梁結構的振動響應研究

王曉俠 劉見華

（1.海軍駐上海江南造船（集團）有限責任公司軍事代表室 上海201913；

2.中國船舶及海洋工程設計研究院 上海 200011）

0 引 言

梁結構是船體結構的基本單元。船舶上存在大量的“梁系”，船體中的骨架如橫梁、肋骨、肋板、縱骨和縱桁等大多是細長的型鋼或組合型材，這些相互連接的骨架系統被稱作“梁系”。如上甲板縱骨，在上甲板的骨架中，縱骨的尺寸最小，它穿過強橫梁并通過橫艙壁在縱向保持連續。在計算縱骨時認為強橫梁有足夠的剛性支持縱骨，從而可考慮作為縱骨的剛性支座。縱骨在橫艙壁處則假定為剛性固定端，從而縱骨和強橫梁組成的梁系就可簡化為一有限的具有剛性支座支撐的連續多跨梁。研究梁結構的響應有助于弄清船體內結構振動能量的傳遞，從而有助于弄清船體內結構噪聲的傳遞途徑。

一般在求解梁結構的響應時［1-2］，當梁的具體邊界條件發生變化時，均需要重新建立方程進行計算。本文引入邊界阻抗（boundary impedances）［3］的思想，采用邊界阻抗來統一描述梁端的邊界條件，并應用彎曲波理論來分析求解歐拉梁結構的簡諧響應。

1 邊界阻抗

下頁圖1所示具有左、右邊界阻抗分別為［ZL］和［ZR］的梁彎曲振動方程為：

圖1 點激勵的有限梁模型

式中：E為楊氏彈性模數；I為梁剖面的二次慣性矩；ρ為密度；S為梁的橫剖面面積；F0為施加于梁上x0處的點力的幅值；ω為角頻率；W為位移。

位移W假定具有eiωt的簡諧形式，因此W（x）根據波動分析法可表示為：

為了采用邊界阻抗來描述邊界條件對梁振動特性的影響，首先必須定義邊界阻抗。邊界阻抗是指將梁邊界的彎矩及剪力和梁邊界的運動函數（如位移和轉角）聯系起來的量。邊界處的彎矩M和剪力F采用位移的空間偏導數的泰勒級數表示為：

式（3）、（4）中：m1、m2、m3、m4和 f1、f2、f3、f4是泰勒級數系數。根據結構力學知識，彎矩和剪力可表示為：

聯立式（3）～（6），可得到式（7）：

根據式（8）可求得彎矩和剪力為：

式（7）經變換后得到：

式（9）可表示為：

式（11）即為邊界阻抗矩陣，可用來描述簡單彎曲振動梁邊界彎矩和剪力與邊界位移和轉角的關系。

對于標準的邊界條件，如簡支、自由、固支、彈性支座等，Zmw˙和 Zfθ˙均為 0，文獻［3］給出了標準邊界條件的邊界阻抗。

2 有限梁結構的響應

考慮一長為L，左、右邊界阻抗分別為［ZL］和［ZR］的均勻歐拉梁， 在梁上x0處施加簡諧點力F0eiωtδ（x0）激勵，梁上任意一點x（0≤x≤L）處的彎曲位移為：

對于一均勻的多跨歐拉梁，如圖2所示。

圖2 受激勵的有限多跨梁模型

簡諧點力 F0eiωtδ（x0）施加于 x=x0處，梁中間的簡單支座提供橫向反力Rj。在梁上任意一點x（0≤x≤L）處的彎曲位移為：

式（13）、（14）中：k1=k，k2=ik，k3=-k，k4=-ik，k 為梁的彎曲波波數；an和bn為點響應函數。

對于歐拉梁，a1=-1/4EIK3，a2=ia1，b1=-1/4EIK2和b2=-b1，如果 x＜x0，jm=-1；如果 x＞x0，jm=1。

式（13）中有 N+3 個未知數。 A1，A2，A3，A4，R1…RN-1，這些未知數通過梁兩端的邊界條件和中間支座的位移條件來求解。對于具有任意邊界條件的多跨梁，有：

在梁的左邊界，即x=0處：

利用式（5）和（6）來代替 M（0）和 F（0），可將式（16）寫為：

同理，在梁的右邊界，即經x=L處，滿足：

聯立式（15）～（18），可得到 N+3 個方程，以矩陣形式表示如下：

上式中，矩陣［x］是未知數列陣：矩陣［α］和［F］見文獻［4］。

求解矩陣（19），可得到 N+3 個未知數 A1，A2，A3，A4，R1…RN-1的值，從而根據式（13）可得到有限梁結構在外力激勵下響應的統一方程。

3 數值算例

為了說明具體求解梁的響應時對這些元素的處理方法，下面求解一長為L的單跨簡支梁在x=L/4處受點力激勵的響應。

對于兩端簡支梁其彎曲位移形如式（12），兩端邊界阻抗為：

式（21）中，［ZL］和［ZR］為兩端簡支梁的左端邊界阻抗矩陣和右端邊界阻抗矩陣。

根據式（19）和式（21），可得到如下四個方程：

在方程（23）和（25）中，因為 ZLfw˙和 ZRfw˙為 ∞，所以這個方程中左邊第二項和右邊第二項均可忽略，并且在式（23）中兩邊同時消去 ZLfw˙，式（25）中兩邊同時消去 ZRfw˙。 因此聯立式（22）和（25）可求解得到A1，A2，A3，A4，從而可根據式（12）求得兩端簡支梁的響應。

圖 3 為單跨簡支梁在 x=L/4 處受點力 F0eiωtδ（x0）激勵的響應。圖3中橫坐標為無因次頻率kL，縱坐標為無因次慣性（w¨/F0）ρhL，其中：h 為梁的高度，L 為梁的長度。

圖3 單跨簡支梁的無因次頻率－響應曲線

4 結 論

本文采用波動分析法研究了有限均勻歐拉梁結構振動響應，引入邊界阻抗的思想來統一定義梁端的邊界條件。將梁端點的邊界阻抗定義為一個2×2的阻抗矩陣，以描述力和力矩以及位移和轉角的關系，建立了求解標準邊界條件下有限梁結構在簡諧外力激勵時響應的統一方程，為分析計算具有標準邊界條件的梁結構的振動響應奠定基礎，從而可進一步分析梁結構的輸入功率流和傳遞功率流。

［1］WU C J，WHITE R G.Vibrational power transmission in a finite multi-supported beam［J］.Journal of Sound and Vibration，1995，181（1）：99-114.

［2］MEAD D J，YAMAN Y.The harmonic response of uniform beams on multiple linear supports：A flexural wave analysis［J］.Journal of Sound and Vibration，1990，141：465-484.

［3］PAN X，HANSEN C H.Effect of end conditions on the active control of beam vibration［J］.Journal of Sound and Vibration，1993，168（3）：429-448.

［4］劉見華.艦船結構聲傳遞的阻抑機理及應用研究［D］.上海：上海交通大學，2003.