漏的質(zhì)量流量，kg／s；Pin表示進入膨脹機膨脹腔內(nèi)的高壓工質(zhì)氣體對外做功所產(chǎn)生的功率，W；PL表示負(fù)載消耗功率，W；Ploss表示由于摩擦等造成的機械損失功率，W.

1.1 系統(tǒng)建模假設(shè)

在建模之前先進行如下假設(shè)［6］：

（1）將suc-suc＿1 過程等效為等熵流通過一個收縮噴嘴的過程，收縮噴嘴的出口截面積（A2）近似為一個常數(shù)；

（2）進入膨脹機的工質(zhì)的流速很小；

（3）氣體工質(zhì)為理想氣體；

（4）工質(zhì)氣體常數(shù)（Rg）及絕熱指數(shù)（κ）近似等于常數(shù)；

（5）進氣管道及進氣腔內(nèi)的工質(zhì)氣體均勻分布，即在進氣管道及進氣腔內(nèi)工質(zhì)氣體密度處處相等；并且認(rèn)為氣體流經(jīng)該進氣管道及進氣腔時，其狀態(tài)變化是按多變過程進行的.

1.2 渦旋式膨脹機變量靜態(tài)關(guān)系

渦旋式膨脹機的靜態(tài)關(guān)系是進氣管道、進氣腔、膨脹腔及排氣腔等特性的綜合，分析膨脹機動態(tài)特性是以靜態(tài)關(guān)系為基礎(chǔ)的.根據(jù)假設(shè)條件，得出以下主要靜態(tài)關(guān)系［11-12］.

根據(jù)假設(shè)有：

式中：A2為收縮噴嘴出口截面面積，m2；cf2為收縮噴嘴出口截面上的速度，m／s；v2為收縮噴嘴出口截面上氣體的比體積，m3／kg.

結(jié)合質(zhì)量守恒方程和能量守恒方程，進入膨脹腔內(nèi)的質(zhì)量流量可以用下式表示.

式中：Asuc為進氣口橫截面積；hsuc和h分別為等效噴嘴進口和出口截面的比焓；vsuc＿1為等效噴嘴出口截面的比體積.

式中：csuc和csuc＿1分別為噴嘴進口和出口截面上的氣流速度；h0為滯止時氣體的焓.

式中：κ為等熵指數(shù)；psuc和psuc＿1分別為等效噴嘴進口和出口處的壓力.

根據(jù)假設(shè)（2）可得

根據(jù)假設(shè)（3）可得

聯(lián)立式（1）～式（8）可得

在文獻［6］給定的工況下，按照式（9）計算進入膨脹腔內(nèi)的質(zhì)量流量為0.082 5kg／s，而實驗測得的數(shù)據(jù)約為0.086 8kg／s，兩者相差0.004 3kg／s，誤差為4.95%，滿足誤差要求.

由式（9）可知，進入膨脹腔內(nèi)工質(zhì)質(zhì)量流量的函數(shù)＝fM（psuc，Tsuc）可用拋物線函數(shù)或線性函數(shù)近似［13］，本文用psuc和Tsuc的線性函數(shù)組合近似：

1.3 非線性微分方程及求解

根據(jù)能量守恒和質(zhì)量守恒原理，建立渦旋式膨脹機系統(tǒng)的非線性微分方程.

（1）根據(jù)進氣管道及進氣腔輸入與輸出的總質(zhì)量守恒，推導(dǎo)容積方程，這一方程描述了閥門開度與進氣管道及進氣腔中工質(zhì)壓力的關(guān)系.圖3為進氣管道及進氣腔容積的示意圖.

圖3中為流過節(jié)流閥的工質(zhì)質(zhì)量流量，取決于閥門開度sz，即

為進入膨脹腔的工質(zhì)質(zhì)量流量，取決于進氣腔進氣管道入口處的壓力psuc和溫度Tsuc，而psuc和Tsuc取決于容積內(nèi)積存工質(zhì)的多少.

圖3 進氣管道及進氣腔容積的示意圖Fig.3 Pressure-volume diagram of the inlet pipe and inlet chamber

根據(jù)假設(shè)（4）和（5）有

式中：Vs，exp為膨脹機排氣體積，屬于膨脹機的結(jié)構(gòu)參數(shù)，為常數(shù).

將式（10）、式（11）和式（13）代入式（12）可得

因為ρsuc、psuc和Tsuc均是可變的，所以式（14）是一個非線性微分方程.

式中：Pin為工質(zhì)氣體進入膨脹機內(nèi)做功產(chǎn)生的功率.

式中：τp為壓力比，τp＝為膨脹機的等熵效率，是壓力比τp和轉(zhuǎn)速N的函數(shù)，由于工作中其值變化范圍不大，這里取常數(shù)［6］；PL表示負(fù)載消耗功率，是一個取決于外部因素的量；Pmech是由于摩擦等造成的機械損失功率，是一個與w有關(guān)的非線性函數(shù)，可近似認(rèn)為［6］

式中：Tloss為機械損失轉(zhuǎn)矩，可認(rèn)為是常數(shù).

將式（10）、式（16）和式（17）代入式（15）后得

由于w、psuc、Tsuc均是可變的，因此式（18）是一個非線性微分方程.利用小偏差線性化的方法將其轉(zhuǎn)化為一個近似線性方程.設(shè)ρ0、psuc，0、sz0均為額定工況下所對應(yīng)的參數(shù)，則每個變量都可以寫成額定值加變化量的形式，即

將式（19）代入式（14），得

故式（20）可簡化為

與ρsuc，0、psuc，0和Tsuc，0相比，Δρsuc、Δpsuc和ΔTsuc僅僅是個很小的變化量，所以通過小偏差線性化可將近似為這種近似結(jié)果影響甚微.實踐表明，這種簡化所帶來的誤差僅為1%～2%［14］.

同理，對式（18）進行小偏差線性化，將式中所有變量記為常量與小偏差的和，即

由Pin，0-PL，0-Pmech，0＝0

2 模型理論驗證及動態(tài)仿真

本文中渦旋式膨脹機的工作點為：轉(zhuǎn)速N0為2 296r／min，即ω＝240.436 6rad／s；膨脹機入口壓力psuc，0和入口溫度Tsuc，0分別為1.003 MPa和415K，膨脹機出口壓力pexp，0為0.201 MPa，工質(zhì)為R245fa.此工況條件下的計算結(jié)果如下：τp＝0.200 4，κ＝1.15，τκ＝0.130 4，ηexp＝66.25%，ρsuc＝52.206 9 kg／m3.此 時κ1＝0.234 5，κ2＝-0.000 104 75，κ3＝-0.104 9.

在閥門開度和負(fù)荷發(fā)生擾動時進行仿真實驗.

（1）當(dāng)給閥門開度sz一個幅值為1 的階躍變化、仿真時間取0.1s時，仿真曲線如圖4所示.

圖4 進氣管道入口壓力隨閥門開度擾動的動態(tài)響應(yīng)Fig.4 Dynamic response of inlet pressure with disturbance of valve opening

由圖4可知，當(dāng)閥門開度階躍變化時，膨脹機進氣管道入口壓力能夠在極短的時間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定，這是因為與汽輪機相比，渦旋式膨脹機本身的功率極小，而汽輪機的容積時間常數(shù)通常為0.1～0.3 s［14］，所以膨脹機的進氣管道及進氣腔的容積效應(yīng)對進氣的影響極小，其動態(tài)響應(yīng)時間極快，這與實際情況相符.

（2）當(dāng)給膨脹機內(nèi)部功率Pin一個幅值為0.01的階躍變化時，膨脹機角速度相對變化量的變化曲線如圖5所示.

圖5 膨脹機角速度隨內(nèi)部功率擾動的動態(tài)響應(yīng)Fig.5 Dynamic response of angular velocity with disturbance of internal power

由圖5可知，在時間為6s左右時，曲線達(dá)到了穩(wěn)定，說明隨著膨脹機內(nèi)部功率的變化，膨脹機的轉(zhuǎn)速能夠在很短的時間內(nèi)趨于一個穩(wěn)定值，這與實際中膨脹機小功率的特性相吻合.

（3）當(dāng)閥門開度不變，負(fù)荷階躍擾動為0.005、0.01和0.015時，動態(tài)響應(yīng)曲線分別如圖6（a）、圖6（b）和圖6（c）所示.

由圖6可知，在相同閥門開度下，當(dāng)負(fù)荷擾動逐漸增大時，膨脹機轉(zhuǎn)速變化量的穩(wěn)定值減小.

（4）當(dāng)負(fù)荷不變，閥門開度階躍擾動分別為0.02和0.03時，渦旋式膨脹機角速度相對變化量的響應(yīng)曲線如圖7（a）和圖7（b）所示.

圖6 負(fù)荷階躍擾動時渦旋式膨脹機角速度相對變化量的響應(yīng)曲線Fig.6 Dynamic response of angular velocity with load disturbance

圖7 閥門開度階躍擾動時渦旋式膨脹機角速度相對變化量的響應(yīng)曲線Fig.7 Dynamic response of angular velocity with disturbance of valve opening

由圖7可知，當(dāng)閥門開度增大時，膨脹機轉(zhuǎn)速的穩(wěn)定值也逐漸增大，這是因為閥門開度增大時，膨脹機進氣管道及進氣腔內(nèi)儲存的工質(zhì)質(zhì)量流量增大，從而使進入膨脹機膨脹腔內(nèi)做功的工質(zhì)流量增大，膨脹機發(fā)出的功率增大，在負(fù)荷一定的情況下帶動膨脹機轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速增加.

3 結(jié) 論

（1）兩組非線性微分方程的動態(tài)仿真結(jié)果與渦旋式膨脹機功率小、動態(tài)響應(yīng)快等特點相符.

（2）在相同閥門開度擾動時，在不同負(fù)荷擾動情況下，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的變化量與負(fù)荷變化的趨勢一致；在相同的負(fù)荷擾動下，隨著閥門開度增大，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速也相應(yīng)地增加.仿真結(jié)果表明所建立的模型從機理上正確地反映了渦旋式膨脹機的特點.

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