針束型回熱器熵產率的分析

楊志春，吳 鋒, 余仕成

(1. 海軍駐武漢438廠軍事代表室，湖北 武漢 430064；2.武漢工程大學理學院，湖北 武漢 430074)

0 引 言

熱聲發動機和制冷機沒有或者很少有運動部件，并且使用環境友好氣體作為工質，以上突出優點使其在近年來備受關注[1].回熱器是熱聲熱機的關鍵部件[2-3]，實際熱聲裝置中使用了多種結構形式的回熱器包括平行板結構、圓孔結構和鋼絲型結構等[4-5].Swift等[6-7]引入了一種被稱為針束結構的新型回熱器：針束型結構如圖1所示，在回熱器軸向位置平行布置多根細針，單根針半徑為rd，每根針處于一個正六邊形流道中心.理論與實驗均已證明針束型回熱器結構優于其它規則幾何結構的回熱器[8].

圖1 針束結構回熱器橫截面局部示意圖Fig.1 A schematic diagram of the pin-array stack

工質在回熱器內振蕩時的換熱和黏性損耗會導致不可逆損失，這種不可逆損失可以通過熵產率[9-10]來分析.文獻[11-16]對熱聲裝置不可逆性進行了分析，但這些研究僅僅集中于單板、平行板或鋼絲型回熱器以及換熱器.本文對針束回熱器中由換熱和黏性耗散導致的熵產率進行了分析，研究了間距、尺寸、角頻率、溫度梯度和阻抗比等參數對熵產率的影響.

1 理論分析

線性化動量守恒方程為[4]

(1)

在無滑邊界條件下，有：

u1(rd)=0

(2)

在針的表面，對稱邊界條件下：

(3)

連續性方程為：

(4)

其中cp為工質的復密度振幅.

線性化能量方程為：

(5)

其中cp為比定壓熱容，T1為復溫度振幅，dT/dx為溫度梯度，T0為平均溫度，β為等溫膨脹系數，k為工質導熱系數.

線性化狀態方程為：

(6)

其中a為工質絕熱聲速，γ為比熱比.

由公式(1)-(6)可得：

(7)

(8)

其中

(9)

(10)

單位質量工質能量方程為

(11)

由傅里葉導熱定律

(12)

可得：

-[T⊥T)2]

(13)

將公式(11)代入(5)得：

(14)

將Gibbs 方程Tds=dE+pdV代入公式(14)并忽略一階小量得：

(15)

其中s為單位體積熵產.

公式(15)左邊第一項為單位體積熵產率，第二項為熵流.公式(15)右邊第一項為黏性不可逆性引起的熵產率，第二項為傳熱引起的熵產率.由此可得單位體積熵產率：

(16)

在層流和小擾動條件下，黏性耗散函數為：

?=μ(⊥u1)2

(17)

將公式(17)代入公式(16)并取時間平均得：

(18)

其中*表示復共軛.

將公式(7)和公式(8)代入公式(18)并取實部可得針束型回熱器時均熵產率：

(19)

其中

由公式(19)可知Sir與r有關，即Sir沿流道橫向截面有一分布，取其截面平均得：

(20)

其中

(N,R=J,Y;η,ζ=μ,k)

2 數值結果分析

根據公式(19)和(20)，可分析得出不同參數對熵產率的影響：

2.1 截面分布熵產率

公式(19)表明截面分布不可逆熵產率Sir是針束距中心點距離r的函數.計算時所取參數T0=600 K,T0β=1,f=ω/2π=400 Hz,dT/dx=1 000 K/m,Z=1,rd=0.000 1 m,ρ0=1.9 kg/m3,σ=0.68和k=0.13W/(m2·K).由圖2可知：在不同的r0/rd下Sir隨著r的增大而減小.這是因為離針束越遠，換熱與黏性耗散的程度越小，回熱器的不可逆性越小.

圖2 熵產率的截面分布Fig.2 Cross-section entropy generation rate distribution

2.2 溫度梯度對截面平均分布熵產率的影響

取參數T0=600 K,T0β=1,f=ω/2π=400 Hz,Z=1,rd=0.000 1 m，ρ0=1.9 kg/m3,σ=0.68和k=0.13 W/(m2·K)，如圖3所示：在不同r0/rd時Sir隨溫度梯度dT/dx的增大而增大，這是由于換熱導致的不可逆性受溫度梯度影響.

圖3 截面平均熵產率隨溫度變化規律Fig.3 Cross section average entropy generation rate versus temperature gradient

2.3 針束型回熱器的優化頻率

給定特征尺寸r0/δk和rd/r0時，當角頻率ω變化時，存在最小截面平均熵產率Si.由公式(20)，當?Si/?ω=0時可得：

(21)

ω0為截面平均不可逆熵產率最小時的優化角頻率.計算時取參數T0=600 K,T0β=1,dT/dx=1 000 K/m,Z=1,rd=r0/5,ρ0=1.9 kg/m3,σ=0.68和k=0.13 W/(m2·K)，在不同r0/rd時Sir隨ω的變化規律如圖4所示.

圖4 截面平均熵產率隨角頻率的變化規律Fig.4 Cross section average entropy generation rate versus the circular frequency

優化頻率f0經計算可得：

2.4 針束型回熱器的優化阻抗比

取參數T0=600 K,T0β=1,f=ω/2π=400 Hz,dT/dx=1 000 K/m,rd=0.000 1 m,ρ0=1.9 kg/m3,σ=0.68和k=0.13 W/(m2·K)，在不同r0/rd時Sir隨阻抗比Z的變化規律如圖5所示.當Z變化時存在最小Si，對應的最優Z為：

圖5 截面平均熵產率隨阻抗比的變化規律Fig.5 Cross section average entropy generation rate versus impedance ratio

3 結 語

本文對針束型回熱器中由于換熱和黏性耗散的不可逆性導致的熵產率進行了研究，計算獲得了截面熵產率的分布.在給定參數下，截面平均分布熵產率隨溫度梯度的增大而增大，隨阻抗比變化時存在最小值.給定特征尺寸時，獲得了最小熵產率對應的最優頻率.本文結果有利于選擇針束型回熱器的優化尺寸.

參考文獻：

[1] 吳鋒, 李青, 郭方中, 等. 熱聲理論的研究進展[J]. 武漢工程大學學報, 2012, 34(1): 1-6.

[2] Swift G W. Thermoacoustic engines[J]. J Acoust Soc Am, 1984, 84(4): 1145-1180.

[3] Tominaga A. Thermodynamic aspects of thermoacoustic theory[J]. Cryogenics, 1995, 35(7): 427-440.

[4] Hofler T J. Thermoacoustic refrigerator design and per-formance[D]. San Diego: Physics Department, University of California at San Diego, 1986.

[5] Swift G W. Analysis and performance of a large th-ermoacoustic engine[J]. J Acoust Soc Am, 1992, 92(3): 1551-1563.

[6] Swift G W, Keolian R M. Thermoacoustics in pin-array stacks[J]. J Acoust Soc Am, 1993, 94(2): 941-943.

[7] Hayden M E, Swift G W. Thermoacoustic relaxation in a pin-array stack[J]. J Acoust Soc Am, 1997, 102(5): 2714-2721.

[8] Gibson R J, Nessler F S, Keolian R M. Measurements of a thermoacoustic pin stack[J]. J Acoust Soc Am, 1996, 100(4): 2735-2742.

[9] Bejan A. The thermodynamic design of heat and mass transfer processes and devices[J]. Heat and Fluid Flow, 1987, 8(4): 398-406.

[10] Bejan A. Entropy generation through heat and fluid flow[M]. New York: Wiley, 1982.

[11] Shohel Mahmud, Roydon Andrew Fraser. The Ther-moacoustic irreversibility for a single-plate thermoa-coustic system[J]. International Journal of Heat and Mass Transfer. 2006, 49: 3448-3461.

[12] Hadi Babaei, Kamran Siddiqui. Design and optimiz-ation of thermoacoustic devices[J]. Energy Conver-sion and Management, 2008, 49: 3585-3598.

[13] Ishikawa H, Hobson P A. Optimisation of heat excha-nger design in a thermoacoustic engine using a second law analysis[J]. Heat mass transfer, 1996, 23(3): 325-334.

[14] 吳鋒, 陳林根, 孫豐瑞,等.斯特林機的有限時間熱力學優化[M]. 北京: 化學工業出版社, 2008.

[15] 余仕成. 平板型回熱器的不可逆熵產率分析[J]. 武漢化工學院學報, 1999, 21(2): 85-89.

[16] 余仕成, 王克協, 吳鋒. 鋼絲型回熱器的不可逆熵產率分析[J], 吉林大學自然科學學報, 1999, 3: 52-56.