基于飽和約束LMS算法的磁懸浮隔振器控制研究

陳 昊，王 永，李嘉全，魯 洋

(1.中國科學技術大學 自動化系，合肥 230027;2.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所 航測部，長春 130033)

在振動控制中，由于低頻振動波較長，對其控制較困難。如果僅考慮用被動控制技術，好效果難以達到。最小均方(LMS)算法以其算法簡單、計算量小、易于實現等優點，在振動主動控制中得到廣泛的應用。

在現實條件下，控制過程會遇到各種約束，如一種典型的約束就是控制量飽和約束。該約束可能由多個因素產生，如控制器本身的限制、為保護作動器的考慮等。為了解決這一問題，最常用的一種處理飽和約束的方法就是直接對控制器輸出信號(作動器的驅動信號)進行限幅。而限幅將會產生多個倍頻信號，如果將它施加到隔振器系統上，當倍頻信號中存在與隔振器系統共振頻率接近的信號時，很容易引起系統共振，非但起不到減振效果，反而會造成對象振動量的加大。國內外針對這類含有飽和約束的問題也提出了一些算法，如Rafaely［1］算法。這種算法要得到很好的抗飽和效果，在懲罰函數設計時需要留有一定的預量，但預量的大小是很難確定的;同時這種算法需要分段更新抽頭向量，容易引入倍頻信號。

1 LMS算法

圖1 自適應前饋振動主動控制系統Fig.1 Schematic diagram of adaptive feediorward control system

則控制器設計方法即為標準的LMS算法。

2 抗飽和LMS算法改進

LMS算法并沒有考慮作動器飽和約束問題，因此得到的控制量可能遠遠大于作動器的允許輸入幅值。為了保護作動器，它的輸出控制量必須滿足如下關系式:

一種簡單的方法是對控制量信號進行限幅。這種方法可以達到很好的抗飽和性，但其產生的倍頻信號容易激起減振系統共振，非但不能起到減振的效果，還會造成對象振動量的加大，甚至損壞作動器。

文獻［1］提出一種在代價函數中加入懲罰函數的方法。其中飽和約束下的控制器設計等價于如下性能指標的最小化:

將約束項轉變成懲罰項加入到代價函數中，得到含有懲罰項的代價函數:

由于飽和約束函數是分段函數，在求控制律時也分段考慮。

由于加入懲罰函數的代價函數是一個分段函數，當控制量沒有超出飽和值(即時，懲罰項不起作用。只有當控制量超出飽和值(即時，才開始對代價函數進行懲罰。所以，如果要取得很好的抗飽和效果，q的取值要低于飽和值，即留有一定預量，但預量的大小很難確定。

將Rafaely抗飽和算法運用在磁懸浮隔振器上，對于q的選擇是一個難點，如果q值選擇過小，雖然可以滿足抗飽和效果，但要損失一定的減振效果，如果q值選擇過大，則很容易引起磁懸浮隔振器共振，使控制效果變壞。因此，研究一種在不依賴于q值選擇的情況下可達到很好抗飽和效果的算法尤為必要。

為取得好的抗飽和效果，當控制量小于飽和約束時，就應該對代價函數進行小的懲罰，而當飽和約束超過飽和值時，對代價函數的懲罰急劇增大。據此，本文提出一種加入連續懲罰函數的方法，這種算法不僅具有很好的抗飽和效果，同時產生的其它倍頻信號也很小，可忽略。其中選擇連續懲罰函數為:

將約束項轉變成懲罰項加入到代價函數中，得到含有懲罰項的代價函數:

對其求偏導可得梯度向量瞬態估計為:

最后得到一個新的更新抽頭向量的遞歸關系式為:

3 仿真與實驗

3.1 系統仿真

通過MATLAB編程，對上述三種方法，即限幅算法、Rafaely算法以及加入連續懲罰函數算法，進行仿真實驗。實驗條件為:

輸入:U(n)=sin(0.1884n)，期望輸出:d(n)=10sin(0.1884n+1.9)，飽和值:q=5，采樣周期:0.002 s，步長因子:0.005，頻率:15 Hz，仿真曲線見圖 2～圖10。

由于仿真中輸入的是單一頻率的正弦曲線，經過抗飽和減振環節后所產生的倍頻信號都是因為抗飽和環節的非線性引起的，三種抗飽和算法的抗飽和性能和誤差信號中倍頻信號的幅值決定了算法的優劣。根據MATLAB仿真曲線，通過比較分析得:限幅抗飽和算法雖然可以達到絕對的飽和，即滿足控制量輸出不超出飽和值，但誤差信號由多種倍頻信號組成，其中倍頻信號在三種算法中幅值也最大。Rafaely算法的抗飽和性和q與飽和值之間的預量決定，預量過小則抗飽和性能差，預量過大，則要損失一定的減振性能，同時誤差信號的倍頻信號會增加，所以預量很難確定，本文中的仿真曲線運用文獻［1］中的參數，即q與飽和值相同。同樣也會產生倍頻信號，其幅值相比限幅抗飽和算法小，但比加入連續懲罰函數抗飽和算法大。加入連續懲罰函數的抗飽和算法不僅可以使誤差信號是單一頻率的正弦信號，而且控制量基本控制在低于飽和約束值5以下，同時產生的倍頻信號幅值也是最小的。運用該方法設計的自適應前饋控制律可得到很好的抗飽和控制效果。

3.2 實驗裝置介紹

該實驗系統由三個模塊組成:機械模塊、電控模塊和激振模塊。原理如圖11所示。

機械模塊包括磁懸浮隔振器、彈性基座、負載、基礎以及支撐基礎的彈簧等裝置。電控模塊包括PC機、數據采集卡、數模轉換卡、功率放大器、三個傳感器(一個位移傳感器、一個加速度傳感器和一個阻抗頭)及配套的信號調理電路、動態信號分析儀。激振模塊包括激振器、配套的功率放大器以及為功率放大器提供輸入信號的信號發生器。其中，隔振器剛度k=28800 N/m，負載質量m=500kg。基礎剛度kB=320000 N/m，基礎質量mB=1000kg。

圖11 磁懸浮隔振系統原理圖Fig.11 Diagram of electromagnetic suspension vibration isolator

按照實驗原理圖連接磁懸浮隔振系統各個部件。PC機通過PCI1710板卡采集四路信號，基礎加速度信號用于生成誤差信號，相對位移信號用于計算電磁作動器的氣隙大小，負載加速度信號用于監測負載加速度的變化，激振模塊信號發生器的輸出信號用作參考信號;通過PCI1720板卡輸出兩路信號，經過功率放大器后用于驅動上下兩塊電磁鐵。

實驗步驟如下:

(1) 實驗系統加入7 Hz的激振力，幅值為A=0.3 cm，飽和值設定為 q=0.15 cm，系統采樣頻率為1000 Hz，20 s鐘后施加主動控制;

(2)對磁懸浮隔振系統分別施加上述三種抗飽和LMS算法，通過PC機獲取實驗數據。

4 實驗結果

實驗效果如圖12、圖13、圖14所示。

圖12 限幅抗飽和算法Fig.12 Experimental results of anti-saturated algorithm

圖13 Boaz Rafaely抗飽和算法Fig.13 Experimental results of Boaz Rafaely algorithm

圖14 連續懲罰抗飽和算法Fig.14 Experimental results of continuous punished algorithm

由實驗結果知，限幅抗飽和算法與Rafaely抗飽和算法在磁懸浮主動隔振器的減振過程中出現不穩定現象，最終導致系統失控。這是因為限幅抗飽和LMS算法雖然可以達到絕對的飽和，但誤差信號會產生各種倍頻信號，最終導致減振系統的共振，從而使控制效果惡化。Rafaely抗飽和算法由于無法確定預量的大小，按照文獻［1］中將q值設為飽和值是達不到很好的抗飽和效果，同時因為代價函數為分段函數，所以減振系統輸出的誤差信號中存在其它的倍頻信號，引起減振系統的共振。而連續懲罰函數抗飽和算法在達到很好的抗飽和性的同時，由于代價函數為連續函數，減振系統輸出的誤差信號中其它倍頻信號幅值很小，不會引起減振系統的共振。因此這種方法在達到抗飽和效果的同時取得很好的減振效果。

5 結論

本文對在飽和約束條件下的減振控制問題進行了研究，針對Rafaely等提出的抗飽和算法LMS算法進行了改進，并在磁懸浮隔振器上進行振動主動控制實驗，通過三種抗飽和算法實驗對比研究，結果表明，本文提出的改進算法能夠在達到抗飽和性能的基礎上依然有很好的減振效果。

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