空間機器人終端滑模路徑跟蹤控制

胡慶雷，徐 梁，霍 星，馬廣富

(哈爾濱工業大學控制科學與工程系，150001 哈爾濱)

空間機器人終端滑模路徑跟蹤控制

胡慶雷，徐 梁，霍 星，馬廣富

(哈爾濱工業大學控制科學與工程系，150001 哈爾濱)

對存在摩擦干擾力矩的自由漂浮空間機械臂任務空間路徑跟蹤控制問題采用終端滑模，實現了跟蹤誤差的有限時間鎮定.同時考慮執行機構存在的死區特性，設計了自適應補償機構，通過自適應控制來學習死區特性的上界，以確保跟蹤控制的有效執行.最后基于Lyapunov方法，從理論上證明了閉環系統的全局穩定性，并通過數值仿真證明此控制器能夠有效實現任務空間路徑跟蹤控制，且對干擾具有一定的魯棒性.

自由漂浮空間機械臂;路徑跟蹤;終端滑模;死區特性;自適應

在未來的空間活動中，眾多技術人員［1－3］認識到利用機器人協助完成諸如交會對接、空間站在軌組裝以及航天器的日常維護工作等是一種最佳選擇.空間機器人執行任務時，都需要對機械臂末端執行器在任務空間內進行路徑跟蹤控制.當本體姿態不受控時，由于存在角動量守恒，自由漂浮空間機器人是1個典型的欠驅動二階非完整系統，其任務空間路徑跟蹤控制問題比地面機器人更為復雜.

對于空間機器人，如何設計任務空間路徑跟蹤控制器，目前己有一定的研究成果.文獻［4］在空間機器人本體姿態受控的情況下，考慮環境干擾的存在，設計了終端滑模跟蹤控制器，實現末端執行器的任務空間快速跟蹤控制.文獻［5］同樣針對本體姿態受控的空間機器人系統，設計了末端路徑跟蹤控制器.考慮到更為廣泛的自由漂浮狀態，在空間機器人系統本體姿態不受控時，文獻［6－7］設計了任務空間路徑跟蹤控制器，但控制器形式復雜，需求解配平項，實現起來十分困難.而且上述文獻都沒有考慮工程中執行機構本身的非線性特性，從而大大限制了其實際應用.

為此，本文在上述研究結果的基礎上，針對本體姿態不受控的空間機器人任務空間路徑跟蹤問題，提出一種自適應終端滑模控制器，以實現摩擦干擾力矩和執行機構死區特性存在時，系統任務空間的快速有效跟蹤.該方法采用自適應控制技術在線學習、估計系統中不確定參數，同時變結構控制器的采用也使得系統對外界的干擾具有一定的魯棒性.Lyapunov穩定性分析證明該跟蹤控制器能夠實現對末端抓手的全局漸近跟蹤控制.最后，將該控制方法應用于平面兩連桿自由漂浮空間機器人，仿真結果表明，此方法能夠在干擾因素存在時，實現末端抓手的任務空間路徑跟蹤控制.

1 模型建立

不失一般性，考慮作平面運動的兩關節自由漂浮機械臂，系統結構如圖1所示.整個系統由本體 B0、Bi(i=1，2)連桿組成.

圖1 平面兩連桿自由漂浮機械臂系統

其符號定義如下:b0為本體質心O0到關節O1的距離;li為連桿 Bi(i=1，2)的長度;mi為Bi(i=0，1，2)的質量;Ji為Bi(i=0，1，2)的相對于質心的轉動慣量;OXIYI為慣性空間坐標系標架;θ為x0與YI軸的夾角;qi為xi-1軸與xi軸之間的夾角(i=1，2);rp為末端執行器的位置向量.

假設此剛性空間機械臂本體的位置和姿態都不受控，則在運動過程中，系統滿足線動量和角動量守恒，相應的，動力學方程可以表示為下列形式:

其中qA=［θ q1q2］T;D∈R3×3為系統的慣量矩陣;B∈ R3×1包含向心力和科氏力項;τA=［0 τ］T∈ R3×1表示系統的廣義輸入，τ =［τ1τ2］T分別是兩個關節的執行機構輸出力矩;fA=［0 f］T∈R3×1表示系統的廣義摩擦力矩，f=［f1f2］T分別表示作用于兩個關節上的摩擦力矩.

如果定義X=［xeye］T表示機械臂末端執行器在慣性空間中的位置矢量，由系統的幾何關系以及動量守恒，可得到如下的運動學方程:

其中 q= ［q1q2］T，J ∈ R2×2表示廣義雅可比矩陣.

由于機械設計和制造方面的原因，系統執行機構通常都會存在“死區”特性，會惡化系統的調節品質，影響系統的輸出精度.執行機構的死區特性對控制系統造成的影響可以用圖2來表示，其中u代表控制輸入，τ代表執行機構輸出，通常情況下，兩者并不相同.

圖2 執行機構死區特性

一般情況下，系統執行機構的死區特性可用控制輸入u與執行機構輸出τ之間的關系來描述，為簡化起見，本文考慮如下死區特性:

其中br＞0、bl＜0、m ＞0均為常值;u代表控制輸入;τ代表執行機構的輸出，據此可以將執行機構的輸出分為兩部分，即

其中:

描述了執行機構的死區特性，而mu(t)則代表執行機構的對控制輸入的響應.

針對自由漂浮空間機器人系統(1)～(2)，在全局范圍內作如下假設.

假設1 關節摩擦力矩f有界，且滿足

其中fMi(i=1，2)為未知的正常數，是向量fM∈R2×1的元素.

假設2 執行機構的死區特性δ是有界的，即

其中δMi(i=1，2)為未知的正常數，是向量δM∈R2×1的元素.

假設3 系統在跟蹤指定參考路徑Xd時，運動過程中不存在奇異位形，即|J|≠0.

注1 通常情況下，空間機械臂的雅可比矩陣J會出現運動學和動力學奇異現象，導致逆運動學無法求解，但在實際路徑跟蹤時，會首先進行路徑規劃，選取一條不發生奇異的路徑，因此假設3是合理的.

至此，本文的控制目標是針對系統(1)～(2)，當存在執行機構死區特性以及摩擦干擾力矩時，在假設1、2、3的條件下，設計控制律τ，使得系統輸出X跟蹤指定的參考路徑Xd.

2 模型變換

從系統的動力學方程(1)可以看出，自由漂浮空間機器人系統是1個欠驅動機械系統，可以證明在本體姿態不受控制時，系統存在二階非完整約束，為實現空間機器人系統的路徑跟蹤，需對模型進行一定的變換.

對式(1)展開可以得到

由矩陣D可逆［10］，可知D11可逆，于是從式(3)中可得

結合式(4)，剛性自由漂浮空間機器人的動力學方程可以改寫為如下形式:

其中

注2 由矩陣D正定對稱可知，矩陣M正定對稱.這樣得到了關節控制力矩與關節轉角的動力學方程，從方程的形式中可以看出，這是1個全驅動的二階系統，控制輸入為空間機械臂的關節力矩，輸出量為關節轉角.

為實現任務空間的軌跡跟蹤任務，必須得到控制力矩與機械臂末端執行器位置之間的動力學方程.對運動學方程(2)兩邊進行微分可以得到

可知，關節轉角的加速度與末端執行器運動加速度和速度之間的關系如下:

將上式代入式(6)中，經過化簡可得

定義

這樣可以得到從輸入關節控制力矩τ到末端執行器位置矢量X的動力學方程為

注3 由矩陣M、J可逆，可知矩陣E可逆.此時，對自由漂浮空間機器人系統(1)～(2)的任務空間路徑跟蹤簡化為對系統(7)的跟蹤控制問題，下面將針對存在摩擦干擾力矩和輸出死區特性的情況下，設計控制器，使得X可以跟蹤指定的參考路徑Xd.

3 滑模自適應控制器設計

滑模變結構控制對非線性系統參數攝動、外界擾動具有很好的魯棒性，在機器人、飛行器等眾多領域廣泛應用.終端滑模(TSM)［11］控制器因具有使系統狀態在有限時間內收斂到平衡點的優點，相對于傳統的線性滑模控制器具有更高的穩態跟蹤精度，因此本文采用終端滑模來實現系統的有限時間跟蹤，并在控制器的設計中，考慮摩擦干擾力矩與系統執行機構的死區特性，使控制器具有一定的工程應用價值.

假設Xd=［xedyed］T是末端執行器在任務空間中期望的跟蹤路徑，這樣可以得到系統的跟蹤誤差向量為e=X-Xd.

則由式(7)可知，跟蹤誤差與控制輸入之間有如下的關系:

注4 對向量 z∈ Rn×1，定義

設計滑動模態面如下［11］:

其中β為正常數，q、p為正奇整數，且滿足條件q＜p.可知，當系統到達滑動模態面S=0之后，誤差將在有限時間 tf內收斂到零［11］，tf表達式如下:

其中e(0)表示系統到達滑模面時的初始誤差向量.

注5 Λ(·)表示以向量·為對角線元素的對角矩陣.

對滑模面S進行時間的一階微分可得到

定義如下向量:

可以得到的關于系統滑動模態面的動力學方程為

其中Yd代表系統中的已知量.于是，對系統(1)～(2)的路徑跟蹤問題轉化為對系統(10)的鎮定控制問題，如果能夠使系統在有限時間內到達滑動模態面，那么末端執行器將在有限時間內到達并沿著指定路徑運動.

當考慮執行機構死區特性時，可以將式(10)寫成如下的形式:

其中gδ代表了執行機構的非線性死區特性對控制系統所造成的影響，δ為系統的死區特性的描述，是一個與控制輸入u無關的非線性項.

為彌補死區特性以及摩擦干擾力矩對控制系統所造成的影響，本文在變結構控制的基礎上，設計了自適應補償機構，整個系統的結構如圖3所示.

圖3 帶有補償機構的控制系統

控制輸入包含兩部分:

其中:

其中K1、K2為正定的對角矩陣;^fM、^δM為對系統摩擦干擾力矩和執行機構死區特性上界的估計值.

上述控制律中u1代表系統的滑模變結構控制器的輸出控制指令，其設計目的是使系統的跟蹤誤差在有限時間內到達滑動模態面，進而實現系統跟蹤誤差的有限時間鎮定.u2代表控制自適應補償機構的輸出，它被設計用來消除系統執行機構的死區特性以及摩擦干擾力矩對系統跟蹤所造成的影響.其參數的更新律設計如下:

注6 對向量 s∈ Rn×1，定義

其中|si|(i=1，2，…，n)代表標量si的絕對值.

定理 針對系統(1)～(2)，在存在摩擦干擾力矩和執行機構死區特性的情況下，若滿足假設1、2、3，采用控制律(12)～(13)和自適應更新律(14)，系統跟蹤誤差將在有限時間內收斂到零.

證明 考慮如下的Lyapunov函數:

對上述Lyapunov函數求取對時間的一階微分可得

將式(11)～(12)代入式(15)中可得

將控制輸入(13)代入式(16)，經過化簡可以得到

由前文定義可知

注意到

因此

代入自適應更新律(14)可得

由此可知，系統將在有限時間內到達滑動模態面S，由終端滑模特性可知，在此之后，經過有限時間tf，系統的跟蹤誤差將達到零，也就意味著系統的跟蹤誤差將在有限時間內收斂到零.至此，定理得證.

注7 控制律(13)的Yd中含有負指數項，對于表示滑動模態面的式(9)，如圖4所示.

圖4 系統相軌線

如果e先于s收斂到零，也即系統軌線穿越e=0軸，則會出現奇異現象，會導致所得到的Yd有限時間內無界，進而導致控制u1在有限時間內無界.因此系統初始值的選取必須滿足圖中所示的陰影區域，即

4 仿真驗證

為驗證本文所提出控制器的有效性，將其應用于圖1所示的系統進行仿真.實際機械臂系統物理參數選取如表1.

表1 空間機器人仿真參數

此外，為滿足不發生奇異條件，機械臂的初始狀態選取如下:

期望的末端執行器跟蹤路徑為

摩擦干擾力矩選取為

其單位為N·m.

假設執行結構的非線性特性參數為

控制器增益選取如下:

為進行對比，本文采用反饋線性化［12］進行對比，考慮如下4種情況進行仿真比較.

第一種情況.假設不存在摩擦干擾力矩和執行機構死區特性，分別采用這兩種方法，跟蹤參考路徑.

第二種情況.假設只存在執行機構死區特性，分別采用3種方法，跟蹤參考路徑.

第三種情況.假設摩擦干擾力矩及執行機構死區特性同時存在，采用本文提出的方法，跟蹤參考路徑.

第四種情況.假設不存在摩擦干擾力矩和執行機構死區特性，對本體姿態施加干擾力矩，采用本文提出的方法，進行末端路徑跟蹤控制.

其中文獻［11］反饋線性化控制器在仿真中采用形式如下:

其控制器參數選取為

第一種情況.假設不存在摩擦力矩和執行機構死區特性，其仿真結果如圖5所示.從仿真結果可以看出，在跟蹤指定的參考路徑時，當不考慮摩擦力矩和執行機構死區特性時，采用本文所提出的自適應終端滑模控制，系統的響應速度非常快，理論上采用終端滑模控制，系統的跟蹤誤差將在有限時間內收斂到零，而采用反饋線性化的控制結果，跟蹤誤差只有在時間趨向于無窮遠時才會收斂到零.同時，終端滑模的控制方法，可以通過調節參數控制收斂速度，使其具有更高的跟蹤性能.

第二種情況.假設只存在執行機構死區特性，其仿真結果如圖6所示.由仿真結果可以看出，在這種情況下，采用反饋線性化的控制方案，系統是發散的，甚至還出現了奇異現象，而沒有開啟自適應補償機構的滑模控制器同樣也出現了跟蹤誤差較大的情況，說明研究執行機構的死區特性是十分有必要的.

圖5 理想情況下仿真結果

圖6 存在執行機構死區特性時的仿真結果

當對終端滑模控制器采用自適應補償機構后，在執行機構存在死區特性時，仿真結果如圖7所示，可以看出系統的跟蹤性能有較大的改善，而且同圖6對比可以發現，自適應補償機構較好的彌補了執行機構死區特性所造成影響，表明設計有效.

圖7 帶有補償機構的滑模控制仿真結果

第三種情況.假設摩擦力矩和執行機構死區特性同時存在，其仿真結果如圖8所示.從圖中可以看出，系統的跟蹤效果很好，很快跟蹤上指定路徑，且對干擾具有一定的魯棒性.

第四種情況.假設還存在對本體姿態的擾動.通常情況下，環境干擾力矩對基座姿態還會造成相當大的影響，這都會對空間機械臂系統執行末端路徑跟蹤造成一定的影響，為了研究，在本文中假設系統本體存在周期性的脈沖干擾力矩.假設此干擾力矩周期為2 s，幅值為100 N·m，脈沖寬度為0.02，同時仍假設摩擦干擾力矩和執行機構死區特性存在，采用本文所提出的自適應終端滑模進行控制仿真，結果如下圖9所示.從圖9中可以看出，系統在本體姿態存在擾動時，末端仍能有效跟蹤指定路徑.

通過如上對比，可以看出當存在摩擦干擾力矩和執行機構死區特性，甚至存在對本體姿態擾動時，本文所提出的控制器仍能有效完成跟蹤任務，表明了控制器設計的有效性.

圖8 摩擦及死區特性存在時系統跟蹤輸出

圖9 本體存在干擾時的仿真結果

5 結論

本文設計了終端滑模控制器，使得存在摩擦干擾力矩和執行機構死區特性的自由漂浮空間機械臂，能夠在有限時間內跟蹤上指定的參考路徑.由于考慮到了空間機械臂系統執行機構的死區特性，使得該控制器具有一定的實用價值.最后將本文提出的方法應用于平面兩連桿自由漂浮機械臂的跟蹤控制仿真，結果表明該方法能夠很好的實現跟蹤目標，且具有良好的魯棒性.

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Path-following of free-floating space manipulator system using adaptive terminal sliding mode control

HU Qing-lei，XU Liang，HUO Xing，MA Guang-fu

(Dept.of Control Science and Engineering，Harbin Institute of Technology，150001 Harbin，China)

The tracking problem of free-floating space manipulator system in task space with friction disturbance torque is investigated in this paper.A terminal sliding mode controller is proposed to achieve finite time stabilization of the system.Furthermore，taking into account the existence of dead-zone nonlinearity of the actuator，an adaptive compensator is designed to estimate its upper bound and thus ensure the effectiveness of the proposed controller.Lyapunov stability analysis proves that the closed-loop system is globally asymptotic stable.Numerical simulations show that this controller can effectively achieve inertia space tracking task and also be robust to external disturbances.

Free-Floating space manipulator;path-following;terminal sliding mode control:dead-zone nonlinearity;adaptive control

TH133;TP183

A

0367－6234(2012)07－0001－07

2011－05－16.

國家自然科學基金資助項目(61004072);高等學校博士學科點專項科研基金資助項目(20102302110031);黑龍江省留學回國人員科學基金資助項目(LC08C01);哈爾濱市留學回國基金資助項目(2010RFLXG001);中央高效基本科研業務費專項基金資助項目(HIT.NSRIF.2009003).

胡慶雷(1979—)，男，副教授，博士生導師;

馬廣富(1964—)，男，教授，博士生導師.

胡慶雷，huqinglei@hit.edu.cn.

(編輯 張 宏)