基于D－H矩陣的球面5R并聯機構誤差建模及靈敏度分析

李永泉 張立杰 郭志民 郭 菲

燕山大學，秦皇島，066004

0 引言

按照機構誤差源分類，機構誤差包含原理誤差、制造誤差、使用誤差、測量誤差［1］，而并聯機器人機構的主要誤差來源取決于制造誤差［2］，即各主要零部件加工、裝配誤差，這些誤差是導致球面機構各轉動副軸線和球心之間產生偏差的主要原因。球面機構的特點是各轉動副軸線匯交于一點（球心），以保證輸出精度，如果匯交偏差過大，球面機構就演變成為普通的空間機構，失去了球面機構特性。為此，減小各轉動副軸線和球心之間的偏差至關重要，但相關的研究文獻很少。文獻［2］利用空間矢量鏈分析法研究了3－RRR并聯數控回轉臺的精度分析問題，文獻［3］利用微分法建立了3－RRR擬人肩關節的幾何誤差模型，但文獻［2－3］只分析了球面機構的姿態誤差，沒有對其進行相應的位置誤差分析，同時也沒有考慮球面機構各轉動副軸線和球心之間的偏差，而該誤差在實際的球面機構加工和裝配過程中是不可避免的。為此，本文基于D－H參數，采用環路增量法［1］對球面5R并聯機構進行誤差分析，同時得到了球面機構的位置誤差和姿態誤差模型，最后進行了靈敏度分析。

1 球面5R并聯機構簡介

球面并聯機構中最簡單的結構形式是球面二自由度5R并聯機構，它具有重要的實際應用價值，如作為球面上點的定位設備［4－5］以及衛星信號自動跟蹤設備［6］等。

如圖1所示，該并聯機器人選取廣義參考點P作為輸出，具有沿球面曲線移動的2個自由度，它通過2個串聯3R運動鏈分支PB1A1、PB2A2與固定平臺弧A1A2連接，該機構所有運動鏈的轉動副軸線皆匯交于球心O點。各轉動副軸線間夾角（即第i連桿圓心角）分別為αi（i＝1，2，…，5），相鄰連桿間夾角分別為θi，其中θ1、θ5為驅動角。固連在第i連桿上的局部坐標系（簡稱i系）原點皆為球心O點，xi軸沿各轉動副軸線方向，yi軸位于i連桿所在平面上且在實體桿一側，zi軸垂直于對應連桿所在平面，構成右手直角坐標系。基坐標系與Ox5y5z5重合。令OP與z5軸夾角為φ，OP在Ox5y5平面上的投影與x5軸正向的夾角為φ。

圖1 球面5R并聯機構

2 誤差模型的建立

2.1 結構參數及其幾何誤差源的確定

采用D－H參數［1］表示球面5R并聯機構構件的結構參數，與i連桿相關的D－H參數為轉角θi、偏置di、扭角αi、桿長ai，如圖2所示。由球面5R并聯機構的特點可知，各轉動副軸線皆匯交于球心O點，即ai＝0，di＝0，由文獻［1］可知，扭角αi即為各連桿對應的圓心角（連桿參數），轉角θi即為相鄰各連桿間夾角，其中，θ1、θ5為驅動關節運動參量，θ2、θ3、θ4為從動關節運動參量，如圖1所示。用dαi表示機構的連桿參數誤差，用dθi表示運動參量誤差。在實際的球面5R機構中，由于存在加工誤差、裝配誤差，要保證5個轉動副軸線精確地匯交于球心O點是不可能的，雖然ai、di的名義尺寸為零，但它們的誤差不為零，此處用ddi表示各轉動副軸向間隙量，dai表示各轉動副軸間距誤差（包括各轉動副間隙誤差），則各轉動副軸線和球心之間的偏差由ddi和dai共同體現。

圖2 D－H參數圖

2.2 基于環路增量法［1］構建誤差模型

球面5R并聯機構的封閉環方程可以寫為

其中，Ti為基于D－H參數的相鄰i連桿坐標系之間的變換矩陣，即

對式（1）進行時間變量微分得

式中，Δi為i連桿在i系中的位姿誤差［1］；S（δi）為δi的反對稱矩陣［7］；δi為第i連桿相對于自身坐標系的微分轉動；di為第i連桿相對于自身坐標系的微分平動。

將式（3）代入式（2），聯立式（1）整理后得

式（5）中各項對應元素之和為零，等價于下列兩個矢量方程：

式（6）即為該機構誤差模型，其中，各項元素均對應基坐標系下的位置誤差和姿態誤差，右下標對應i連桿，左上標對應基坐標系，即Ox5y5z5。式（6）中包含已知原始誤差為：驅動關節 運 動 參 量 誤 差dθ1、dθ5，驅 動 副 軸 向 間 隙量dd1、dd5，連桿參數誤差dαi及各轉動副軸間距誤差dai；包含未知誤差為：從動關節運動參量誤 差dθ2、dθ3、dθ4， 被 動 副 軸 向 間 隙量dd2、dd3、dd4。進一步由式（6）利用 Maple軟件編程可分別求出從動關節運動參量誤差dθ2、dθ3、dθ4， 被 動 副 軸 向 間 隙量dd2、dd3、dd4顯式函數關系。

在實際的球面5R并聯機構中要保證5個轉動副精確地匯交于一點是不可能的，即各轉動副應配有適當的軸向間隙量，現將dd2、dd3、dd4的顯式函數關系式導出，即

為保證球面5R并聯機構平穩運行，要求軸向間隙量ddi和軸間距誤差dai之間應滿足式（7）～式（9），否則，過小的軸向間隙量將會使機構卡死，而過大的間隙又會導致機構過低的機構精確度。

2.3 末端執行器位姿誤差計算模型

在圖1中，P點作為輸出，固連于第2連桿，位于2系z軸上，d2、δ2分別為第2連桿相對于自身坐標系的微分平動和微分轉動，由文獻［1］可以得到，第2連桿在2系中的原始誤差和第2連桿在基坐標系中的位姿誤差之間的關系為

其中，Δ2為第2連桿在2系中的原始位姿誤差，由式（4）定義；Δ為第2連桿在基坐標系中的位姿誤差，即

3 精度分析

3.1 精度預估

對于圖1所示的球面5R并聯機構，取結構參數為α1＝α2＝α3＝α4＝90°，α5＝120°。取運動特性［8］較好的工作空間0°≤φ ≤30°，0°≤φ ≤360°。

（1）位置精度。由式（10）可知，機構末端執行器的位置精度僅與軸間距誤差dai和軸向間隙量dd1、dd5有關。此處，驅動副（即電機軸）位于機座上，其軸向間隙量dd1、dd5由鏜床加工精度保證，可忽略不計。

為了評價該機構末端執行器的位置精度，定義其位置誤差為

為了找出末端執行器位置誤差在所選取工作空間區域內的分布規律，根據三維坐標測量儀測量樣機尺寸所得結果，選取軸間距誤差dai絕對值均為0.1mm，對其進行正負組合，共有32種情況，借助MATLAB軟件，計算機構末端執行器位置誤差。通過所有情況比較可知，表1所示第1組誤差值引起的末端執行器位置誤差最小。本文只以表1所示兩組誤差值為例，分別繪制末端執行器位置誤差在所選取工作空間區域內的分布規律，如圖3所示。可以得出結論，裝配機構時，軸間距誤差按第1組誤差情況進行分配比較合理。

表1 機構各轉動副軸間距誤差 mm

圖3 末端執行器位置誤差分布規律

（2）姿態精度。由式（10）可知，機構末端執行器的姿態精度僅與連桿參數誤差dαi和驅動關節運動參量誤差dθ1、dθ5（由控制方法保證，此處忽略）有關。為了評價該機構末端執行器的姿態精度，按文獻［2-3］定義其姿態誤差為

為了找出末端執行器姿態誤差在所選取工作空間區域內的分布規律，根據三維坐標測量儀測量樣機尺寸所得結果，選取連桿參數誤差dαi絕對值均為0.1°，對其進行正負組合，共有32種情況，借助MATLAB軟件，計算機構末端執行器姿態誤差。通過所有情況比較可知，表2所示第1組誤差值引起的末端執行器姿態誤差最小。本文只以表2所示兩組誤差值為例，分別繪制末端執行器姿態誤差在所選取工作空間區域內的分布規律，如圖4所示。可以得出結論，裝配機構時，結構參數誤差按第1組誤差情況進行分配最合理。

表2 機構結構參數理論值與誤差值 （°）

圖4 末端執行器姿態誤差分布規律

3.2 誤差靈敏度分析

通過上述分析可知，對應不同組的設計參數，即使在相同的輸入誤差和運動軌跡條件下，機構位姿誤差也不相同。靈敏度分析有助于合理選用設計參數，改善機構運動性能，提高機構運動精度，便于在設計機構時，選取對末端執行器位姿誤差有重要影響的機構主要設計參數。

（1）位置誤差靈敏度分析。為了分析各零部件誤差對末端執行器位置誤差的影響，定義d關于各項獨立位置誤差源dai、dd1、dd5的靈敏度系數為

式中，S為球面工作空間面積。

由式（14），借助MATLAB軟件，繪制了各誤差參數的靈敏度直方圖，見圖5。由圖5可知，7項誤差源對末端執行器的位置誤差影響均較大。

圖5 位置誤差靈敏度直方圖

（2）姿態誤差靈敏度分析。為了分析各零部件誤差對末端執行器姿態誤差的影響，由文獻［9-10］定義δ關于各項獨立姿態誤差源dαi、dθ1、dθ5的靈敏度系數為

由式（15），借助MATLAB軟件，繪制各結構誤差參數的靈敏度直方圖，見圖6。由圖6可知，7項誤差源對末端執行器的姿態誤差影響均較大。

圖6 姿態誤差靈敏度直方圖

4 抑制末端位姿誤差加工裝配工藝設計

為控制球面5R并聯機構姿態誤差，4個連桿可以通過線切割的方式一次成形，以保證結構參數誤差即dα1、dα2、dα3、dα4的一致性；為控制球面5R并聯機構位置誤差，選好機構加工和標定基準以后，通過鏜床加工與電機軸相連的機架上的兩個軸承座上的孔，嚴格按120°分布，精度由鏜床保證，這樣可保證dd1、dd5在允許范圍內，同時保證結構參數α5的精度；為保證球面5R并聯機構平穩運行，要求被動副軸向間隙量應滿足式（7）～式（9），為此在各轉動軸承處設置調整墊，并根據式（7）～式（9）計算結果進行配磨，使得誤差被控制在允許范圍內。在該機構進行裝配時，設置專門卡具，以盡量保證各轉動副軸線同球心。

5 結論

（1）在結構參數誤差基礎上，綜合考慮軸向間隙量和軸間距誤差，基于環路增量法，建立了球面5R并聯機構位置和姿態誤差模型并顯式給出，更接近于工程實際。（2）通過精度分析可知，球面機構位置誤差僅與驅動副軸向間隙量和軸間距誤差有關，姿態誤差僅與結構參數誤差和驅動關節運動參量誤差有關。（3）定義了位置誤差靈敏度系數，通過靈敏度分析可知，各項位置誤差源、姿態誤差源對球面機構末端執行器位置誤差、姿態誤差影響均較大。（4）為確保球面5R并聯機構平穩運行，要求被動副軸向間隙量應滿足式（7）～式（9），以避免該機構出現卡死現象。

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