復變函數論中劉維爾定理的應用與推廣

張 慶

（唐山師范學院 數學與信息科學系，河北 唐山 063000）

復變函數論中劉維爾定理的應用與推廣

張 慶

（唐山師范學院 數學與信息科學系，河北 唐山 063000）

首先給出了劉維爾定理的一種新的證明方法，描述了劉維爾定理的幾何意義；其次給出了劉維爾定理在三個方面的應用；最后給出了劉維爾定理在兩個方面的推廣。

劉維爾定理；整函數；擴充復平面

劉維爾（Liouville J，1809-1882）定理是復變函數論中的一個著名定理，在復變函數論中有著廣泛的應用。本文首先給出了劉維爾定理的一種新的證明方法，其次給出了劉維爾定理在三個方面的應用，最后給出了劉維爾定理在兩個方面的推廣。

1 劉維爾定理及證明

劉維爾定理 有界整函數f(z)必為常數。

注：整函數就是在整個復平面C上解析的函數。

證法1[1]利用柯西不等式證明，見參考文獻[1,p127]。

值得注意的是：

（1）劉維爾定理的相應結論在實數域范圍內并不成立，例如，函數y=sinx在實數集R內可導且有界，但y=sinx 在實數集R內并不是常數。

（2）劉維爾定理的逆成立，即常數是有界整函數。

（3）劉維爾定理的逆否命題：非常數整函數必無界。

此外由劉維爾定理容易得到推論1。

推論1 若f(z)為有界整函數，則

2 劉維爾定理的幾何意義

劉維爾定理具有鮮明的幾何意義，其幾何意義具體可以敘述如下：

非常數整函數f(z)的值既不能全含于某一圓內，也不能全含于某一圓外。

證明 先證非常數整函數的值不能全含于某一圓內。

于是由劉維爾定理知1/f(z)是常數，從而f(z)必為常數。這與已知矛盾。綜上非常數整函數f(z)的值既不能全含于某一圓內，也不能全含于某一圓外。

3 劉維爾定理的應用

3.1 證明代數學基本定理[2]

代數學基本定理：n次多項式

在復數集C內至少有一個零點。

該定理是代數學的基石，但若從代數學知識體系出發，用純粹的代數方法證明卻十分困難且繁雜，因此在高等代數教材中一般未給出它的證明，利用劉維爾定理可以給出該定理一種簡潔、完美的證明方法。這是復變函數論在高等代數理論上應用的典范。這一證明方法的主要思路是，將n次多項式

作為一非常數整函數，然后采用反證法得到證明。具體證明見參考文獻[2]。

3.2 證明整函數為常數

例1 設f(z)=u(x, y)+iv(x, y)（簡記f=u+iv）為一整函數，且存在實數M，使v＞M，?z∈C，則f(z)為常數。

證明 因為f(z)為整函數，所以

也為整函數。令

則顯然F(z)也為整函數，又于是由劉維爾定理知F(z)為常數，從而f(z)為常數。

3.3 證明復平面C上的最大模原理

復平面C上的最大模原理

若f(z)為整函數，且在C內點z0處取得最大模，則f(z)在C內為常數。

最大模原理是在一般區域D內給出的，證明過程中用到唯一性定理、平均值定理等多個復變函數論中的重要定理，其證明較為復雜難懂，具體證明見參考文獻[1,p176]。

當一般區域D改為復平面C時，僅用劉維爾定理即可非常方便的得到復平面C上的最大模原理的證明。

證明 由已知

又因為f(z)為整函數，故由劉維爾定理可知f(z)在C內為常數。

4 劉維爾定理的推廣

劉維爾定理可以在擴充復平面上推廣，也可以在形式上推廣，有以下兩個結論。

定理1 擴充復平面上的解析函數f(z)必為常數。

證明 因為f(z)為擴充復平面上的解析函數，所以z=∞為f(z)的可去奇點，因此，

其中b為常數。故存在正數M，R1，使得當

時，有

故由劉維爾定理可知f(z)在擴充復平面必為常數。

則f(z)是一個至多n次多項式或常數。

當n=0時就是通常的劉維爾定理。

證明 因為f(z)為整函數，故可設

當k＞n時，令R1→+∞，就有

即

當

時，f(z)=a0為常數。

綜上，f(z)是一個至多n次多項式或常數。

作為推廣的劉維爾定理，定理2可以判斷整函數的表示形式，具體應用見例2。

例2 設f(z)為整函數，且

則f(z)必為一個n次多項式。

證明 因為

所以?R＞0及M＞0，當z≥R時，有

由定理2，f(z)是一個至多n次多項式或常數。若f(z)為常數，則

這與已知矛盾。若f(z)為k次多項式（0＜k＜n ）同樣有

故f(z)只能是n次多項式，由代數學基本定理知f(z)在C內有n個零點。

[1]鐘玉泉.復變函數論(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.

[2]余家榮.復變函數[M].北京:人民教育出版社,1980:99.

[3]鐘玉泉.復變函數學習指導書[M].北京:高等教育出版社,1996:222-223.

（責任編輯、校對：趙光峰）

The Application and Generalization of Liouville Theorem in Complex Function Theory

ZHANG Qing
(Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Teachers College, Tangshan 063000, China)

This paper gives a new proof of the Liouville theorem. It describes the geometric meaning of the Liouville theorem, then gives the application of Liouville theorem in three areas and generalizes the Liouville theorem in two aspects.

Liouville theorem; integral function; etended complex plane

O174

A

1009-9115(2012)05-0038-03

2012年唐山師范學院教改科研立項（2012001004）

2012-07-20

張慶（1960-），男，天津人，教授，研究方向為函數論。