多孔探針系統誤差分析

李 鵬，馬興宇，明 曉

（1.南京航空航天大學 自動化學院，南京 210016；2.南京航空航天大學 空氣動力學系，南京 210016）

多孔探針系統誤差分析

李 鵬1，2，馬興宇2，明 曉2

（1.南京航空航天大學 自動化學院，南京 210016；2.南京航空航天大學 空氣動力學系，南京 210016）

以不可壓流場的Bernoulli方程和勢流理論為出發點詳細推導了多孔探針的基本測量原理并獲得了相應的數學模型，從而將具有不同頭部（如球體、圓錐體）、不同孔數（如3、5、7乃至18孔）的各種類型多孔探針納入到相同的數學模型之下，為系統分析各類探針提供了條件。通過分析推導過程，得出了多孔探針測量數學模型成立的4個基本約束條件。在實際測量過程中若偏離這4個基本條件必然會在測量結果中引入系統誤差。將由此引入的系統誤差分別歸納為：數學模型誤差、制造誤差以及使用誤差，并逐個進行了詳細的分析。同時，還以較為常用的七孔探針為例，采用計算流體力學軟件對以上3種情況造成的誤差進行了定量計算。根據以上分析和計算結果，為實際應用中選擇合適類型的探針、確定使用條件、評估測量系統誤差給出了詳細的建議。

多孔探針；系統誤差分析；模型誤差；制造誤差；數值模擬

0 引 言

多孔探針是一種在探針頭部分布有若干測壓孔的三維流場測試工具，這些探針的頭部通常呈球形或圓錐形。根據其頭部分布的測壓孔數目的不同，多孔探針又可分為三孔探針、五孔探針、七孔探針、九孔探針、甚至十八孔探針。盡管很多基于光電技術的流場測量系統，例如激光多普勒測速儀、PIV系統、熱線風速儀等，被廣泛使用在三維流場測試領域，但多孔探針作為一種可靠性很高的測試工具仍然具有廣闊的應用前景［1－2］，甚至在一些特殊的測試場合具有不可替代性。與光學方法相比，它無需示蹤粒子及復雜的光學系統，且對環境震動也不敏感；與熱線風速儀相比，其具有較強的抗機械破壞能力。

在多孔探針的使用過程中應對其測量誤差的來源和大小做到心中有數，從而幫助提高測量結果的精度，并幫助實驗人員判斷測量結果的置信區間。盡管不少研究者［3－5］已經用誤差分析理論對某一具體類型探針（如七孔或五孔探針）在測量過程中各測量量引入的誤差進行了詳細分析并給出了其不確定度。但并未從多孔探針基本測量原理的角度系統地研究過其數學模型、制造、使用等方面因素給測量帶來的系統誤差。本研究將以多孔探針的基本測量原理為出發點深入分析引起多孔探針測量系統誤差的多方面原因，并以七孔探針為例運用計算流體力學方法對以上因素進行了定量計算，進而給出相關的系統誤差數據。由于采用相同的測量原理及分析方法，因此這些數據可作為其他類型多孔探針使用和分析的參考。

1 測量原理分析

多孔探針測量流場中速度矢量的基本原理是以Bernoulli方程為基礎，運用勢流理論，通過測量探針頭部各孔壓力對其繞流的駐點位置及滯止壓力進行預測，從而獲取待測流場某空間點的速度矢量、總壓和靜壓。

如圖1所示，有一頭部為球形的探針，并以球心為坐標原點定義直角坐標系，在繞球體的不可壓勢流場中，若p和u分別為來流的靜壓和速度，且該流場在球體上的駐點為圖中“★”號所示位置，該位置可表示為俯仰角θ和方位角φ，其中θ是速度向量與探頭軸線之間的夾角，始終為正。φ是速度向量在YZ平面內的投影與Z平面之間的夾角，迎著探針頭部方向看去逆時針為正。pi和ui分別是繞流球體上點i的靜壓和速度大小。于是對于以上待測量p、u（包括大小u及方向θ、φ），由Bernoulli方程得：

由勢流理論可知球體上的速度分布滿足如下關系式：

圖1 多孔探針測量原理分析示意圖Fig.1 The diagram of multi－hole probe measurement principle

其中，γi是駐點與球體上i點對球心連線的夾角，如圖1所示。

若孔i在球體上的位置（θi，φi）已知，則可根據簡單的幾何關系將角度γi表示為駐點位置角θ和φ的函數γi（θ，φ），于是綜合式（1）～（3）可得：

由式（4）可知為了求解4個未知量（p，u，θ，φ），需要至少4個獨立的條件使方程封閉，因此探針至少需要4個非共線的測壓孔，且這4個測壓孔所處區域應與勢流理論解接近，例如，這些孔應該避免處于分離區內。這就是為什么運用七孔探針進行大角度測量時只能采用其中4個孔的壓力數據進行計算，而在小流動角下可使用7個孔的壓力數據進行計算。

由以上分析可知，為了使用探針進行流場速度矢量測量，需要滿足如下條件：（1）所使用測壓孔實際壓力值應與勢流理論給出的結果一致；（2）探針頭部測壓孔的幾何位置應與計算模型保持一致；（3）探針測量的應是沒有速度梯度的均勻來流；（4）應確保被測流場介質的不可壓屬性，且測量結果與Reynolds數無關。若實際測量中存在與以上條件偏離的情況，則必然會使測量結果與待測量的真值間存在誤差。該誤差與文獻［3－5］中的誤差分析之間的根本區別在于：文獻中的誤差是由測量壓力傳感器及數據采集系統引入的，而本文所指誤差是由于各種原因使探針系統本身偏離其設計模型而引入的探針系統誤差。正如前所述，導致這一系統誤差的根本原因就在于實際測量條件與理論設計模型間在以上4個約束條件上的偏離；綜合以上4種偏離現象可將引起多孔探針系統誤差的原因歸納為多孔探針的模型、制造、使用3方面因素，以下將分別予以分析和討論。

2 模型誤差

由第1節的分析可知，多孔探針測量流場速度矢量的基本方程由式（4）給出，而獲得該式的重要依據之一是由勢流理論推導出的球體上速度分布規律，即式（3）；由于勢流理論并未考慮流體粘性的影響，因此該結果與實際流動必然存在偏差。若將流體粘性影響考慮在內［6］，式（3）可修正為：

為了便于比較，將式（3）中的正弦函數展開為γi的冪級數形式并重新整理如下：

對比式（5）和式（6）可得到如下結論：

（1）勢流理論獲得的結果與實際流動存在偏差，該偏差必然會在探針測量結果中引入誤差，這種誤差是由于對測量探針進行建模時引入的系統誤差，即模型誤差；（2）以上模型誤差隨著γi的減小而減小，當γi較小時由模型誤差引入的測量偏差可以接受。因此為了提高探針的測量精度，應使測量時獲得的γi值盡量小。為達到該目的，應盡可能增加探針頭部測壓孔的密度。因此為了得到高精度的測量結果，從最基本的5孔、7孔到9孔、13孔甚至18孔的高密度壓力孔多孔探針不斷出現。

為了定量分析采用勢流模型對多孔探針引入的系統誤差，接下來將運用計算流體力學軟件Fluent進行流場計算。由于制造的原因，目前很大一部分探針采用如圖2所示的錐型頭部七孔探針［1－5］，因此為了便于對比且為實際使用提供參考，以下數值模擬將以該類型探針為對象進行計算。需要說明的是，錐形頭部的探針與球形頭部探針的測量原理及模型是一致的；但根據Schlichting［7］給出的數據可知，在表面壓力分布上錐型頭部探針與球形頭部探針相比其實際值與勢流理論計算值偏差要大，從而其引入的模型誤差必然大于球形頭部的探針。圖3為用三維網格生成軟件Gambit構造的探針表面網格分布。Fluent解算參數如下：流動為低速定常不可壓粘性流，控制方程為雷諾平均N－S方程，湍流模型為S－A模型，流場計算區域邊界條件為：前方及上方邊界處設為速度入流邊界，取無窮遠來流速度；后方取為壓強出流邊界；探針表面及孔內表面取為壁面邊界條件。無窮遠來流速度大小為17m／s，溫度為15℃。為了實現測量計算，首先按照相關文獻［3］的方法對多孔探針進行了數值校準，以獲得校準矩陣。校準計算時，θ角為6°～72°，以6°為間隔；φ角為－25°～325°，以10°為間隔（對于內區，θ和φ將折算為α和β，其中α為迎角，即速度向量在XZ平面內的投影與X軸之間的夾角；β為側滑角，即速度向量與XZ平面之間的夾角），總計432個狀態。考慮到1～6孔具有對稱的位置，故只需考慮半區內的3個φ角（如155°、165°和175°），共計36個狀態，即可得到各區的校準系數。

具體計算獲得的七孔探針各區測量擬合標準偏差，如表1所示。對比文獻［8］，數值計算結果與文獻實際測量獲得的結果較為一致，因此該結果應該是可信的。由于數值計算中不存在壓力傳感器、數據采集設備、七孔探針制造等因素引入的誤差，因此其標準差小于測量結果。但其誤差也不能忽視，而該誤差應主要來源于本節指出的模型誤差。

圖2 七孔探針幾何外形Fig.2 The geometric shape of seven－hole probe

圖3 七孔探針的表面網格Fig.3 The surface mesh of seven－hole probe

表1 數值標定精度Table 1 Numerical calibration precision

3 制造誤差

在第1節的分析中，假定多孔探針上孔i在球體上的位置（θi，φi）已知，從而得到了如式（4）給出探針測量基本模型，但在探針的實際制造過程中由于機械加工的精度限制，探針上各孔的具體位置與設計時給定的模型位置必然存在偏差。為了降低由于這種制造因素帶來的影響，實際使用過程中每根探針必須要進行單獨校準。然而，這并不能完全消除由此引起的誤差。本節將以上節的內容為基礎分別對錐形頭部七孔探針的4號孔沿徑向存在10μm及50μm偏移情況下的標準誤差進行計算分析。采用與上一節相同的計算參數并重新調整4號孔的位置及相應網格。因只考慮4號孔徑向偏移，2號孔和6號孔、3號孔和5號孔具有對稱的位置，故校準時只需計算216個狀態。具體計算結果如表2和3所示。

通過表2和3的數據可知：4號孔沿徑向外移10μm，對4區的標準偏差影響不大，但對相鄰的3區和5區、相對的1區以及7區產生了較大的影響（考慮到偏移量很小）。原因在于4號孔的偏移造成的不對稱將通過式（3）給3區和5區的校準引入誤差，使得標準偏差增大；1區的σ（φ）顯著增大，但σ（θ）及總壓和動壓的標準偏差反而有了下降，結合表3中偏移50μm的結果可以看出，單純的4號孔徑向外移，使得1區的校準精度（φ除外）略有提高，但隨著偏移量的增大，這種效應又會逐漸消失；對于7區，動壓的標準偏差有所增大，但σ（α）和σ（β）卻有所減小，原因在于4號孔的外移使得式（3）中的3對孔的壓力差值增大，對角度的校準精度相應地有所提高。當4號孔沿徑向外移50μm時，雖然對1區的標準偏差影響不太大，但4區的標準偏差發生了較大改變，動壓的標準偏差已超出2%。因此，綜合來說，由于制造誤差的存在增大了多孔探針的系統誤差，且制造誤差越大所帶來的系統誤差也越大。此外，需要說明的是，由于制造的原因探針頭部的光潔度對流動也會產生影響，從而引入誤差；但考慮到加工中較容易保證表面光潔度，因此對于這一情況本節中予以忽略。

表2 4號孔偏移10μm時校準公式的標準偏差Table 2 The standard deviation of 4hole offset 10μm

表3 4號孔偏移50μm時校準公式的標準偏差Table 3 The standard deviation of 4hole offset 50μm

4 使用誤差

4.1 使用速度范圍

為了將多孔探針的測量數學模型運用到不同流體介質中測量不同速度，必須要使測量結果獨立于流場的Reynolds數。考慮到采用多孔探針測量流場是通過探針頭部的壓力值導出，因此為了獲得獨立于Reynolds數的測量結果，可通過考察探針頭部的壓力分布與Reynolds數間的關系得出一些有益的結論。由于流場中物體的阻力系數CD與其表面的壓力分布密切相關，且其與Reynolds數間的關系有豐富的實驗數據可以利用，因此要確立與Reynolds數無關的測量結果，可通過考察阻力系數與Reynolds數間的關系獲得。由量綱分析可知，阻力系數CD是Reynolds數、馬赫數及物體表面粗糙系數ˉk的函數。考慮到加工中較容易保證表面光潔度，因此對于物體表面粗糙系數的影響予以忽略。由文獻［7］可知：對于光滑球體，在1×103＜Re＜1.8×105范圍內，阻力系數CD與Reynolds數的變化幾乎無關。于是由此可得到多孔探針使用的速度下限為：

若在20℃下使用直徑d＝3mm的探針測量空氣（ν≈15×10－6m2／s）的速度，則其最小測量速度應不小于5m／s，否則將會產生較大誤差。

此外，由文獻［7］知，當馬赫數小于0.3時阻力系數CD與馬赫數無關，于是可得到多孔探針使用的速度上限為：

其中a為音速。若在20℃下使用多孔探針測量空氣（a＝344m／s）的速度，則其最大測量速度應不大于100m／s，否則將會產生較大誤差。

4.2 速度梯度誤差

以上多孔探針的測量原理是基于速度梯度無關的均勻流場的假設推導的，若實際使用過程中偏離這一假設，如圖4所示，當探針處于流線間具有梯度的流場（即剪切流場）中時，也必將給測量帶來誤差。文獻［4］針對五孔探針在速度梯度場中的使用誤差做了討論。利用數值模擬的方法，定量分析速度梯度和探針直徑對于測量的影響。這里定義速度梯度k，單位為（m／s）／mm，探針直徑d，單位為mm。仍采用第2節中使用的網格及獲得的校準矩陣；速度梯度k＝0.1～1.0，增量為0.1；探針直徑d＝1～6mm，增量為1mm。

圖4 七孔探針測量剪切流場示意圖Fig.4 The diagram of measurement shear flow field using seven－hole probe

圖5給出了七孔探針測量具有速度梯度的流場時隨速度梯度和探針直徑變化的角度誤差包線。計算結果表明，隨著探針直徑和待測流場速度梯度的增大，所測量的系統誤差也會隨之增大，進而導致探針測量的空間分辨率下降。此外，若能將探針尺寸及待測流場速度梯度控制在一個合理的范圍內，其相應的誤差還是可以接受的。

圖5 七孔探針測量具有速度梯度流場的誤差包線Fig.5 The error line of velocity gradient fluid field using seven－hole probe

5 結 論

以不可壓流場的Bernoulli方程和勢流理論為出發點詳細推導了多孔探針的基本測量原理并獲得了相應的數學模型，通過分析推導過程得出了該測量數學模型成立的4個基本約束條件。在實際測量過程中若偏離這4個基本條件必然會在測量結果中引入系統誤差。將由此引入的系統誤差分別歸納為：模型誤差、制造誤差以及使用誤差，并逐個進行了詳細的分析。根據文中的分析，不同類型的多孔探針具有相同的測量原理及分析方法，因此，以較為常用的多孔探針——七孔探針為例，采用計算流體力學軟件對以上3種情況造成的誤差進行了定量計算。通過這些分析和計算結果可為實際應用中選擇合適類型的多孔探針、確定使用條件、評估測量系統誤差提供有益的幫助。具體結論如下：

（1）探針選擇：通過增加探針頭部測壓孔的分布密度，即探針孔數，可減小孔間的夾角使得在駐點附近測得的各孔壓力值與勢流理論的計算結果盡量接近；因此，為了減小系統誤差提高測量精度應在可能的條件下選擇孔數多的多孔探針；

（3）誤差變化趨勢：由于作為探針測量數學模型建立基礎的勢流理論與實際流動的偏離必然會給測量帶來誤差，該誤差將隨著探針頭部測壓孔的分布密度、制造定位精度的降低而增大；也會隨著測量過程中存在的速度梯度的增加而增加，但由此引起的測量系統誤差可通過合理選擇探針頭部尺寸及測量環境速度梯度上限的方法將其控制在可接受的誤差范圍內。

［1］PAYNE F M，NG T T，NELSON R C.Seven－hole probe measurement of leading edge vortex flows［J］.Experiments in Fluids，1989，7：1－8.

［2］SUMMER D，HESELTINE J L，DANSEREAU O J P.Wake structure of a finite circular cylinder of small aspect retio［J］.Experiments in Fluids，2004：720－730.

［3］ZILLIAC G G.Modeling，calibration，and error analysis of seven－hole pressure probes［J］.Experiments in Fluids，1993，14：104－120.

［4］GLAHN A，HALLMANN M，et al.Advanced pneumatic method for gradient flow analysis［J］.Experiments in Fluids，1993，15：219－226.

［5］VENKATESWARA BABU C，GOVARDHAN M，SITARAM N.A method of calibration of a seven－hole pressure probe for measuring highly three－dimensional fows［J］.Meas.Sci.Technol.，1998，9：468－476.

［6］WHITE F M.“Laminar boundary layers”in viscous fluid flow［M］.2nd ed.，New York：McGraw－Hill，1991：298.

［7］SCHLICHTING H著.邊界層理論［M］.徐燕侯，徐立功等譯.北京：科學出版社，1988：10－24.

［8］GERNER A A，MAURER C L.Calibration of sevenhole probes suitable for high angles in subsonic compressible flows［J］.AIAA J，1982，82：404－410.

李 鵬（1977－），男，廣西桂林人，講師，博士生。研究方向：實驗流體力學，流動測量。通訊地址：江蘇省南京市白下區御道街29號自動化學院測試工程系（210016），聯系電話：025－84893451，E－mail：nuaalp＠163.com

System error analysis on multi－hole probe

LI Peng1，2，MA Xing－yu2，MING Xiao2
（1.College of Automation Engineering，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China；2.Department of Aerodynamics，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China）

Based on Bernoulli equation and potential theory，the mathematical model of multihole probe is derived，which is suitable for multi－hole probe with various shape probe head（such as spherical or conical）and hole number（such as 3，5，7，even 18 ）.Four constraint conditions which ensure that the measurement model is valid are obtained.As an inevitable result of the deviation above constraint conditions the system error is brought to the measurement data.In this paper，the system error is analyzed in detail and summed up as mathematical model error，manufacturing error and using error.Take seven－hole probe as an example，the quantitative calculation using computational fluid dynamics software is adopted to analyze the influence of the above three factors.Moreover，some detailed proposal are given on how to select appropriate probe，determine the conditions of use and assess measurement system error.

multi－hole probe；system error analysis；model error；manufacturing error；numerical simulation

V211.7

A

1672－9897（2012）05－0069－05

2011－09－20；

2011－11－09

國家973項目（2007CB714600）；國家自然科學基金 （11072112）；南航大青年創新基金（NS2010010）