極低頻垂直偶極子在地-電離層中場的數(shù)值積分算法

彭懷云 陶 偉 潘威炎 郭立新

(1.西安電子科技大學理學院，陜西 西安 710071；2.中國電波傳播研究所，青島分所， 山東 青島 266071；3.海軍工程大學電子工程學院，湖北 武漢 430033； 4.海軍裝備研究院，北京 100161)

引 言

極低頻(ELF)是指30 Hz以下頻率范圍的電磁波，波長范圍為10 000 km至100 000 km以上與地球周長可比擬，可沿地-電離層空腔“繞行”幾周，會出現(xiàn)“駐波”現(xiàn)象，在一些特定頻率還將出現(xiàn)舒曼諧振，傳播有別于超低頻(SLF)以上頻段。由于ELF電磁波能夠滲透較深的地層，因此，在地質探測方面，可根據地面上ELF頻段場強、相位以及表面阻抗隨頻率的變化，反演出接收點所在地域下面的地層導電率結構。由于ELF場強、相位、舒曼諧振頻率對大范圍低電離層電子濃度的變化較為敏感，對這些參數(shù)的研究可以分析出太陽風暴、地震等自然現(xiàn)象對低電離層的影響，對監(jiān)測太陽風暴和地震的短臨預報等方面具有重要意義。

自20世紀50年代以來，國內外學者對SLF及以下頻段的傳播開展了大量研究，主要有J. R. Wait[1]和J. Galejs[2]提出的地—電離層波導理論，以及Bannister提出的低頻場強計算公式[3]。這些理論均對表征場強隨傳播距離變化的勒讓德函數(shù)，Pν[cos(π-θ)],在ν<1的條件下(頻率較高時)利用漸近式進行了近似，其適用范圍為SLF頻段和ELF頻段的高頻端，難以計算更低頻率的ELF傳播場。1999年Donald E. Barrick[4]提出了ELF垂直電偶極子在地—電離層腔體中的球諧級數(shù)算法，并針對地面和電離層都為理想導體的情況進行了計算分析。國內學者對此問題，利用球諧級數(shù)算法和時域有限差分法(FDTD)算法也進行了相關分析[5-6]，但這些方法收斂緩慢，計算效率不高。

鑒于上述情況，將分析ν<1時，勒讓德函數(shù)Pν[cos(π-θ)]的直接積分計算方法，提出適于ELF頻段地—電離層空腔傳播的場強計算方法。

1. 理論分析

如圖1所示的球坐標系，場源為位于θ=0，r=a+z0處的垂直電偶極子，地面和電離層理想化為位于r=a和r=a+h處的兩個均勻反射壁，其導電率分別用σg和σi表示。場強觀察點位于r=a+z處，取時諧因子為e-iωt，則在地-電離層空腔中傳播的SLF及以下頻段的場可表示為[7]

圖1 地-電離層空腔模型

Pν(cos(π-θ))]

(1)

(2)

(3)

式中：

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

在ELF頻段，Δi和Δg都很小，故存在近似

(11)

(12)

為便于后續(xù)分析計算，若令

(13)

利用公式

可得

(14)

則式(1)～(3)可改寫為

Fn(z)Fn(z0)φ(ν,θ)]

(15)

(16)

(17)

式中：φ(ν,θ)的計算成為ELF在地-電離層空腔中傳播計算的核心問題。以下工作為對φ(ν,θ)的計算研究。

2． φ(v,θ)的計算

根據參考文獻[8]中的式(8.823)

(18)

式中：

(19)

φ(ν,θ)的積分核函數(shù)在t=π-θ時存在奇點，可以分成兩部分處理，即

φ(ν,θ)=I1+I2

(20)

式中：

(21)

I1可以利用梯形或辛普森數(shù)值積分法算出，令，π-θ-s=t,則I2可改寫為

(22)

3. 計算分析與討論

3.1 φ(ν,θ)的計算結果分析

除了本文中采用的計算方法外，φ(ν,θ)的計算還存在以下兩種較為便捷的計算方法

1) Pν[cos(π-θ)]可展開為級數(shù)形式

此方法可以計算ν為任意值時的φ1(ν,θ)，若選取地球半徑a=6 370 km，電離層等效高度h=70 km,σg=10-3S/m,σi=10-5S/m,ν的實部和虛部隨頻率的變化如圖2所示。

圖2 的實部和虛部隨頻率的變化

為比較不同階數(shù)求和對φ1(ν,θ)值的影響，選取n=100、200、500，此時20lg(φ1/φ)的變化情況，如圖3所示。

圖3 不同求和階數(shù)對計算精度的影響

由圖3可以發(fā)現(xiàn)：隨著n的增加，級數(shù)形式的計算結果與本文提出的直接積分計算方法結果逐漸接近；當ν?1時，需取n>500才能獲得高精度結果，Pν[cos(π-θ)]的級數(shù)形式方法在頻率較低，ν較小時，具較高計算效率。

2) 當ν?1，Im(ν)>0，θ<π時，存在如下漸近式[7]

利用圖2所示的ν作為輸入參數(shù)，計算f=10 Hz，30 Hz，100 Hz條件下的φ(ν,θ)、φ2(ν，θ)隨θ的變化情況，如圖4所示。從圖4可以明顯看出：頻率越低，ν越小，φ(ν，θ)與φ2(ν，θ)的差異越大，即漸近式方法在頻率較低情況下存在較大計算誤差。

圖4 不同頻率φ與φ2的差異

圖5 指定θ時φ與φ2的差異隨頻率變化

當θ=π/6，π/2，5π/6時，漸近式計算方法與直接積分計算方法的差異如圖5所示。可看出隨著頻率的降低，兩種算法差異逐漸增加，頻率在50 Hz以下差異可達0.5 dB以上，30 Hz以下差異達1 dB以上，5 Hz以下差異達6 dB以上。說明在ELF頻段漸近式計算方法不適用。

數(shù)值積分計算方法相較于其他兩種算法具有計算精度高、效率高的特點，適合于ELF頻段的場強計算。

3.2 ELF場強計算分析

如圖6～8所示，利用數(shù)值積分算法計算出頻率f=1 Hz、3 Hz、5 Hz、10 Hz、20 Hz、30 Hz的ELF電磁波，在電離層等效高度h=70 km，地球半徑a=6 370 km，地面導電率為σg=10-4S/m，電離層導電率為σi=10-5S/m條件下，場強隨傳播距離的變化。從中可以發(fā)現(xiàn)如下特點：

1) 經短大圓路徑和長大圓路徑傳播的電波過對極點后相互疊加，產生“干涉”現(xiàn)象。頻率越高，“干涉”現(xiàn)象產生的場強波動越“劇烈”，越靠近對極點，頻率越低，“干涉”現(xiàn)象產生的波動越“舒緩”，場強波動谷值逐漸靠近源點；

2) 隨著頻率的降低，垂直偶極源產生的垂直電場分量Er變化相對平緩，當頻率低至1 Hz以下，在1 000 km后場強近似趨于恒定。由于頻率較低時，地-電離層空腔可傳播模為橫電磁波(TEM)模，其ν→0，則決定場強隨傳播距離變化的因子，Pν(cosθ(π-θ))→1,φ(ν,θ)→1/(νπ)，即場強隨傳播距離的變化較小，趨近恒定。物理解釋為：在ELF頻段，電波波長與地球周長可比擬，電波在地—電離層空腔中以“駐波”方式存在，在更低的1 Hz以下頻段，電波波長可為地球周長的十幾、幾十倍，甚至更多倍，因此，其在幾個地球周長內的不同路徑的電波相位相差很小，總場接近于不同傳播路徑電場的同相疊加，因此“干涉”現(xiàn)象逐漸減弱直至消失，總場在遠離源點時趨于基本恒定；

3) 水平電場Eθ和磁場Hφ隨傳播距離變得基本相似，由于采用球形對稱模型，垂直電偶極子激勵的水平電場Eθ和磁場Hφ在對極點將為0，所以在對極點附近Eθ和Hφ急劇下降。

圖6 垂直電場分量隨傳播距離變化

圖7 水平電場分量隨傳播距離變化

圖8 水平磁場分量隨傳播距離變化

3.3 舒曼諧振計算分析

當選取電離層高度h=70 km，地、電離層為無損耗媒質(即地、電離層導電率為∞)時，在θ=π/6處，垂直電場分量Er隨頻率的變化如圖9所示，在頻率f=10.6 Hz、18.3 Hz、25.9 Hz處出現(xiàn)峰值。出現(xiàn)峰值的頻率與文獻[7]給出的無損耗腔體中的諧振頻率完全一致，印證了本文算法的正確性和精度。

對于如圖10所示的有耗媒質腔體，其諧振頻率附近場強也存在峰值，但相較于無損耗媒質腔體場強變化相對“平緩”，且諧振頻率也有所降低。結合圖10、圖11所示的不同電離層導電率、不同電離層等效高度的舒曼諧振頻率變化情況，可以發(fā)現(xiàn)舒曼諧振頻率對地、電離層的導電率變化較為敏感，存在如下規(guī)律：

1) 電離層導電率越高，即電子濃度越大，諧振頻率越高；

2) 電離層等效高度越高，諧振頻率越高。

圖9 無損耗腔體中諧振現(xiàn)象

圖10 不同導電率地-電離層腔體中諧振現(xiàn)象

圖11 不同電離層等效高度的諧振

4． 結 論

針對ELF電磁波在地—電離層空腔中的傳播問題，采用直接積分法計算含有勒讓德函數(shù)的Φ(ν,θ)，相比于漸近法和級數(shù)展開方法，具有計算精度高、效率高的特點。通過后續(xù)場強計算和舒曼諧振現(xiàn)象分析，認為數(shù)值積分方法更適合于ELF頻段的場強計算。

[1] WAIT J R. Electromagnetic Waves in Stratified Media[M]. Class Reissue Edition. Piscataway: IEEE Press, 1996.

[2] GALEJS J. Terrestrial Propagation of Long Electromagnetic Waves[M]. Oxford: Pergamon Press, 1972.

[3] BANNISTER P R. Simplified formulas for ELF propagation at shorter distances[J]. Radio Science, 1986, 21(3): 529-537.

[4]BARRICK D E. Exact ULF/ELF dipole field strengths in the earth-ionosphere cavity over the schumann resonance region: idealized boundaries [J]. Radio Science, 1999, 34(1):209-227.

[5] 王元新, 樊文生, 潘威炎. 垂直電偶極子在地-電離層波導中場的球諧級數(shù)解[J]. 電波科學學報, 2007, 22 (2): 204-211.

WANG Yuanxin, FAN Wensheng, PAN Weiyan. Spherical harmonic series solution of fields excited by vertical electric dipole in earth ionosphere cavity[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2007, 22 (2): 204-211.

[6] 董 慧, 閆玉波, 李清亮. FDTD模擬SLF/ELF水平電偶極子在非均勻地-電離層波導中的場[J]. 電波科學學報, 2010, 25(2): 366-370.

DONG Hui, YAN Yubo, LI Qingliang. FDTD analysis of fields excited by horizontal electric dipole in asymmetric earth-ionosphere cavity[J].Chinese Journal of Radio Science, 2010, 25(2): 366-370.(in Chinese)

[7] 潘威炎. 長波超長波極長波傳播[M]. 成都: 電子科技大學出版社, 2004: 333-368.

[8] GRADSHTEYN I S, RYZHIK I M. Table of Integrals, Series, and Products[M]. New York: Academic Press, 1980.