磷礦堆場多目標優化配礦模型

李志國，崔周全，張電吉，陳鵬能

(1.云南磷化集團，云南 昆明 650600；2.武漢工程大學環境與城市建設學院，湖北 武漢 430074)

0 引 言

配礦是礦物資源質與量的相互協調與均衡，是一項多階段的工藝過程，它貫穿于從礦山規劃、計劃到礦山生產整個過程和各個生產環節.堆場配礦是這一整體系統的重要環節之一，特別是對像磷礦礦石特征各異，原礦品質差異大，脈石對選礦、磷化工影響嚴重的一類礦產資源，堆場配礦具有舉足輕重的地位[1].

對配礦計劃數學模型的分析和研究，國內外有很多研究成果可以借鑒.其解決方式也多種多樣，比較成熟的技術如線性規劃[2-9]、0-1整數規劃法[10]、UM模型[11]、非線性回歸分析等等.其中胡清淮[6]在建立線性規劃模型基礎上，對模型退化性進行了討論，并借助計算機用逆矩陣單純形法完成了求解計算；戚國安和舒航[7]對應用線性規劃模型配礦中的隨機誤差進行了分析，通過計算期望產值，確定理想配礦品位，并指出配礦質量控制對礦山經濟效益有著重要影響.張立溥和胡清淮[8]分析了配礦模型中的目標函數系數靈敏度的重要性.劉文生應用模糊線性規劃的方法[9]，分析了礦山企業生產過程中包含許多非確定性的因素和模糊特征的主體網絡系統.

以上線性規劃等配礦構模一般以經濟效益為目標，對產能、有益有害組分、非負性等進行約束，建立模型求解.而在礦山實際配礦過程中，配礦目標往往不只一項，且很多情況下，各子目標可能是相互沖突的，非多目標規劃模型就顯得無能為力.眾多學者嘗試了多目標規劃模型[12-16]通過引入模糊方法等，對目標重要性處理開展了大量研究[17-19]，取得一定成果.

然而，常規的多目標解算方法不能有效地解決諸多配礦實際問題及要求[20]，模糊多目標等算法[17-19]較為復雜，現實生產中，多目標規劃仍未能成為配礦領域內實用性及通用性更強的方法.目前仍以線性構模為主要手段，存在著不足之處.

筆者基于磷礦堆場實際生產工藝過程，建立堆場多目標配礦模型，較完整描述該工藝階段需要達到的配礦目標基礎上，應用Matlab優化工具箱中多目標規劃工具，實現了堆場配礦多目標規劃模型簡便、有效求解，實際操作性強.

1 多目標優化配礦模型

1.1 多目標優化原理

多目標優化問題(multi-objective optimization problem, MOP)又稱為多標準優化問題.不失一般性，一個具有n個決策變量，m個目標變量的多目標優化問題[21]可表述為

(1)

其中，x=(x1,…,xn) ∈X?Rn為n維的決策矢量，X為n維的決策空間，y=(yl,…,ym) ∈Y?Rm為m維的目標矢量，Y為m維的目標空間.目標函數F(x)定義了m個由決策空間向目標空間的映射函數；gi(x)≤0(i=1,2,…,q)定義了q個不等式約束；hj(x)=0(j=1,2,…,p)定義了p個等式約束.

對于多目標優化問題有如下重要定義[22-23]：

定義1(可行解)：對于某個x∈X，如果x滿足(1)中的約束條件gi(x)≤0 (i=1,2,…,q)和hj(x)=0 (j=1,2,…,p)，則稱x為可行解.

定義2(可行解集合)：由X中的所有的可行解組成的集合稱為可行解集合，記為Xf，且Xf?X.

定義3(Pareto占優)：假設xA,xB∈Xf是式(1)所示多目標優化問題的兩個可行解，則稱與xB相比xA是Pareto占優的，當且僅當

?i=1,2,…,m,fi(xA)≤fi(xB)Λ?j=1,2,…,m,fj(xA)

(2)

記作xA?xB，也稱為xA支配xB.

定義4(Pareto最優解)：一個解x*∈Xf被稱為Pareto最優解(或非支配解)，當且僅當滿足如下條件:

?x∈Xf∶x?x*

(3)

定義5(Pareto最優解集)：Pareto最優解集是所有Pareto最優解的集合，定義如下:

(4)

多目標優化問題各子目標之間具有較強的耦合性及沖突性，多個子目標不可能同時達到最優，只能在他們中間進行協調和折中處理，使各子目標函數盡可能達到最優.Pareto最優解即是一個可以接受的“不壞”的解，通常一個多目標問題會具有多個Pareto 最優解.在實際應用問題中，必須根據對問題的了解程度和決策人員的個人偏好，從 Pareto 最優解集中挑選一個或一些解作為多目標優化問題的最優解.

1.2 磷礦堆場多目標優化配礦模型

隨著磷礦逐年開采，富礦越來越少，磷礦石品質逐漸變差，越來越多的礦石采出后不易直接進入浮選流程.通常運至堆場分堆堆放，根據入選原礦要求進行礦石混配后再進入破碎—磨浮流程.

入選原礦一般要求滿足各組分指標的同時，最大限度利用礦石.

假設有n堆原礦參與配礦，各堆礦量為Mi噸(i=1,…,n)，主要品質指標為P2O5、MgO及倍半氧化物，目前考察礦山倍半氧化物均滿足礦石入選要求，該配礦模型暫不考慮倍半指標要求，故考慮品質參數如下：

pi為第i堆原礦石P2O5的含量，%，(i=1,…,n)；

mgi為第i堆原礦石MgO的含量，%，(i=1,…,n)；

參照多目標規劃一般形式(1)可對配礦模型表示入下：

(5)

式(5)中：mi為決策變量，即第i堆礦石配礦量，噸.其中，目標函數具有理想目標值.

通常提高礦石P2O5的含量，MgO等雜質的含量將會升高，兩目標相互沖突，即某一子目標的改善將引起其他子目標性能的降低.故模型為典型多目標規劃問題.

2 多目標優化模型解算

處理多目標優化的方法比較多，如約束法、評價函數法、功效系數法等[24].隨著計算機應用技術的發展，各種用于多目標優化解算的軟件層出不窮.Matlab作為三大數學軟件之一，其強大的科學計算功能和覆蓋面廣、專業性強的工具箱發展成為適合多學科、跨平臺的大型實用科學計算軟件，也為最優化問題的解決提供了有力工具.

2.1 基于Matlab多目標優化模型解算技術

Matlab優化工具箱功能涵蓋：無約束條件非線性極小值；約束條件下非線性極小值，包括目標逼近問題、極大-極小值問題和半無限極小值問題；二次規劃和線性規劃問題；非線性最小二乘逼近和曲線擬合；非線性系統的方程求解；約束條件下的線性最小二乘優化；復雜結構的大規模優化問題等.其中對于多目標規劃問題，Matlab可以利用不同函數進行求解.例如：在評價函數法中我們所得最后評價函數為一線性函數，且約束條件也為線性函數，則可直接利用工具箱提供的線性規劃函數linprog進行求解；若得到評價函數為非線性函數，則可利用fmincon函數求解；如果采用極大極小法求解，則可直接利用工具箱中fminimax函數求解.

對于式(5)表示的配礦模型，原礦石P2O5及MgO的含量均有一確定目標值，可直接調用fgoalattain函數求解.其一般調用格式如下：

[x,fval]=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

其中，x、fval為函數返回的決策變量及目標函數向量值；fun為需要最小化的目標函數；x0為求解的初始值；goal為目標函數期望值；weight為目標權重，其他相關信息詳見Matlab優化工具箱手冊.

選廠對入選原礦不同組分的品質要求，可以通過對goal與weight參數的控制設置來實現.輸入參數中的weight變量為權重向量，可控制低于或超過函數指定目標的相對程度；設置硬約束，以表示某一組分含量嚴格達到目標值.

2.2 解算實例

為了驗證該算法的有效性，計算文獻[25]實例如下:

目標規劃模型為：

(6)

f1(x)和f2(x)在同一優先級下，f1(x)的上限值為20，f2(x)的下限值為800，采用本文解法及文獻[25]解法結果比較如表1.

表1 多目標規劃不同解算方法結果對比Table 1 Results comparison during different solving method for multi-objective optimization

從求解結果對比可以發現，單純型法得到的解不是決策者滿意解，而采用Matlab優化工具箱fgoalattain函數得到的解及文獻[25]遺傳算法得到的三個解均為決策者滿意解.并且，針對該類具有目標值約束或確定期望值的特殊小型多目標規劃問題，fgoalattain函數具有參數設置方便，求解簡單的優勢.

3 磷礦堆場多目標優化配礦實現

針對某磷礦堆場多目標優化配礦模型，應用Matlab優化工具箱中多目標優化函數求解實驗如下：

某礦浮選廠堆場一月份共堆存來自4處不同礦源的原礦待處理，各堆參數如表2所示：

表2 某礦堆場入選原礦庫存情況表Table 2 Inventory of raw ore in a stockyard

選廠入選原礦石主要指標要求如表3所示：

表3 某浮選廠入選原礦品質要求Table 3 Ore quality requirements for mineral processing

假設A、B、C、D礦堆配礦量分別為：m1、m2、m3、m4噸，根據式(5)構建優化模型如下：

(7)

設置目標函數期望值為60 613.91，23.05,4.2；嚴格控制P2O5含量不低于23.05%，MgO不超過4.2%.應用fgoalattain函數解算結果如下：

m1=18 174.1，m2=0，m3=4 014.0，m4=8 333.4即A∶C∶D≈9∶2∶4

對應目標函數結果為：30 521.5，23.05，4.2；計算結果顯示按照A∶C∶D=9∶2∶4混配后，可以得到P2O5含量23.05%，MgO含量4.2%的礦石30 521.5 t.實際配礦操作后，混配礦石30 290 t，實測P2O5含量23.05%，MgO含量4.19%.礦石主要指標均滿足入選礦石要求，充分利用了低磷(C)及高鎂(D)磷礦石，配礦效果明顯.

4 結 語

a. 通過分析磷礦堆場配礦過程，選取P2O5、MgO質量指標及磷礦石最大限度利用為目標，以堆場資源量及決策變量非負為約束，構建了磷礦堆場多目標配礦模型.

b. 磷礦堆場多目標配礦模型簡單、直觀、較完整的描述了堆場配礦工藝過程及目的，很好體現了礦石充分利用的宗旨，符合資源節約型社會建設要求.

c. 應用Matlab優化工具箱多目標規劃相關函數，實現了磷礦堆場多目標配礦模型簡便、有效求解，證明了Matlab優化工具箱對類似堆場多目標配礦模型求解的有效性.

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