高超聲速飛行器剛體/彈性體耦合動力學建模

李惠峰 肖 進 張 冉

（北京航空航天大學 宇航學院，北京 100191）

高超聲速飛行器剛體/彈性體耦合動力學建模

李惠峰 肖 進 張 冉

（北京航空航天大學 宇航學院，北京 100191）

高超聲速飛行器廣泛采用升力體、乘波體等氣動布局和輕質復合材料、薄壁結構等，導致結構振動與剛體運動頻率非常接近，給飛行器制導控制系統設計帶來了巨大挑戰.針對該類飛行器的特點，考慮結構的橫向位移，將機身前后體簡化為于質心處固聯的2根懸臂梁，并從統一的能量觀點出發，基于拉格朗日方程與虛功原理，在縱向平面推導出適合高超聲速飛行器的剛體/彈性體耦合動力學模型.通過對比耦合模型與傳統剛體模型的極點分布情況，發現結構振動與剛體短周期模態緊密耦合，離心力的引入影響了高度與長周期模態，對高超聲速飛行器航跡運動的作用不可忽視.最后分析了飛行速度與結構阻尼變化對耦合模型動態性能的影響.結果證明飛行速度對剛體運動模態影響顯著，而結構阻尼的變化主要改變彈性模態.

高超聲速;耦合模型;結構振動;拉格朗日方程

隨著高超聲速飛行器的出現，為節省燃料廣泛采用輕質的復合材料，設計細長體、升力體等氣動布局，這些因素導致結構固有振動頻率的降低，于是必須考慮剛體和彈性體的慣性耦合現象［1］.特別是以吸氣式超燃沖壓發動機為動力的X-43和X-51，發動機對飛行條件以及氣動外形提出的要求非常苛刻，在高馬赫數下機體的彈性振動直接影響到激波角，進而改變了發動機的進氣情況.

以協和號超音速客機為例首次提出剛體與彈性振動的耦合建模［2］，但是耦合僅體現在定常與非定常氣動力的相互影響.在此基礎上，文獻［3］推導出剛體/彈性體的動力學耦合一般模型，稱為強耦合真實模型（TMH，Truth Model with Heave coupling）.但TMH中未考慮高馬赫數下地球離心力對飛行器運動的影響，且未將推力加入到機體軸向的非保守力系，不能真實地體現高超聲速飛行器的特點.文獻［4］將TMH中相對較弱的耦合項去掉，得到基于控制的簡化模型（TM，Truth Model）.文獻［5］將尖頭體高超聲速飛行器機體前緣的結構振動速度與攻角狀態線性疊加，主要是為了驗證結構振動對發動機進氣的影響，但其忽略了對其他飛行狀態量的影響以及剛體運動對結構振動的反作用.為了更真實地體現飛行器結構振動模態，文獻［6］將機身簡化為一根自由-自由梁，取前三階固有振型，結果顯示慣性耦合項系數為零，無法體現出結構與剛體運動的強耦合現象.綜上所述，國外已進行過耦合建模的相關研究，但研究對象及內容各有不同.由于我國在高超聲速飛行器的理論研究和實際應用方面相對落后，本文研究目的是在充分借鑒國外公開發表的文獻資料基礎上，結合吸氣式高超聲速飛行器的特點，推導出較真實的動力學耦合模型，以便為未來針對該類型飛行器的先進制導和控制系統理論研究和仿真驗證以及進行結構/制導控制一體化設計打下良好基礎.

本文首先建立機體的結構振動模型，將機體簡化為2根于質心處固連的懸臂梁，分別求出前四階的固有振型和自然振動頻率;然后建立剛體/彈性體的耦合矢量模型，結合吸氣式高超聲速飛行器的特點，基于拉格朗日方程推導出耦合動力學模型;最后通過將耦合非線性模型線性化，求取平衡點，并在此基礎上分析極點分布情況，總結了結構振動與剛體運動的耦合原因以及離心力、飛行速度與結構阻尼對耦合模型動態性能的影響.

1 機身振動簡化模型

在飛行器設計的初級分析階段，為了減少仿真計算量的同時又不失真實性，通常將全機振動模型簡化為彈性梁.本文以類X-43A飛行器為研究對象，由于此飛行器長度遠大于厚度，機身近似細長體，并考慮到推進系統對前體激波的形成與后體外膨脹段的外形要求，機體設計成中間粗、兩端細，容積和大部分質量集中于質心周圍.因此，將機身前體和后體分別簡化為懸臂梁，于質心處固連，是較合理的假設，并且能體現出剛體與彈性體之間的強耦合［5］.

結構的變形分為橫向、軸向位移與扭轉變形，為簡化起見，本文只研究變形最明顯的橫向位移.

基于以上假設，振動位移w（x，t）與機體軸向坐標和時間有關，由梁的彎曲理論，無阻尼自然振動方程如下:

以前體懸臂梁為例，通過分離變量法，并結合邊界條件可求出結構固有振型φ與自然振動頻率ω的解析解:

其中，i為振型的階數.

圖1是機體前懸臂梁的前四階振型，此振型值體現在下文中建立的剛體/彈性體慣性耦合項系數中.

對應的自然振動頻率分別為

通常，固有頻率越低，與剛體運動頻率越接近，故耦合越嚴重，本文對于前后體懸臂梁均取第1階振型與固有振動頻率.

圖1 機身前端簡化懸臂梁前四階振型

2 剛體/彈性體矢量模型建立

剛體/彈性體耦合建模的重點在于矢量模型的建立.不同于以往剛體假設的是，真實彈性體飛行器上各點與質心的距離不是一成不變的，而是在其附近存在著微幅振動.本文假設只存在結構的橫向位移，而忽略影響較小的軸向位移.矢量模型如圖2所示.

假設rO為從慣性系原點On指向機體系原點（質心）O的矢量，如圖2，向量之間存在關系:

其中，O為飛行器質心;P為剛體飛行器縱向平面上任一點.現假設該飛行器伴隨有結構彈性振動位移:

其中，ηz，i為第 i階結構橫向位移變量.

ρ=xxb+zzb表示剛體模型上P點相對于O點的位移矢量，所以有rP/O=d+ρ.于是，式（4）可變成 rP=rO+d+ρ.

圖2 結構振動/剛體運動耦合矢量模型

P點的速度矢量:

在縱向平面內，慣性系與機體系存在如下轉換關系:

其中，θ為俯仰角.

將慣性系下的質心矢量投影到機體系下得

于是，有

得到機體系下質心的速度矢量為

其中，U，W分別為飛行速度沿機體軸 xb，zb的分量.

3 剛體/彈性體耦合動力學模型

結合以上的矢量定義，將整個飛行器視為多質點系，只考慮縱向平面的位移，并利用振型的正交性可求出總動能如下:

其中，Iyy為慣性矩;λz，i，ψxz，i為慣性耦合項系數.

總勢能為重力勢能與彈性勢能之和，即

其中，m 為飛行器質量;ωz，i為結構第 i階自然振動頻率.

根據虛功原理:

式中，下標f，a分別代表飛行器前體與后體;T為發動機推力;－2ζωη·為結構振動的阻尼力，ζ為結構振動阻尼;N為引起結構振動的載荷力;Fx，Fz分別為機體系下沿機體軸向和法向的合力;MA為俯仰力矩.通過機體系與氣流系的坐標轉換，可得到升力（L）和阻力（D）的表達式:

結合拉格朗日函數和虛功表達式進行拉格朗日方程求解，可推導出高超聲速飛行器剛體/彈性體耦合的動力學方程組:

式中，慣性耦合項系數求解如下:

以上是機體系下的動力學方程，通常所需的狀態量攻角（α）和速度（V）由下式表示:

通常情況下，低速飛行器的重力加速度求解只與高度有關，但對于高超聲速飛行器，還必須考慮離心力對其的影響，所以經簡化的重力加速度求解公式為

其中，G為萬有引力常數;M為地球質量;r為從地心到飛行器質心的距離.

由于本文只在縱向平面建模，即假定橫側向狀態量均為0，使得與之相關的哥氏力在縱向平面的投影亦為0.并且，在高馬赫數下哥氏力相對于離心力為小量，因此，建模中只考慮離心力對耦合模型的作用.

4 模型分析

基于以上耦合模型，參考文獻［4］中的氣動力模型及相關結構、外形參數如下:

使用MATLAB中trim函數在固定高度與速度下求取平衡工作點，見表1.其中2個控制輸入:發動機節流閥值β和俯仰舵偏角δe.

由表1數據可看出，攻角越大，發動機節流閥值越小，即省燃料;而結構振動幅值卻與之成正比，當進行攻角優化時需折中考慮.

4.1 耦合模態分析

本文在高度為25 908 m，馬赫數為8平衡點下將耦合模型線性化并求解其特征根，同時，為了體現出其特點，求出了相同條件下純剛體運動模型的極點分布，以便對比.表2為耦合模型與剛體模型的極點分布情況.

表1 不同高度與速度下的平衡點

表2 極點分布對比

通過分析表2的數據，可得出以下結論:

1）與經典剛體模型不同，耦合模型由于加入了2個彈性振動方程，總共出現9個特征根，可分為高度模態、長周期模態、短周期模態和一對穩定的氣動彈性模態.各運動參數隨時間的變化是上述4種模態的疊加.

2）與剛體模型的極點分布情況相比，二者的高度模態和長周期模態非常接近，說明巡航飛行中結構振動對高度、速度和航跡傾角的影響很小.但由于引入了結構振動，剛體運動的2個短周期實根變成了2對共軛復根，說明由于結構的振動導致了攻角和俯仰角速度的震蕩現象，同時結構的振動模態與短周期模態產生了耦合.由此可知，該耦合模型主要改變了剛體運動的短周期模態，同時，攻角等短周期狀態量的改變也嚴重影響了結構的振動特性.

由圖3所示，在相同平衡點處將耦合模型線性化，求出極點分布，并與完全去除慣性耦合項的模型極點分布對比.容易看出，除了代表高度模態和長周期模態的中間3點基本重合，其余極點位置相距較遠，形象地表示出剛體/彈性體耦合運動模型中各模態的強耦合現象.

圖3 耦合/解耦模型極點分布對比

4.2 離心力對模態的影響

表3分別給出了耦合模型中有無離心力的極點分布情況.

表3 離心力對極點分布的影響

從表3中數據能看出，離心力對高度模態的影響最大，達到97.8%，直觀上說是減緩了高度狀態量的發散速度，其次是長周期模態3.3%，而對短周期模態和氣動彈性模態的影響可以忽略.由此得知，雖然離心力對姿態狀態量與結構振動的影響非常小，在控制器設計時可以不予考慮，但是對于高超聲速剛體/彈性體耦合模型的制導控制一體化設計時不能簡單省略.

4.3 參數變化對模態的影響

由圖4可見，在同一高度下，飛行馬赫數從8變化到10的過程中，短周期的2對共軛復根逐漸向虛軸靠攏，說明姿態角狀態量的衰減速率隨著馬赫數的增大而減小，且趨于臨界穩定;當速度繼續增大，其振蕩頻率隨之升高.從以上推導的耦合動力學方程中也能看出，馬赫數的變化對飛行姿態和彈性振動的影響非常明顯.

圖4 速度變化對模態的影響

圖5 結構阻尼對模態的影響

如圖5所示，當結構阻尼從0.1～0.7變化時氣動彈性模態的衰減速度加快、振動頻率明顯降低，而對其它模態的影響相對較小.

5 結論

本文基于拉格朗日方程與虛功原理推導了高超聲速飛行器的剛體/彈性體耦合動力學模型，分析得到如下結論:

1）結構振動與剛體短周期模態的相互影響非常明顯，對該類型飛行器控制系統設計時需要著重考慮;

2）離心力的引入主要改變了高度和長周期模態，使得高度模態的發散速度減慢;

3）隨著飛行速度的增加，各極點值向零靠攏，整個系統趨于臨界穩定，結構阻尼的變化主要影響彈性模態.該模型能真實地反映高速飛行器的運動特性，體現出了強耦合、強非線性的特點.

需要說明的是，本文主要考慮減少計算量的同時方便分析該模型，因此，結構載荷力中未引入因結構振動產生的非定常氣動力，但在實際工程應用中高馬赫數下的非定常氣動力不可忽視，這部分工作可在以后開展.

（References）

［1］楊超，許赟，謝長川.高超聲速飛行器氣動彈性力學研究綜述［J］.航空學報，2010，31（1）:1－11

Yang Chao，Xu Yun，Xie Changchuan.Review of studies on aeroelasticity of hypersonic vehicles［J］.ACTA Aeronautica et Astronautica sinica，2010，31（1）:1－11（in Chinese）

［2］Waszak M R，Schmit D K.On the flight dynamics of aeroelastic vehicles［R］.AIAA-1986-2077-388，1986

［3］Bolender M A，Doman D B.A non-linear model for the longitudinal dynamics of a hypersonic air-breathing vehicle［R］.AIAA-2005-6255，2005

［4］Parker J T，Bolender M A，Doman D B.Control-oriented modeling of an air-breathing hypersonic vehicle［R］.AIAA-27830-611，2007

［5］Clark A D，Mirmirani M D，et al.An aero-propulsion integrated elastic model of a generic air-breathing hypersonic vehicle［R］.AIAA-2006-6560，2006

［6］Rodriguez A A，Dickeson J J，Sridharan S，et al.Control relevant modeling，analysis，and design for scramjet-powered hypersonic vehicles［R］.AIAA-2009-7287-980，2009

Hypersonic vehicle rigid/elastic coupled dynamic modeling

Li Huifeng Xiao Jin Zhang Ran
（School of Astronautics，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China）

Extensive use of lifting body，wave-rider aerodynamic layout and other composite materials，thin-walled structures，lead the frequency of structural vibration and rigid body motion very close.This yields a great challenge to the vehicle control system design.Taking into account the transverse displacement，a specific simplification which treats the vehicle body as two mass center fixed cantilever beams was adopted.And the hypersonic aircraft's rigid body/elastic coupling model was derived based on the principle of virtual work and Lagrange equations.After comparing the open-looped poles of new coupling model and traditional rigid body model，a conclusion that the short-period vibration mode and the structures vibration mode tightly coupled with each other was made.The centrifugal force affected the height and long-period mode，and the effect on the flight path can not be ignored.Finally，changes in flight speed and structural damping on the dynamic performance of coupled model were analyzed.Results show that flight speeds significantly affect the rigid body motion modes，while the structural damping mainly changes in elastic mode.

hypersonic;coupling model;structure vibration;Lagrange equation

V 212.1

A

1001-5965（2012）02-0160-06

2010-10-14;< class="emphasis_bold">網絡出版時間:

時間:2012-02-21 11:46;

CNKI:11-2625/V.20120221.1146.010

www.cnki.net/kcms/detail/11.2625.V.20120221.1146.010.html

李惠峰（1970－），女，陜西蒲城人，副教授，lihuifeng@buaa.edu.cn.

（編 輯:趙海容）