基于無抽樣Contourlet變換的圖像增強方法

李 康，周錦標，趙乾宏

（中國衛星海上測控部 江蘇 江陰 214431）

無抽樣Contourlet變換不僅具備多尺度、多方向和各向異性特征，還具備平移不變性，因而是一種優良的圖像處理工具。文中在無抽樣Contourlet變換域構造了一種有效的非線性映射函數，給出了一種基于無抽樣Contourlet變換的圖像增強方法。實驗結果表明，和無抽樣小波變換相比，無抽樣Contourlet變換可以更好地增強圖像的細節信息。

1 無抽樣Contourelet變換

Contourlet變換[1]在進行分解和重構過程中，有大量的下采樣和上采樣操作，使得Contourlet變換缺乏平移不變特性，而變換的平移不變特性在信號處理中發揮著重要的作用。為此，Cunha等Contourlet變換的基礎上，提出了無抽樣Contourlet變換 （NSCT），它是Contourlet變換的平移不變版本，并且已經應用于圖像去噪和圖像增強等領域中。

與Contourlet變換類似，NSCT也是將尺度分解與方向濾波分開進行：首先采用無抽樣的塔式濾波器（Nonsubsampled Pyramid Filter Bank，NSPFB）獲得信號的多尺度分解，然后用無抽樣方向濾波器組 （Nonsubsampled Directional Filter Banks，NSDFB）對得到的各尺度子帶信號進行方向分解，從而得到不同尺度、方向的子帶。與Contourlet變換不同的是，NSCT在信號的分解和重構過程中，取消了下采樣和上采樣操作，使得NSCT不僅具備多尺度、良好的時頻聚集性、高度的方向性和各向異性，而且具有平移不變特性以及各子帶之間具有相同尺寸大小等特性。

NSCT采用的NSPFB為二通道無抽樣濾波器組，如圖1（a）所示。 其中，分解濾波器{H0（z），H1（z）}和合成濾波器{G0（z），G1（z）}滿足 Bezout恒等式，如式（1）所示，從而保證了NSPFB滿足完全重構（Perfect Reconstruction，PR）條件。與一維“à trous”小波[2]算法相似，NSPFB的每一級濾波器需要對上一級中采用的濾波器按采樣矩陣D=2I（其中I為2階單位矩陣）進行上采樣。對于多層NSPFB，j尺度下低通濾波器的理想頻率域支撐區間為 [-（π/2j），（π/2j）]×[-（π/2j），（π/2j）]，而相應的帶通濾波器的理想頻率域支撐區間為從頻率區間[-（π/2j-1），（π/2j-1）]×[-（π/2j-1），（π/2j-1）]中去除頻率支撐區間 [-（π/2j），（π/2j）]×[-（π/2j），（π/2j）]后的部分。因為分解后的低通信號和各尺度下的子帶信號與原信號大小尺寸相同，所以NSPFB的冗余度為J+1（J為NSPFB分解的級數）。

NSCT采用的NSDFB也是一組二通道非下采樣濾波器組，如圖 1（b）所示。 其中，分解濾波器{U0（z），U1（z）}和合成濾波器{V0（z），V1（z）}也滿足 Bezout恒等式，如式（2）所示，從而也保證了NSDFB滿足完全重構條件。采用理想頻率支撐區間為扇形的濾波器U0（z）和U1（z）可以實現二通道方向分解。在此基礎上，對濾波器 U0（z）和 U1（z）采用不同的采樣矩陣進行上采樣，并對上一級方向分解后的子帶信號進行濾波，可以實現頻域中更為精細的方向分解。例如，可以對濾波器U0（z）和 U1（z）分別按采樣矩陣進行上采樣得到濾波器 U0（zQ）和 U1（zQ），然后再對第一級二通道方向分解后得到的子帶進行濾波，可以實現四通道方向分解。對于更多方向的分解，需要采用更為復雜的采樣矩陣對濾波器進行上采樣。如果對某尺度下的子帶進行1級方向分解，可得到21個與源信號尺寸大小相同的方向子帶。

圖1 NSCT中的二通道無抽樣濾波器組Fig.1 Nonsubsampled filter banks in NSCT

將NSPFB與NSDFB相結合，就可以實現NSCT。源信號經NSPFB分解后得到的高頻帶通信號再輸入到NSDFB中以獲得帶通方向子帶，該過程在NSPFB輸出的近似分量上迭代進行，從而實現對源信號的多尺度、多方向分解。由NSPFB和NSDFB的冗余特性，可以得到NSCT的冗余度為，其中J為分解尺度數，lj為j尺度下的NSDFB分解級數。

2 圖像增強方法描述

基于多尺度變換的細節信息增強方法的基本思想是用映射函數來修改原始信號的變換系數，然后用修改后的變換系數進行重構[3-5]。為了有效抑制噪聲系數、增強細節信息系數，通常使用的是非線性映射函數且該函數應具備以下條件[6]：1）強邊緣不應變模糊；2）細節信息應當比強邊緣得到更高的增強；3）具有單調性；4）具有反對稱性。我們在NSCT域構造了一種簡單而有效的非線性映射函數：

其中，角標 j、k 和（m，n）分別代表尺度、方向和位置；C（j，k，m，n）表示 原 始 信 號 的 NSCT 系數 ，C^（j，k，m，n）表示 修 改 后 的 NSCT 系數；M（j，k）表示子帶內系數幅值的最大值；T（j，k）是門限閾值，用于抑制隨機噪聲，這里我們選用K-sigma閾值；p是一個常數，用于控制映射函數的形狀和增強的程度，圖2給出了p值不同時，修改后的NSCT系數和原始信號的NSCT系數之間的關系。可以看到：為了增強細節信息，參數p應當滿足0＜p≤1；而且增強的程度隨著參數p的減小而增大。在增強區間[T（j，k），M（j，k）]和[-M（j，k），-T（j，k）]內，映射函數的斜率大小隨 著系數幅值 的增大而減小，從而，和強邊緣相比，對應于較小幅值系數的細節信息會得到更大的增強；小于和略大于門限 T（j，k）的小幅值系數對應于噪聲和擾動，這些系數可被有效地抑制；此外，該非線性映射函數顯然滿足單調性和反對稱性。

圖2 修改后NSCT系數和原始系數之間的關系Fig.2 Enhanced coefficients versus original coefficients

基于無抽樣Contourlet變換的細節信息增強的方法可總結如下：

1）對輸入的二維信號進行NSCT變換，從而得到NSCT系數。

2）用式（3）的非線性映射函數修改系數 C（j，k，m，n），從而得到修改后的系數C^（j，k，m，n）。

3）用C^（j，k，m，n）進行 NSCT 重構，得到增強后的信號。

3 實驗結果

我們選擇 512×512大 小 的標準 圖 像 Barbara、Lena、Peppers進行實驗，采用3尺度NSPFB變換，從最細尺度到最粗尺度，每個尺度下的方向數目依次取8、4、4，取0.7。表給出了使用不同方法降噪后圖像的細節方差 （DV）和背景方差（BV），可以看到，基于無抽樣Contourlet變換的圖像增強方法可以更好地增強圖像的微弱信息。

表1 不同增強方法的增強效果比較Tab.1 Enhancement results with different m ethod

4 結 論

文中研究了基于無抽樣Contourlet變換的圖像增強方法，在無抽樣Contourlet變換域構造了一種簡單有效的非線性映射函數，利用無抽樣Contourlet變換的多尺度、高度方向性和各向異性以及平移不變特性實現圖像細節的增強，并用測試圖像算例驗證了該方法的優越性。

[1]Do M N，Vetterli M.The contourlet transform:an efficient directional multiresolution image representation[J].IEEE Transactions on Image Processing，2005，14（12）:2091-2106.

[2]Mallat S.A wavelet tour of sinal processing[M].2nd ed.New York:Academic，1999.

[3]Lu J，Jr.Healy D M.Contrast enhancement of medical images using multiscale edge representation[J].Optical Engineering，1994，33（7）:2151-2161.

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[5]ZONG Xu-li， Andrew F L， Edward A G， et al.De-noising and contrast enhancement via wavelet shrinkage and nonlinear adaptive gain[J].Wavelet Applications，Proceedings of SPIE，1996，2762:566-574.

[6]Sakellaropoulos P，Costaridou L，Panayiotakis G.A waveletbased spatially adaptive method for mammographic contrast enhancement[J].Physics in Medicine and Biology，2003，48（6）:787-803.