基于SA湍流模型的DES方法應用

陳江濤 張培紅 周乃春 鄧有奇

(中國空氣動力研究與發展中心，綿陽621000)

20世紀60年代，計算流體力學 (CFD，Computational Fluid Dynamics)開始初步應用于飛行器設計.隨著計算機技術的迅猛發展，CFD技術取得了巨大的進步，解決復雜工程問題的能力迅速增強.而今，CFD已經成為空氣動力學研究的最重要手段之一，在飛行器設計等諸多工業領域里發揮了重要作用.目前，工程中多采用雷諾平均 N-S方程 (RANS，Reynolds-Averaged Navier-Stokes)的方法，該方法計算時間短、可靠性高，在工程界得到了廣泛的應用.然而對于分離流動的計算，RANS方法往往不能給出不同尺度渦的發展變化細節.以當前的計算機水平，大渦模擬 (LES，Large Eddy Simulation)和直接數值模擬在復雜外形和高雷諾數 (大于105)問題中巨大的計算量使得這些高級模擬方法難以在工程中廣泛應用.

1997 年 Spalart［1］發展的分離渦模擬 (DES，Detached-Eddy Simulation)方法使得模擬實際工程問題中大范圍分離流動有了現實可行性，被認為是在現有的大型計算機集群的水平下，解決高雷諾數大分離非定常流動模擬最有可能成功的方法.DES把LES和RANS兩種方法的優點相結合，是一種利用單一湍流模式的三維非定常數值求解方法，該湍流模式在網格足夠密的地方相當于LES中的亞格子應力模式，在其他地方相當于RANS模式［2］.與 LES相比，DES方法不考慮湍流附面層內大量小尺度脈動運動，所需的網格數量大大降低，這樣既可以在附面層內發揮RANS方法計算量小的優勢，又可以在流動分離區域，對大尺度的脫體分離渦進行較好的模擬，既能捕捉到分離流動的主要特性而又相對經濟.

本文使用基于SA(Spalart-Allmaras)湍流模型的DES方法，對圓柱繞流和超聲速圓柱底部流動等高雷諾數大分離湍流進行了數值模擬，對分離區主要湍流結構的捕捉和平均壓力的預測取得了滿意的結果.

1 基于SA模型的DES方法

SA一方程模型［3］是由 Baldwin-Barth湍流模型發展而來的，方程的形式和系數通過量綱分析、伽利略不變性分析和實驗結果驗證得到.實驗結果包括二維混合層、尾跡流動和平板邊界層結果.

該模型的提出是為了改善代數混合長度模型模擬的結果，發展適用于復雜流動模擬的當地模型，提供比兩方程湍流模型更簡單的模型.

在方程中使用了到壁面的最近距離.SA模型的應變量 ν～在近壁處與離壁面的距離有線性變化關系，所以使用SA一方程湍流模型時在壁面附近不需要非常精細的網格，只需與代數湍流模型相當的網格即可，因而也具有計算容易的優點，對簡單流動有著良好的收斂速度.

式 (1)的右端分別為渦流粘性的生成項、擴散項 (包括守恒擴散和非守恒擴散)和壁面破壞項.各系數的取值如下:

其中，d是流場中某位置到最近壁面的距離;Δ是LES方法中的濾波尺度.在物面附近有d＜CdesΔ，于是=d，此時的DES方法與SA湍流模式一致.隨著d的逐漸變大，當d＞CdesΔ時，有=CdesΔ，此時湍流渦粘系數的衰減便由當地的網格尺度來確定.由式 (1)可見，當右端第1項即生成項和最后一項即衰減項達到平衡時，即

2 大分離湍流模擬應用

本文使用有限體積法求解N-S方程和湍流模型方程，使用分段線性插值重構單元內物理量的分布，空間精度為2階，使用Roe格式計算無粘通量.時間推進使用雙時間步LUSGS方法，時間精度同樣為2階.

2.1 超聲速圓柱底部流動

超聲速圓柱底部流動［4］存在分離旋渦、膨脹波、激波等復雜流動現象.在圓柱底部，流動急劇膨脹產生分離，形成主回流區.在底部下游，外部無粘流動與主回流區之間存在自由剪切層.當自由剪切層在對稱軸相交時，流動通過再壓縮與來流最終保持一致.底部受膨脹波的影響壓力較低，是底部阻力產生的原因.傳統的RANS模擬無法精確模擬底部壓力，是導致難以準確預測飛行器阻力的一個重要原因.

算例中自由來流的條件是:Ma∞=2.46，單位雷諾數 Re/L=45 ×106m－1，T∞=145 K，P∞=31415Pa.圓柱半徑R=31.75mm.圖1給出了計算域的大小.圓柱長為8R，計算域出口離底部距離為10R，側向計算域離圓柱表面距離為4.15R.

圖2給出了子午面上網格分布.在近壁面和尾流區內都進行了加密，軸向網格點為250，周向網格點為140，徑向網格在圓柱段和尾流區分別為120和220，離開壁面的第1層網格距離壁面0.0001R，總網格量是620萬.

圖1 超聲速圓柱底部流動計算域示意圖

圖2 超聲速圓柱計算網格

計算中使用的同一時間步長Δt=3×10－7s，用圓柱半徑和自由來流速度無量綱化可得Δt*=ΔtU∞/R=5.6×10－3.進出口和周向遠場均使用了基于特征關系的遠場邊界條件，壁面使用無滑移絕熱邊界條件.

圖3和圖4分別給出了子午面上瞬時馬赫數和瞬時密度梯度幅值|Δρ|的云圖分布，對圓柱末端拐角處的膨脹波和對稱軸處的激波都分辨得比較清楚，捕捉到了自由剪切層內的湍流渦結構，對于尾流區內的剪切層渦結構的分辨率不夠理想.

圖3 底部流動子午面馬赫數云圖

圖4 底部流動子午面密度梯度幅值的云圖

圖5 底部流動Q值的等值面 (使用馬赫數云圖著色)

圖5 給出了使用 Q(Q= －1/2ui，juj，i)判據［5］來識別流場的渦結構 (使用馬赫數的云圖著色)，從瞬時流場形態可以清楚地看出，底部后存在著豐富的渦結構.

圖6給出了圓柱底部的平均壓力分布.可見，相對于RANS模擬，DES得到的平均壓力分布跟實驗值吻合得更好，基本上捕捉到了沿徑向保持不變的壓力分布趨勢.說明采用本文方法能準確預測底部壓力分布.

圖6 底部平均壓力分布

2.2圓柱繞流模擬

高雷諾數圓柱繞流是檢驗程序非定常模擬的很好算例，有大量實驗結果可以進行驗證.來流的馬赫數為0.2，雷諾數ReD=1.40×105.在該雷諾數下，流動屬于亞臨界流動，非常接近臨界雷諾數.在計算過程中，假定附體邊界層內為全湍流，避免了轉捩的問題，此時流動的現象和超臨界流動一致，因此將數值模擬的結果和超臨界流動實驗結果進行對比，而不是同一雷諾數的實驗結果.計算中使用全局統一物理時間步長t=0.000005 s，大約相當于每個渦脫落周期內有110個真實物理時間推進步.

展向計算域取為LY=4D(D為圓柱直徑)，布置了50個網格點，使用對稱邊界條件.遠場離圓柱表面距離為20D，徑向布置了120個網格點，使用基于特征關系的遠場邊界條件.壁面使用無滑移絕熱邊界條件，周向布置了160個網格點.網格總量為96萬.展向切面網格和壁面網格見圖7.在邊界層和尾流區內進行了加密，離開壁面的第1層網格距壁面的距離為5.0×10－5D，無量綱距離為0.17.

圖7 圓柱展向截面網格和壁面網格

分別使用SA URANS(Unsteady RANS)和SA DES對圓柱繞流進行了模擬.圖8和圖9展示了同一個瞬時，使用同樣的Q值識別的流場渦結構.可以清楚地看到SA DES成功地呈現了流動在圓柱被風面的分離，在尾流區出現上下交替變化的渦街結構，并且在展向呈現變化.而SA URANS雖然在圓柱被風面有分離現象，但是尾流區的渦結構大部分被抹掉，而且在展向分布一致.說明了URANS方法抑制了三維非定常渦結構的形成.

圖8 圓柱尾流區的渦結構 (SA DES)

圖10和圖11展示了同一個瞬時，在展向平面上渦量的云圖.從圖中可以清楚地看到SA DES能夠形象地展示尾流區的渦街結構，而SA URANS抹掉了大部分分離區的渦結構.

圖9 圓柱分離區和尾流區的渦結構 (SA URANS)

圖10 圓柱尾流區的渦量云圖 (SA DES)

圖11 圓柱尾流區的渦量云圖 (SA URANS)

表1給出了計算得到的平均阻力系數、平均背壓系數和Strouhal數Sr.實驗所得雷諾數是3.5×106＜Re＜8.4×106.表1可見，使用SA DES模擬得到的定量結果跟實驗值吻合得較好.其中平均阻力系數完全落在實驗結果的上下限之內，平均背壓系數和Sr數與實驗吻合得很好.

表1 圓柱平均阻力系數、背壓系數和Sr數

圖12展示了圓柱表面平均壓力分布，其中方位角θ從圓柱前緣駐點開始算起.Roshko實驗［6］是 ReD=8.4 ×106的實驗結果，Van Nunen實驗［7］是 ReD=7.6×106的實驗結果，這2組實驗都是超臨界流動.可見，使用SA DES模擬得到的結果完全落在這2組實驗結果之內，說明對平均壓力分布的預測是令人滿意的.

圖12 圓柱表面平均壓力分布

3 結論

1)DES能較為清晰地捕捉分離區內的主要流動結構，而RANS模擬因為模型本身耗散過大的原因，分離區的大部分湍流渦結構都被抹平.

2)圓柱和底部的平均壓力分布的預測與實驗值吻合較好，驗證了DES方法在大分離湍流模擬中的應用前景.

References)

［1］Spalart P R.Strategies for turbulence modeling and simulations［J］.Int J Heat Fluid Flow，2000，21:252－263

［2］Travin A，Shur M，Strelets M，et al.Detached-eddy simulations past a circular cylinder ［J］.Flow Turbul Combust，2000，63:293－313

［3］Spalart P R，Allmaras S R.One-equation turbulence model for aerodynamic flows［J］.Recherche Aerospatiale，1994(1):5－21

［4］Simon F，Deck S，Guillen P，et al.RANS-LES simulations of supersonic base flow［C］//44th AIAA Aerospace Sciences Meeting.Reston:American Institute of Aeronautics and Astronautics Inc，2006:10723－10742

［5］Hunt J C R，Wray A A，Moin P.Eddies，stream and convergence zones in turbulent flows［R］.Center for Turbulence Research Report CTR-S88，1988

［6］Roshko A.Experiments on the flow past a circular cylinder at very high Reynolds number ［J］.Journal of Fluid Mechanics，1961，10(3):345－356

［7］Van Nunen.Pressure and forces on a circular cylinder in a cross flow at high Reynolds number［C］//Flow Induced Structural Vibrations.Berlin:Springer-Verlag，1974:748 －754