微分中值定理中值點的漸近分析

王申秋，凡震彬

（常熟理工學院 數學與統計學院，江蘇 常熟 215500）

1 引言

中值定理是微積分學課程的基本定理之一[1-2]，其在整個微積分課程體系中起到非常重要的作用．在許多的微積分學教材中對此都有詳細的描述，但這些教材都只說明了中值點的存在性，而沒有涉及中值點的其他性質，特別是漸近性質．

1982年，Alfonso G.Azpeitia[3]發表了一篇重要的文章，首次討論了Lagrange中值定理中的中值點的如下漸近性質．

定理 設函數 f在閉區間[a,x]上二階可導，f''在點a點處右連續且 f''(a)≠0，則Lagrange中值定理中的中值點ξ滿足：

隨后這一結論被不斷推廣，并在各種實際問題中得到應用，尤其是在各種問題的近似求解中得到廣泛應用，并取得了令人滿意的結果．

2009年12月，程希旺[4]發表了《二元函數微分中值定理中值點的分析性質》這一文章，其主要討論了二元函數Lagrange微分中值定理中值點的連續性及可導性問題，并給出了二元函數Lagrange微分中值定理中值點連續及偏導數存在的充分條件，同時給出了計算其偏導數的公式．

2010年1月，時玉敏[5]發表了題為《微分中值定理中ξ的漸近性質》的文章，文中主要給出了一元函數Cauchy中值定理中值點的漸近性質．

本文主要利用微分中值定理和泰勒公式繼續研究上述問題，給出了一元函數Cauchy中值定理以及二元函數微分中值定理中值點漸近性質的新的充分條件．

2 主要結果

首先我們將一元函數Cauchy中值定理以及二元微分函數中值定理引述如下：

Cauchy中值定理：若函數 f (x)及g(x)在閉區間[a , b ]上連續，在開區間(a , b )內可導，f'(x)與g'(x)不同時為零，并且g(a)≠g(b)，則在開區間(a , b )內至少存在一點ξ，使下式成立：

二元函數中值定理：設二元函數 f 在凸開域D?R2內可微，(a,b)∈D，則對任意的(a+h,b+k)∈D，有

其中0<θ<1.

下面，我們給出上述中值定理中中值點ξ和θ的漸近分析結論．

定理1 設Cauchy中值定理中的函數 f (x)，g(x)滿足

（I）f(x),g(x)在閉區間[a , b ]上分別具有直到n+2，m+2階連續導數，其中n,m均是自然數，且n≠m；

（II）f(i)(a)=0(i = 1,2,3,...,n-1),f(n)(a)≠0，g(j)(a)=0( j = 1,2,3,...,m-1),g(m)(a)≠0；

（III）?(x)在區間[a , b ]上連續可微，且 ?'(a)≠0．

則柯西中值定理中的ξ滿足：

證明 根據條件（I）（II）以及Taylor公式有：

其中0<θ1<1，x∈[a,b].同時，我們有

對（3）式求導，得

特別地，

同理，

其中0<θ2<1.

注意到，由條件（I）以及無窮小量的性質，有

在（1）式兩邊同時乘以(b-a)m-n，即有

再將（4）-（7）代入上式,并在等式兩邊同時取極限b→a，可得

故，由條件（III）存在 a<η1<ξ,a<η2

注1：在定理1中，我們只需要函數 f,g分別具有直到n+2,m+2階連續導數，這減弱了函數 f,g分別具有直到n+3,m+3階連續導數并且具有單調性這些要求[4-9]．

定理2 二元函數微分中值定理中的函數 f滿足：

（I）f(x,y)在凸開域D?R2內具有直到n+3階連續偏導數，其中n≥2；

（II）∈D.

則二元函數微分中值定理中的θ滿足：

證明 根據二元函數微分中值定理，有

其中0<θ<1.

又由二元函數Taylor公式及條件（I）（II），對任意的( )

x,y∈D,存在0<θ3<1，使得

并且

對（9）式求偏導數，得

令 x=a+ θh,y=b+ θk,分別代入（11）（12）式，得

再將（10）（13）（14）代入（8），得

注意到上式右端最后兩項也都是ρn的高階無窮小，故我們有

整理得

從而

定理2給出了一個新的漸近分析結論．

[1]華東師范大學數學系.數學分析（上）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]華東師范大學數學系.數學分析（下）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3] Alfonso G, Azpeitia. On the Lagrange remainder of the Taylor formula[J]. Amer Math Monthly, 1982, 89: 311-312.

[4]程希旺.二元函數微分中值定理中值點的分析性質[J].數學理論與應用，2009，29（4）：104-107.

[5]時玉敏.微分中值定理中 ξ的漸近性質[J].河南科學，2010，28（1）：15-17.

[6]程希旺.微分中值定理中值點漸進性研究的新進展[J].數學的實踐與認識，2009，39（14）:229-231.

[7]任立順，高繼梅.關于復函數高階微分“中值點”的漸近性[J].大學數學，2007，23（3）：144-148.

[8]鄭權.中值定理“中間點”的漸近性質[J].數學的實踐與認識，198 5，15（2）：53-57.

[9]張毅，白波，梁堅.廣義微分中值定理“中間點”ξ的單調性連續性和可導性[J].大學數學，2010，26（2）：8 9-92.