不確定切換時滯系統積分滑模控制

連 捷， 張 鳳

（大連理工大學 電子信息與電氣工程學部，遼寧 大連 116024）

0 引 言

切換系統是一類重要的混雜系統，由多個子系統以及作用在其中的切換規則構成.切換系統在電力系統、受限機器人系統、智能高速公路等系統中有著廣泛的應用前景，近幾年，已經引起國內外的廣泛關注[1－5].另一方面，在實際系統的運行過程，時滯是普遍存在的，且是導致系統不穩定和性能下降的主要原因.如果切換系統中的每一個子系統都是時滯系統，則稱這類系統為時滯切換系統.目前，時滯切換系統已得到廣泛的研究并取得許多重要的成果[6，7].此外，在實際系統中，各種不可避免的因素，如建模誤差、系統運行環境變化、測量誤差，以及信息傳輸延遲等會導致一些不確定時滯的出現，因此對不確定時滯切換系統的研究具有重要的實用價值和理論意義.文獻[8，9]分別研究了線性和非線性不確定時滯切換系統的魯棒控制問題.文獻[10]研究了離散時間不確定時滯切換系統的魯棒H∞動態輸出反饋控制問題.文獻[11]針對一類不確定時滯切換系統，研究了其H∞濾波器設計問題.

滑模控制作為一種消除系統不確定性影響的魯棒控制策略，具有快速響應、對參數及外界干擾變化不靈敏、物理實現簡單等許多優點，因而被廣泛應用于不同系統的研究中[12－14].但對于切換系統，目前研究成果較少見.文獻[15]基于單Lyapunov函數方法，設計單H∞滑模面，研究了一類不確定線性切換系統的魯棒H∞滑模控制問題.文獻[16]基于平均駐留時間方法，設計線性滑模面，研究了一類切換時滯系統的鎮定問題.滑模控制的響應過程主要包含兩個階段：到達過程和滑動過程，而且在到達過程中系統對不確定性和擾動是敏感的.為了解決這一問題，文獻[17]提出積分型滑模控制方法.積分型滑模控制能夠保證閉環系統狀態軌跡從初始時刻就保持在滑模面上，有助于改善系統的暫態性能，提高系統的魯棒性.文獻[18]針對一類不確定非線性切換系統，采用積分型滑模控制方法，得出閉環系統對于一類滿足平均駐留時間條件的切換信號指數穩定的條件.但是對于不確定切換時滯系統，由于不確定性、切換特性，以及時滯共同存在且相互耦合，其滑模面設計十分困難，對于這類系統的積分滑模控制問題的研究結果尚未見報道.

本文考慮一類同時具有參數不確定性、非線性擾動和時變時滯切換系統，研究其積分滑模變結構控制問題.首先設計積分滑模面，使得系統在滑模面上運行時，對于任意滿足平均駐留時間的切換信號都是指數穩定的；基于線性矩陣不等式方法，給出積分滑模面存在的充分條件，然后設計各子系統的變結構控制器，保證切換系統從初始時刻就保持在滑模面上.

1 問題描述和預備知識

考慮如下不確定時滯切換系統：

式中：x（t）∈Rn，為系統狀態；σ：[0，∞）→Ξ＝｛1，2，…，l｝，是依賴于時間t的分段常值切換信號；ui∈Rm，是第i個子系統的控制輸入；Ai、Adi、B是具有適當維數的常數矩陣；φ（θ）是在[－h，0]上的可微向量值初始函數；ΔAi、ΔAdi為系統參數不確定性；fi（t，x）表示系統非線性；d（t）表示時間滯后量，滿足下式：

其中h、τ是正常數.

對于切換系統（1），做如下假設.

假設1 參數不確定性ΔAi、ΔAdi表示為如下形式：

其中D1i、D2i、Ei為具有適當維數的常數矩陣；Fi（t）為未知矩陣函數，且滿足FTi（t）Fi（t）≤I.

假設2 矩陣B為列滿秩矩陣，rank（B）＝m，且m＜n.

假設3 存在已知非負函數i（t，x），i∈Ξ使得

定義1[1]對于切換信號σ以及t＞τ≥0，令Nσ（τ，t）表示在時間區間（τ，t）內切換的次數.如果存在N0≥0，Ta＞0使得

成立，那么Ta被稱為平均駐留時間.為了方便，在文中取N0＝0.

為了得到本文的主要結果，需要引入如下引理.

引理1[19]給定具有適當維數的實矩陣R1、R2和未知矩陣Σ（t），且滿足ΣT（t）Σ（t）≤I，那么存在常數β＞0，使得下面的不等式成立：

2 主要結果

對于系統（1），設計如下積分滑模面：

其中G、Ki（i∈Ξ）是常數矩陣.選擇矩陣Ki使得Ai＋BKi是Hurwitz矩陣，設計G使得GB是非奇異矩陣.

系統（1）的解為

因此，有

當系統軌跡保持在滑模面上時有s·（t）＝0，因此得等效控制ue為

將上式代入系統（1），可以得到滑動模態方程為

定義2[18]在切換信號σ下，如果存在常數γ≥1和λ＞0，使得滑動模態方程（6）的解x（t）滿足下式：

注1 由式（2）知，所設計的積分滑模面依賴于系統的初始狀態，因此，從初始時刻開始，系統的狀態軌跡就保持在該滑模面上，即消除了切換過程中的滑模到達過程，從而改善了系統的暫態性能，提高了系統的魯棒性.

定理1 對于不確定切換時滯系統（1），設計積分滑模面（2），如果存在正常數η、ε1i、ε2i、ε3i以及正定矩陣P、Qi（i∈Ξ）使得下面的矩陣不等式成立：

選擇滑模函數G＝BTP，那么對于平均駐留時間滿足

證明 選擇Lyapunov函數

當t∈ [tk，tk＋1），第i個子系統運行，則Vi（t）沿著切換系統（6）狀態軌跡的導數為

根據引理1，可以得到

將式（13）～ （16）代入式（12），可得

由Schür補引理，Σi＜0等價于以下不等式：

由式（11）有

根據式（17），在切換區間t∈ [tk，tk＋1）上有

從而可得

根據式（8）、（11），在切換點tk處有

因此，由式（21）、（22）和k＝Nσ（t0，t）≤ （tt0）/Ta可以得到

結合式（19）、（23）有

證畢.

注2 由定理1知滑模函數G＝BTP，矩陣B、P是不依賴于切換信號的，所以，滑模面（2）的設計不依賴于切換信號，這樣就可以避免切換系統的狀態軌跡在多個滑模面之間反復跳躍而導致系統不穩定.

注3當μ＝1時，Ta＞T＊a＝（lnμ）/α＝0，這意味著切換系統（1）在任意切換信號下均是指數穩定的，即對切換系統（1）所有子系統存在共同的Lyapunov函數.

注4 本文的結論適用于時滯導數小于1的情形，對于時滯導數大于1的情況，采用自由權值矩陣方法也可得到比較好的結果.

注5 由定理1中的式（9）知，本文結果是時滯無關的，相對于時滯相關的結論，該結果具有一定的保守性，若在原來選取的Lyapunov函數的基礎上，再添加一項同時采用自由權值矩陣方法，則可以得到時滯相關的結果.

定理1給出穩定滑模面存在的條件，即系統在滑模面上能夠穩定運行（滑動模態穩定）的條件.對于該滑模面，定理2將根據滑模面的可達性條件s（t）s·（t）＜0設計變結構控制器，保證閉環系統的狀態軌跡能夠從狀態空間中的任意一點到達并保持在該滑模面上.

定理2 對于不確定時滯切換系統（1），設計如下變結構控制器使得閉環系統狀態能夠從初始時刻就保持在滑模面（2）上：

其中γi，i∈Ξ，為正常數.

證明 根據Razumikin定理[20]，對于系統（1）的任意解x（t＋θ），存在常數λ≥1使得下式成立：

選取Lyapunov函數如下：

對V（t）求關于時間t的導數

將式（25）代入上式可得

3 仿真示例

考慮不確定切換時滯系統（1），系統參數如下：

取初始狀態x（0）＝φ（0）＝（1.5 －2.0）T，時滯d（t）＝0.1sin（x1（t）），h＝0.1，τ＝0.1，

選取常數ε11＝0.011，ε21＝0.012，ε31＝0.011，ε12＝0.010，ε22＝0.010，ε32＝0.010，η＝0.8，μ＝1.15.

求解矩陣不等式（7）～ （9），可以得到

根據定理2，取常數γ1＝1.5，γ2＝1.0，可得變結構控制器為

圖1 切換信號Fig.1 The switching signal

圖2 切換系統（1）的狀態響應Fig.2 The state responses of switched system （1）

由圖2所示的系統狀態響應曲線可以看出，系統（1）在圖1所示切換信號的作用下是穩定的.

4 結 語

本文研究了一類具有時變時滯、參數不確定性和非線性干擾的切換系統的積分滑模控制問題.基于平均駐留時間方法，設計了穩定的積分滑模面，保證切換系統狀態保持在滑模面上時，對于滿足平均駐留時間條件的任意切換信號都是指數穩定的.利用滑模到達條件，給出了子系統變結構控制器設計方案，保證系統狀態從初始時刻開始就保持在滑模面上，改善了切換系統的暫態性能，提高了系統的魯棒性.最后，利用一個仿真示例驗證了所提算法的有效性.

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