超音速彈翼非線性顫振分析與控制

賈尚帥，丁 千，劉 煒

(1.天津大學 機械學院力學系，天津 300072;2.中國航天科工集團公司 二院二部，北京 100854)

隨著現代飛行器性能的提高和設計技術的發展，氣動彈性研究變得愈加重要。對于氣彈動力學穩定性問題(顫振分析)，已經由最初經典的線性顫振分析逐步拓展出非線性顫振分析等新的內容和分支，非線性顫振系統可以表現出豐富的動力學行為，常常出現極限環、分岔、混沌等復雜非線性現象［1］，這些現象會直接導致飛行器結構的破壞，造成極大的安全隱患。因此非線性氣動彈性顫振分析與主動控制成為重要的研究領域［2］。

非線性氣動彈性領域主要研究氣動非線性和結構非線性。其中結構非線性主要包括立方非線性、間隙非線性和遲滯非線性。鄭國勇等［3］基于活塞理論研究了帶有立方非線性俯仰剛度二自由度機翼系統在典型參數下的穩定極限環顫振及混沌響應。Abbas等［4］用數值方法系統的研究了超音速、高超音速下沉浮和俯仰同時具有間隙和三次剛度非線性的雙楔形翼面的非線性氣彈問題。趙永輝等［5］分析了亞音速、不可壓縮流作用下帶有操縱面間隙非線性的翼段結構的氣動彈性響應。目前對非線性顫振主動控制問題的研究大都局限于連續的立方非線性［6－7］，關于間隙等不連續非線性系統如何實現顫振主動控制研究相對較少，文獻［8］對間隙不連續非線性系統的顫振主動控制進行分析，但并未考慮氣動力非線性的影響。

本文基于三階活塞理論，充分考慮結構間隙非線性和非線性氣動剛度的影響，分析超音速彈翼的顫振特性，并基于微分幾何法和二次型最優控制進行主動控制，研究系統的氣動彈性穩定性。

1 非線性氣動彈性模型

1.1 非線性結構模型

對于間隙非線性的研究，大都是針對具有沉浮和俯仰的兩自由度二維翼段，如圖1。俯仰自由度的間隙非線性施加如圖2所示。

利用拉格朗日方程得到翼段的氣動彈性運動微分方程:

其中:h為彈性軸沉浮位移，向下為正;α為翼段俯仰角，抬頭為正，m，sα，Iα分別為單位展長彈翼的質量、對彈性軸的質量靜矩及對彈性軸的質量慣性矩，ch，cα分別為彈翼的沉浮與俯仰阻尼系數，kh，kα為沉浮與俯仰剛度，g(α)為扭簧扭矩，L，M為氣動升力與力矩。b為半弦長，2αs為扭轉間隙，bχα為重心G到彈性軸E的距離，bε為中心A到彈性軸E的距離。

1.2 超音速非定常氣動力

采用三階活塞理論能較好地體現氣動力的非線性效應［9］，主要考慮非線性氣動剛度影響:

上下翼面任意點的下洗速度:

其中:

式中:γ為比熱比，η為空氣動力修正因子，p∞，c∞分別為自由來流壓強及聲速，vz為垂直于來流翼面某點處的下洗速度，U∞為自由來流速度，H(x)為翼型函數，τ^為翼型斜率。

上下翼面壓力差:

綜合式(2)將Δp向彈性軸E點簡化，得空氣升力與氣動力矩:

1.3 無量綱非線性氣動彈性模型

無量綱化的動力學方程為:

其中:

2 顫振分析

2.1 分岔點及分岔確定

彈翼顫振是在結構的彈性力、慣性力與氣動力耦合作用下，因氣動彈性失穩而產生的自激振動，是一種典型的Hopf分岔。超臨界Hopf分岔是當飛行速度超過失穩速度(分岔點)后產生的、幅值緩變的極限環振動，危害性相對較小。亞臨界Hopf分岔則是在速度還未達到分岔點時，由于較大的環境擾動而產生的、幅值較大的極限環振動，極限環振動會引起結構疲勞，危害性較大。

其中:U為無量綱飛行速度，并且:

系統參數取值如表1所示。

表1 系統參數Tab.1 System parameters

翼段方程(6b)描述系統受到最小扭簧扭矩作用的運動，其平衡點O(0，0，0，0)的穩定性最弱。顯然，O點的Jacobi矩陣即B(U)，其特征多項式為Det(B－λI)=0，可寫成方程:

其中:

當來流速度增大至U=Uhopf，系數滿足b0＞0及條件:

式(7)有一對純虛根及一對負實部特征根。根據Routh-Hurwitz定理，當U＞Uhopf時系統的平衡點失穩，產生自激周期振動，Uhopf成為臨界顫振速度。

由表1中的模型參數計算，可得系統平衡點失穩的臨界顫振速度Uhopf及對應的特征根:

式(7)的特征根為± 0.1607i，－ 0.1532，－0.0125。

2.2 亞臨界顫振特性分析

根據等效線性化理論［10］，中心型間隙模型描述:

其中:φ =cos－1(αs/A)，A 為俯仰方向的振幅，kα為無間隙俯仰剛度，ke為俯仰等效剛度，如圖3所示。

圖3 俯仰剛度Fig.3 Pitch stiffness

間隙翼面俯仰剛度ke在超過間隙后由零值迅速增加，而后緩慢趨向于無間隙剛度kα，正是這種剛度上的變化，使得系統與不具有間隙的彈翼顫振不同，其表現為典型的非線性亞臨界顫振的特性。進一步分析可以得到亞臨界分岔點，對應最小顫振速度為:

此時所對應的ke/kα=0.12，相應的彎扭頻率比為ωh/ωe=1/1.09，正是這種頻率上的重合使得亞臨界點的顫振速度變的很低。

3 基于微分幾何法的非線性顫振控制

3.1 控制器設計

基于式(6b)是導致系統出現極限環振動的原因，對于分段非線性系統(6)，可以進行分段非線性控制，針對系統的狀態方程(6b)，設受控的非線性系統為:

考慮輸入與輸出數相等的情況，取m=2的多輸入多輸出控制系統:

其中:

應用微分幾何法，通過非線性狀態反饋與坐標變換，將非線性系統精確線性化:

其中:

人為輸入v作為線性極點配置控制器的輸入，可保證整個系統的穩定性。

3.2 基于二次型最優控制

定義系統二次型性能泛函為:

式中:Q，R分別為對狀態變量與輸入變量的加權矩陣，Q為半正定矩陣，R為正定矩陣。

二次型最優控制即對系統(14)確定最優控制輸入規律，即:

式中:K為狀態反饋增益矩陣，使二次型性能指標最小。反饋增益矩陣可表示為:

P應滿足黎卡提代數方程:

最優控制率為:

4 仿真結果

令狀態權矩陣 Q=δQdiag(Q11，0，Q33，0)，控制權系數R=δRI，其中I為2×2的單位矩陣，Q11和Q33為對應沉浮位移和俯仰角度權重，δQ和δR為對應狀態權矩陣Q和控制權系數R的性能指標系數。分別取Q11=10－6，Q33=10－4，δQ=10，δR=1 時，可以得到受控制系統的臨界顫振速度:

圖4～圖8為原系統與受控系統的時間響應、相圖及分岔點與控制參數的變化曲線。圖4為U=1.6時，原系統和受控系統均穩定收斂到零點，相比而言受控系統的響應時間更短。圖5為U=1.7時，原系統發生顫振，產生極限環，但此時受控系統仍然收斂到零點。圖6為U=2.0時，原系統與受控系統均為極限環振動，而受控系統的振幅比原系統的振幅減小。圖7為U=1.28時，在較大擾動下，原系統對應亞臨界顫振而受控系統穩定收斂。圖8為改變狀態權矩陣和狀態權系數時，對系統臨界顫振速度的影響，隨著δQ的增大系統的臨界顫振速度和亞臨界分岔點均有所提高，而對應減小δR能夠得到相同的結果。

圖8 分岔臨界速度與控制參數Fig.8 Bifurcation critical speed vs.control parameters

5 結論

研究超音速含間隙彈翼的顫振特性及控制，應用基于微分幾何法與二次型最優控制相結合的方法，設計非線性控制器。研究結果表明:

(1)超音速含間隙彈翼的顫振在考慮非線性氣動剛度的影響下為典型的亞臨界顫振;

(2)基于微分幾何法和二次型最優控制相結合的非線性控制器，不會改變系統亞臨界顫振特性，但可以提高系統的臨界顫振速度，減少顫振結構疲勞破壞;

(3)通過調節Q，R的性能指標系數能改變系統的響應特性，提高含間隙彈翼的氣動彈性穩定性。

［1］Lee B H K，Price S J，Wong Y S.Nonlinear aeroelastic analysis of airfoils:bifurcation and chaos［J］.Progress in Aerospace Sciences，1999，35:205 －334.

［2］Mukhopadyay V.Historical perspective on analysis and control of aeroelastic responses［J］. Guidance Control Dynamic，2003，26:673 －684.

［3］鄭國勇，楊翊仁.超音速流中結構非線性二元機翼的復雜響應研究［J］.振動與沖擊，2007，26(12):96－100.

［4］Abbas L K，Chen Q，Donnell K O，et al.Numerical studies of a non-linear aeroelastic system with plunging and pitching freeplays in supersonic/hypersonic regimes［J］.Aerospace Science and Technology，2007，11(5):405 －418.

［5］趙永輝，胡海巖.具有操縱面間隙非線性二維翼段的氣動彈性分析［J］.航空學報，2003，24(6):521－525.

［6］丁 千，王冬立.用規范型直接法研究立方非線性機翼的顫振［J］.飛行力學，2005，23(3):85－88.

［7］Bhoir N，Sigh S N.Control of unsteady aeroelastic system via state-dependent riccati equation method［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2005，28(1):78 －84.

［8］李道春，向錦武.間隙非線性氣動彈性顫振控制［J］.北京航空航天大學學報，2007，33(6):640－643.

［9］Librescu L，Marzocca P，Silva W A，et al.Supersonic/hypersonic flutter and postflutter of geometrically imperfect circular cylindrical panels［J］.Journal of Spacecraft and Rockets，2002，39(5):802 －812.

［10］胡壽松.自動控制原理［M］.北京:科學出版社，2001.