幾何參數對旋轉薄壁圓柱殼振動特性的影響

劉彥琦，褚福磊

(清華大學 精密儀器與機械學系，北京 100084)

圓柱殼是典型的工程結構，廣泛應用于航空、航天、機械及船舶等領域，其動力學行為廣受關注［1－5］。圓柱殼的固有頻率特性是系統振動分析的基礎與關鍵，但在圓柱殼頻率特性研究中，細長圓柱殼頻率特性研究較多，短粗圓柱殼頻率特性則較少關注。鑒于此，本文將研究幾何參數(厚度與半徑之比、半徑與長度之比)對圓柱殼頻率與振型比的影響，重點分析半徑大于長度的圓柱殼振動特性。

1 振動方程

圓柱殼動力學模型示意圖見圖1，圓柱殼以角速度Ω轉動，其中厚度為h，半徑為r，長度為L。采用曲坐標系oxθz描述旋轉圓柱殼系統，u，v與w分別為圓柱殼在x，θ與z方向位移。

圖1 旋轉圓柱殼模型示意圖Fig.1 Mode of rotating circular cylindrical shell

基于Love薄殼理論，考慮慣性力、科氏力與離心力，采用Hamilton原理建立旋轉薄壁圓柱殼振動微分方程如下:

其中:ρ為密度，E為彈性模量，μ為泊松比，K=Eh/(1－μ2)為薄膜剛度，D=Eh3/12(1－μ2)為彎曲剛度。

上述方程描述了旋轉薄壁圓柱殼在u，v和w三個方向的振動，其中等式左端包含慣性力項、科氏力項及離心力項，右端為剛度項。

2 振動特性分析

將圓柱殼的振型表示為軸向梁函數與周向三角函數組合形式，系統的解可表示為［6］:

其中，φ(x)=a1cosh(λmx/L)+a2cos(λmx/L)－σm·［a3sinh(λmx/L)+a4sin(λmx/L)］離散系統Galerkin得:

整理得:

由方程(4)有非平凡解的條件可得到系統頻率方程:

其中，βi為系數。

基于上述分析，本節將針對五種不同邊界條件，探討幾何參數對旋轉圓柱殼固有頻率特性的影響。

簡支－簡支(S－S):

固支－簡支(C－S):

固支－自由(C－F):

自由－簡支(F－S):

固支－固支(C－C):

旋轉圓柱殼系統參數選為:μ=0.3，E=1.078×105MPa，ρ=4.5×103kg/m3，N=6000 r/min;針對振型(m=1，n=6)的情況，基于上述給定參數，分別分析幾何參數對旋轉圓柱殼固有頻率和振型比的影響。

圖2 h/r對頻率特性的響應Fig.2 Frequency characteristic for different h/r

厚度與半徑之比(h/r)是描述圓柱殼形狀的重要指標之一，針對五種不同邊界條件情況，厚度與半徑之比對圓柱殼固有頻率的影響如圖2所示。由圖可知，隨著h/r的增大，五種邊界條件下圓柱殼固有頻率值均單調增加，且變化幅度較小。

半徑與長度之比(r/L)是描述圓柱殼形狀的重要指標之二，半徑與長度之比對圓柱殼固有頻率的影響，如圖3～圖6所示。由圖可知，在0.01＜r/L＜0.1時(圖3)，除C－F時固有頻率隨r/L的增大而減小外，其它幾種邊界情況固有頻率均隨r/L的增大而增大;且頻率值按C－C，F－S，C－S，S－S，C－F依次由大到小。

在0.1＜r/L＜0.6時(圖4)，除 C －F時固有頻率隨r/L的增大而減小外，其它幾種邊界情況時固有頻率均隨r/L的增大而增大。另外，當r/L＞0.4時，五種邊界條件下圓柱殼固有頻率值的大小排序變化明顯，即按F－S，S－S，C－S，C－C，C－F的順序圓柱殼固有頻率值依次由大到小。由此可見，隨著半徑與長度之比的逐漸增大，不僅圓柱殼固有頻率值的大小在變，五種邊界圓柱殼固有頻率值的大小排序也在變。

圖3 0.01＜r/L＜0.1時頻率特性Fig.3 Frequency characteristic 0.01 ＜r/L ＜0.1

圖4 0.1＜r/L＜0.6時頻率特性Fig.4 Frequency characteristic 0.1 ＜ r/L ＜0.6

圖5 0.1＜r/L＜1時頻率特性Fig.5 Frequency characteristic 0.1＜r/L＜1

當r/L增大到0.6時，C－F邊界條件下圓柱殼的固有頻率突然增大，且遠大于其它幾種邊界情況下的圓柱殼固有頻率值，見圖5。

圖6 0.01＜r/L＜4時頻率特性Fig.6 Frequency characteristic 0.01 ＜ r/L ＜4

圖6表述了在0.01＜r/L＜4范圍內，半徑與對比系統頻率系數的影響。由圖可知，r/L較小時，即長度大于半徑的圓柱殼，系統的固有頻率較小;對于長度小于半徑的短圓柱殼，系統的頻率遠大于細長圓柱殼的固有頻率，并分別在 r/L 值為 1.5，2.，2.5，3 時有最大值，然后隨著r/L的增大而減小，但依然大于細長圓柱殼的頻率值。由上述分析得知:厚度與半徑之比對圓柱殼固有頻率的影響較小，半徑與長度之比對圓柱殼的固有頻率影響顯著。

除固有頻率特性外，振型比是描述振動形態另一個主要因素。旋轉圓柱殼系統的振型比為:

圖7 圓柱殼的振型比Fig.7 Ratio of vibration mode for circular cylindrical shell

振型比為兩個振動形態之比值，圖7分別為簡支－簡支、固支－簡支、固支－自由、自由－簡支、固支－固支五種邊界條件下圓柱殼的振型比圖。由圖可知，在給定的幾種邊界條件下，半徑與長度之比r/L對圓柱殼系統振型比的影響顯著;對于細長圓柱殼(r/L較小)，w方向振動最大，但對于短粗圓柱殼(r/L較大)，固支－自由圓柱殼u方向的振動最大，其它固支－簡支，固支－自由，自由－簡支，固支－固支四種邊界情況均為v方向的振動最大。

3 結論

本文分析了幾何參數厚度與半徑之比h/r及半徑與長度之比r/L對旋轉薄壁圓柱殼固有頻率與振型比的影響。結論如下:

(1)在給定的幾種邊界條件下，圓柱殼固有頻率隨著厚度與半徑之比h/r的增加而單調增大，變化幅度較小。

(2)半徑與長度之比對圓柱殼固有頻率影響顯著，且隨著r/L的增大，頻率值并不單調變化，在某范圍內，系統的固有頻率明顯高于其它范圍內的固有頻率。

(3)r/L處于不同范圍內時，不同邊界簡支－簡支，固支－簡支，固支－自由，自由－簡支，固支－固支情況下，系統頻率值的大小排序發生變化。其中，細長圓柱殼在固支－固支時頻率最大，固支－自由時頻率最小;相對較短的圓柱殼在自由－簡支時頻率最大。

(4)隨著半徑與長度之比的逐漸增大，當半徑大于長度(r/L＞1)時，圓柱殼的固有頻率明顯高于半徑小于長度(r/L＜1)時的固有頻率。并且隨著r/L的繼續增大，圓柱殼固有頻率值又開始減小。

(5)對于細長圓柱殼，應重點關注w方向振動;對于短粗圓柱殼應重點關注v方向或u方向的振動。細長圓柱殼的振動特性與短粗圓柱殼的振動特性差異顯著。

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